淺談中國古代數學文化

淺談中國古代數學文化

摘要：在悠久燦爛的中國古代文化中，數學文化是其中一朵絢麗的奇葩。數學不僅是中國古

代實用科學的基石，而且含有神秘的文化色彩，有著深厚的文化積淀，它滲透在中國的各個

領域，是中華文化不可缺少的一部分。

關鍵詞：中國古代數學；周易；數字文化

一、中國古代數學的發展

在古代世界四大文明中，中國數學持續繁榮時期最為長久。從公元前后至公元14世紀，

中國古典數學先后經歷了三次發展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期，并在宋

元時期到達頂峰。

與以證明定理為中心的希臘古典數學不同，中國古代數學是以創造算法特別是各種解方

程的算法為主線。從線性方程組到高次多項式方程，乃至不定方程，中國古代數學家創造了

一系列先進的算法(中國數學家稱之為“術”)，他們用這些算法去求解相應類型的代數方程，

從而解決導致這些方程的各種各樣的科學和實際問題。特別是，幾何問題也歸結為代數方程，

然后用程式化的算法來求解。因此，中國古代數學具有明顯的算法化、機械化的特征。

中國是一個對于“數”這種概念異常重視的國度，對于數的重視，促使中國古代數學在

世界上曾長期處于領先地位。起碼在夏商時代，中國即創造和使用了十進位制。在傳說中，

有“黃帝為法，數有十等”的記載。在《尚書》中，每見“億兆”、“兆民”等詞。在甲骨文

中，也有個位、百位、千位、萬位的記錄。這說明，中國早在四五千年前即已使用十進位值

制。與此相比，直至12世紀，歐洲所使用的是仍然為既不便于思維、也不便于運算的羅馬

計數法。古巴比倫人和中美洲的瑪雅人雖然也采用了位值制，但巴比倫人采用的是六十進位，

瑪雅人采用的是二十進位。印度于公元6世紀開始采用十進位值制，是受中國文化影響而產

生的。位值制數碼為阿拉伯數碼的前身。因此，李約瑟說:“西方后來所習見的‘印度數字’

的背后，位值制早已在中國存在兩千年了。”“如果沒有這種十進位制，就幾乎不可能出現我

們現在這個統一化的世界。”

直至宋元時代，中國的數學在眾多方面都走在世界的前列。在北宋之時，數學家賈憲提

出了“開平方作法本源圖”，比法國數學家巴斯卡提出同樣的成果早600多年。宋元之交，

即在13世紀下半葉幾十年時間里，就涌現了秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰等四位杰出數學

家。他們的著作被稱為“宋元算書”，一直流傳至今。其中，秦九韶的《數書九章》在高次

方程的數值解法(即被稱為“秦九韶程序”)和“聯立一次同余式”(即被稱為“大衍求一術”)

