自由電子費米能級計算公式

自由電子費米能級計算公式

費米能級（Fermi Level）是半導體物理中的重要概念，不可不知。

前面幾節中介紹的能帶圖，描述了晶體中的電子所可能具有的能量值。打個不十

分恰當的比喻，能帶圖就好比是在一個蜿蜒連綿的山區中，沿著高高低低、層層

重疊的山坡谷底，建造了許許多多的房子。每種晶體有各自獨特的建房方案。所

有這些房子都是單間房，因為電子絕不與別人同居。每間房子，電子可能住進去

了，也可能還沒住。電子到底住沒住？住進某個房間的幾率是多少？一定的條件

下，電子是如何分布在這些房間中的？很遺憾，這些從能帶圖上看不出來。那么，

哪一個參數才會告訴我們這些信息呢？這個參數就是費米能級。

所以，費米能級并不高深神秘，只是具有能量量綱的某個數值而已。不過，一個

參數就能供給我們這么多的信息，這個數值也還是挺神的。

費米能級可以告訴我們電子的分布情況，所以應該和統計現象有關。

物理學中有3種不同的統計規律：波爾茲曼統計、波色愛因斯坦統計、和費米狄

拉克統計。它們分別適用于三種不同性質的微觀粒子：經典粒子、玻色子、和費

米子。相對于經典粒子而言，玻色子和費米子服從量子力學的規律。從統計觀點

來看，它們和經典粒子的不同之處是在于它們的不可區分性，或者說，玻色子和

費米子是全同粒子。

什么是全同粒子呢？所謂全同粒子就是質量、電荷、自旋等內在性質完全相同的

粒子。以經典力學的觀點，即使兩個粒子的上述性質全同，它們也仍然可以從運

動的不同軌道而被區分。但在量子力學中，由于測不準原理，粒子沒有確定的軌

道，因而當兩個粒子間距大大小于它們的德布羅意波長時，就無法區分了。至于

費米子和玻色子的不同秉性，我們曾經描述過一點點兒：費米子是獨行俠，就像

電子那樣，必須每人單獨住一間房，而玻色子呢，則可以群居。

這3種粒子本性的不同，又如何影響它們的統計分配規律呢？讓我們從一個簡單

的例子：兩個粒子（A、B）分住三間房子（F1、F2、F3）的情況，來體會這點。

圖10.1

我們最熟悉的是經典粒子，就是等同于兩個‘人’住3間房子的情況，可能的方

案有圖10中所示的9種。因此，兩個經典粒子入住的方法共有9種。如果這兩

個粒子是費米子，則入住的方式只有1、2、3這三種。這是因為費米子遵循泡利

不相容原理而排除了方案4、5、6；又因為它們無法被區分而使得7、8、9完全

等同于1、2、3。對兩個玻色子來說，它們也不能被區分，但可以同住一間，所

以便有1到6六種分配方法。

有的讀者可能會問：“一間房是什么意思呢？是不是一個能級呢？”其實不是這

樣，這也是從能帶圖上看不出來的。更確切地說，一間房是指一個量子態。不同

的量子態由不同的量子數來決定。同樣的能量數值，還可以有多個量子態，因為

還可以有諸如角動量、自旋等等的不同。

另外，這三種粒子，還有一個共同具有的有趣性質：大家都喜歡住在低處，即能

量更小的地方。特別是在溫度接近絕對零度左右時，這些小粒子們的運動幾乎停

止了，一個個疲憊不堪，茍延殘喘，只要有可能，便都拼命想往低處靠，好像越

低越保險似的。所以，經典粒子和玻色子在接近0T時，全部都擠在那個最底層

0

的大房子里，就像無家可歸者擠在難民營里一樣，反正又沒有什么‘泡利不相容

原理’來限制它們。

這時，費米子倒顯出一點骨氣，它們仍然堅持自己要獨居的風格，井井有條地一

個一個排隊入住到給它們打造的‘單間’量子態中。由于它們要遵循泡利不相容

原理，所以就不可能所有的電子都住在底層，底層住滿后便第1、2、……地排

