恒定電流場中兩層導電介質表面電荷分布特征研究
眾所周知，處于靜電場中的導體，由于靜電感應，導體表面將感應出正負電荷． 對于正電荷產生的靜電場，靠近電荷一側的導體表面是負電荷，另一側是正電荷［1，2］． 而負電荷產生的靜電場，感應電荷的極性相反． 恒定電流場只存在于電導率不等于零的導電介質中［3，4］． 處于恒定電流場中的導體，一般的教科書中說，在電流導通的瞬間，導體中的電荷轉移到表面，穩態時，表面電荷與電源電極電荷共同形成恒定電流場［2］． 但是，導體表面的電荷是如何產生的? 正負電荷分布規律與靜電感應電荷是否一致?進一步，處于恒定電流場的一般導電介質，其電荷分布又有什么規律? 類似問題一直困擾著我們． 電荷分布復雜，一般沒有解析解，必須用三維數值計算精確求解，本文以處于恒定電流場中的兩層導電介質
為例，用COMSOL 多物理場有限元數值計算軟件數值計算研究導電介質中的電荷分布特性． 首先研究兩層無限大導電介質時的解析解，然后數值求解有限大小的兩層導電介質，通過計算和分析，總結恒定電場的形成及電荷分布規律．
1 兩層導電介質模型
有限大小的兩層導電介質如圖1 所示． 為了研究介質表面和交界面的電荷分布特性，將介質置于一定大小的空氣中，介質的左側施加電源正極，右側布置回路電極，電極材料為良導體銅． 左右兩側的介質電導率分別用σ1和σ2表示． 我們研究穩態時，兩層介質各處的感應電荷及其分布特性． 一般情況下，有限大小介質的恒定電流場沒有解析解，只能通過三維數值計算求解． 為了說明數值求解的正確性，先研究兩層無限大導電介質中恒定電流場和電荷分布的解析解．
2 兩層無限大導電介質中的恒定電流場和電荷分布解析解
將電源電極和回路電極對稱地置于兩層無限大導電介質中，距交界面的距離均為h，如圖2 所示．穩態時，兩層介質交界面必然存在電荷，其電荷形成過程及其分布規律，將通過一系列的公式推導來說明．點電流源在無限大導電介質σ 中產生的電流密度和電場分別為［5］
式( 1) 和式( 2) 中，R 為空間觀測點到點電流源的距離，I 為電流源的電流強度，e R表示電流和電場方向的單位矢量．導電介質中有大量的自由電荷，當電源電極和回路電極接通時，兩層導電介質中電荷將重新分布，積聚在交界面兩側． 下面先分析電源電極產生的電
流和電荷．根據鏡像原理，電流源( 發射電極) 在區域1 和和2 分別感應出電流和電荷，鏡像電流用I1和I2示，兩區域中的電場和電流分別為:
根據恒定電流場的邊界條件，兩種導電介質的交界面上的電流法向連續，電場切向連續，邊界上任一點到源的距離均相等，即
因RI、RI1、RI2相等，可設RI = RI1 = RI2 = Rh，所以邊界條件為
將式( 10) 代入式( 3 ) 和式( 5 ) ，即可得到電 源電流在區域1 和2 中產生的電場，其法向分量分別為:
兩層導電介質交界面上的電荷面密度由電位移矢量的法向分量確定，即
同理，可以求出回路電極在兩種介質中產生的恒定電流場． 鏡像電流:
根據疊加原理，當電源和回路電極同時存在時，交界面電荷是電源和回路分別產生電荷的疊
加，即
式( 19) 中, ,和為介質電阻率，等于電導率的倒數．
式( 19) 就是兩層無限大介質交界面上的總電荷分布公式． 公式( 1 ) 到( 19 ) 的推導說明了恒定電流場的形成過程． 下面分兩種情形進行分析．
1) 情形一: 電導率介質1 大于介質2，即，介質1 中的自由電荷多于介質2． 當只有右側電源時，電源不斷發出的正電荷向右運動，在介質1中，吸引并中和，正電荷被排斥，向右移動; 介質2中也是同樣現象，平衡時，介質1 比介質2 多余的部分正電荷滯留在交界面，凈電荷為正． 當只有左側回路時，介質2 中的正電荷全部被回路電極吸引中和． 介質2 的電導率小于介質1，由式( 2) 知，介質2 中的電場強，要吸引介質1 中的正電荷． 但是介質1 中的負電荷阻止正電荷流動，界面右側將積累正電荷，最終，界面的凈電荷也
是正． 當電源和回路電極同時存在時，滿足疊加原理，交界面凈電荷為正．
2) 情形二: 電導率介質1 小于介質2，此時，介質1 中的自由電荷少于介質2． 當只有右側電源時，介質1 中的負電荷全部被電源正電荷吸引中和． 介質1 的電導率小于介質2，由式( 2) 知，介質1 中的電場強，要吸引介質2 中的負電荷． 但是介質2 中的正電荷阻止負電荷流動，界面左側將積累負電荷，最終，界面的凈電荷也是負． 當只有左側回路時，介質2 中的正電荷受回路電極吸引，流向回路，剩余負電荷滯留在交界面，即平衡時交界面凈
電荷為負． 當電源和回路電極同時存在時，同樣滿足疊加原理，交界面凈電荷為負．
式( 13) 、( 17) 和式( 18) 分別給出了不同電流源時交界面上的電荷分布規律． 正對電極位置電荷密度最強，然后以距離的三次方成反比衰減，以此為中心的同心圓上電荷密度相等．
2． 2 導電介質與空氣交界面上的電荷分布解析解
取圖l( a) 中與空氣交界的下半部分，上側導電介質和下側空氣分別延伸為半平面，如圖3 所距邊界H． 與前面兩層介質研究相同的方法，可以推導出導電介質與空氣接觸表面上任一點的法向電場為
式( 21) 表明，導電介質與空氣交界面上的電荷分別具有如下特性:
1) x＜s /2 時，電源產生的電場大于回路產生的電場，負電荷被電源正電荷吸引中和，剩余正電荷，因而電荷密度大于零，分布正電荷;
( 2) x = s /2 時，電源和回路沿法向產生的電場大小相等方向相反，電荷密度等于零，無電荷;
3) x＞s /2 時，電源產生的電場小于回路產生的電場，正電荷被回路負電荷吸引中和，剩余負電荷，因而電荷密度小于零，分布負電荷．