上去。粗略地說，最后那個電子入住的房間的高度（能量）的數值，便是費米能

級。為什么這兒加上個‘粗略地說’呢，這是因為要精確地定義費米能級，是需

要用點不怎么討人喜歡的公式的。

總之，大家現在明白了，費米能級的概念的確很簡單，不就是一個能量數值的標

準嗎。從剛才所說的意思，假設任何高度都連續地建有房間的話，那么，在這個

標準之下，房間全被住滿了；而在這個標準之上的房間則全部空著。

以上的理解完全正確。不過，剛才所說的是接近絕對零度時的情況。如果溫度升

高一些，情況則略有不同。溫度升高了，電子的動能增加了，它們不像原來那么

老實了，而是在房間里跳來跳去，也不太屑于那種要‘住得低一些’的老觀念，

而是四處窺探有無可乘之機！住在比較下面的電子伸頭一看，周圍房間上上下下

全都住滿了，太高的地方又跳不上去，所以，只好仍然規規矩矩地在原處待著，

集聚更多的內力，等待溫度再升高。而那些靠近費米能級、原來就住得比較高的

電子就有所希望啦。它們有的已經蹦到比費米能級還高的地方去了。溫度越高，

電子上蹦成功的可能性就越大。

所以，當絕對溫度T不為0的時候，費米能級并不是‘住了電子’，還是‘沒住

電子’的分界線。但是，對這種情況，物理學家費米和狄拉克，各自獨立地導出

了一個同樣的公式。看，公式終于出現了，這就是我們現在稱之為費米狄拉克統

計分布的公式：

(10.1)

公式（10.1）中的E就是費米能級，f（E）是占據能量為E量子態的電子數目。

F

所以說，費米能級雖然只是一個數，但是，知道了這個數，就知道了在某一個溫

度下，電子入住各個房間的分配情況。這些房間的高度（E）可以低于費米能級，

也可以高于費米能級，只是電子住或不住的幾率有所不同而已。這兒的‘幾率’

便與表達式（10.1）有關。

綜上所述，溫度升高時，只有費米能級附近的電子才容易跳來蹦去，參與熱躍遷，

或產生電荷的輸運過程。而這也正是固體表現導電或不導電，決定各種物理性質

的機制所在。所以，在能帶圖中，我們感興趣的也只是費米能級附近的能帶結構，

因為它們決定了電子（或空穴）的輸運性質。

圖10.2：費米能級在不同材料能帶圖中的位置

在上一節中我們描述了第一布里淵區，它是波矢空間中的一塊區域。在波矢空間

中還定義了另一個與費米能級有關的區域，叫做費米面。

又有點迷惑吧？費米能級不是一個數嗎，怎么又變成一個面了呢？一個數變成一

個面其實不難，比如說，給你一個數作為半徑，你立刻可以在三維空間中畫出一

個球面來。費米面也是用這樣類似方法畫出來的，只不過不是在真實的三維坐標

空間中畫，而是在三維的波矢空間（k空間）里畫的。換句話說，費米面是在k

空間中的一個等能量面，這個面上的點的k值（k,k,k）不同，但對應的能量

xyz

數值卻是相同的，等于費米能級與最低能量態的差別，或稱‘費米能’。

這里需要提醒讀者注意：我們從費米狄拉克統計規律（10.1），定義了‘費米能

級（FermiLevel）’，剛才又提到‘費米能（Fermi Energy）’。這在某些場合，

比如處理費米氣體的情況，是相關但不完全相同的兩個概念。不過在半導體文獻

中卻經常被混淆地用作同義詞。因此，我們也不嚴格區分它們，只不過一般只說

‘費米能級’。

現在，考察一下第7節中討論過的自由電子，也就是忽略晶格離子作用時，能帶

為拋物線的那種情況。這時，能量正比于k矢量絕對值的平方，因此，等能量面

都是球面，自由電子的費米面沒有例外，當然也是球面。既然自由電子的費米面

是球面，也就有了費米球、費米海、費米半徑之類的相應定義。