的解法這兩個方面取得了卓越成就。秦九韶所創立的高次方程求值法，在歐洲，直至1804

年與1819年才分別由意大利人魯菲尼和美國人霍納提出，比秦九韶要晚500余年。他的“大

衍求一術”在歐洲是由大數學家歐拉于1734年和高斯于1801年完成的。在數學上，“大衍

求一術”被稱為“中國剩余定理”。19世紀中葉傳到西方時，德國數學家康托稱贊說，秦九

韶是“最幸運的人”;美國科學史專家薩頓說:“他那個民族，他那個時代，并且是所有時代

最偉大的數學家之一。”李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》兩書，對用代數方法列方程的

研究有重要影響，并為數學向更高層次發展準備了條件。元初數學家李世杰的《四元寶鑒》，

應用“天元術”，即根據問題所給出的條件，運用未知數的方程的普遍方法來解多元高次方

程組。這種方法，在歐洲直至16世紀才開始起步進行研究。這些數學成就都比歐洲早了幾

百年，奠定了中國數學在宋元時代的領先地位。

二、周易之于中國古代數學

《周易》向來被稱為中國群經之首，它是中華文化的根基，是打開中國文化“大門”的

一把鑰匙，它塑造形成了中國文化最根本的精神結構、價值觀念和思維方式，決定了后者的

發展趨向。

中國古代數學是在中國古代文化的土壤中生長出來的，是中國傳統文化的一個有機組成

部分，其思維方式和理論特征是與整個傳統文化一脈相承的。《周易》這部古老的典籍，作

為中國傳統文化的母基，流傳近三千年，長期以來，成為古代知識分子用來觀察和解釋世界

的理論依據，在中國古人的精神空間中占據了舉足輕重的地位，其特殊的思維方式直接影響

著中國古代數學的思維方式，各種類型的神秘主義思想以其強大的精神力量深刻地支配著中

國古代數學哲學的形成和走向，對數學的發展起著決定性的作用。

1. 《周易》思維方式上對中國古代數學思維的影響

1〕

《周易》側重于經驗直觀，不注重理論抽象。由此導引著中國古代數學從思維方

式上把重點放在對經驗的總結和對現象的描述上，不注重探究現象背后的原因，導致中國傳

統文化里缺乏推演的精神和邏輯的精神。

易學在我國源遠流長，幾乎與我們中華民族的歷史同時起步，《易傳·系辭下》曰:“古

者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，觀鳥蓋之文，與地之宜，近取諸身，

遠取諸物，于是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情”。所謂包犧氏，就是伏羲。從這

幾句話中不難看到，伏羲創作八卦的主要途徑是“仰觀俯察”。觀察是伏羲制作八卦的前提。

觀察是直覺反映，是對自然的認識，這充分說明了八卦的產生是古代先祖在社會實踐中，通

過觀察天地萬物、人類自身并加以模擬的結果，正因為如此，中國古代數學絕大部分處于經

驗形態水平上，“許多數學著作以《周易》為張本，如劉徽《九章算術注》序中有:‘昔日包

犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術以合六交之變。既于黃帝神而化

之，引而伸之，于是建歷紀，協律呂，用稽道原，然而兩儀四象精微之氣可得而效焉’。在

秦九韶的《數書九章》一書中，‘奢卦發微’成為數學課題之一。

2〕

《周易》的這種思維方式還導致中國古代數學形成了推理和證明過程中的寓理于

算、不證自明的直覺思維和非邏輯成分，以及思維方式的模糊性。典型的例子如:趙爽用勾

股圓方圖對勾股定理及假設干勾股恒等式所作的論說，他僅用了短短五百字和六張附圖，就

“簡練地總結了后漢時期勾股算術的輝煌成就。不但勾股定理和其他關于勾股弦的恒等式獲

得了相當嚴格的證明，并且對二次方程解法提供了新的意見。’劉徽借助于面積和體積的圖

解對開平方和開立方的說明，劉徽運用割補法對整勾股數公式的論證，祖眼利用八分之一牟

合方對球體公式的闡說，梅文鼎借鱉蠕而論球面三角形的邊角關系，明安圖創割圓密率捷法，

運用幾何方法對初等函數級數展開的研究。“還有《九章算術》全書只有問題和解法，而沒

有理論證明，書中有些結果還比較粗疏’。此外，趙爽在注《周肆算經》時從一個正方形出

發，不斷分割出19個幾何命題。這種研究方法顯然是受了《周易》“易有太極，是生兩儀，

兩儀生四象，四象生八卦”的影響。 “天人合一”思想容易造成數學研究者的思維定勢，

使他們研究數學問題時，始終跳不出《周易》的思維模式。

3〕

《周易》側重于模式推理而不注重命題推理，導致中國古代數學思維模式缺乏必

要的抽象，難以形成一種研究數學的有效思維方式。即中國古代數學中求“理”的方法，只

有歸納法而缺乏推演法。所謂命題推理，就是從一個初始命題出發，按照一定的形式規則，

推出一些新的命題，這種推理明確而嚴密，西方哲學家和科學家都普遍使用這種推理形式建

構自己的理論。所謂模式推理，就是從一種基本模式出發，按照一定的原則，把有關對象放

在這一模式中進行推理。《周易》64卦，就是64個推導模式。受這種思維方式的影響，在

中國傳統文化中，數學的價值觀念則是技藝實用而非理性思辯。受《周易》思維形式的影響，

我國古代數學重視模式而缺乏必要的抽象，沒有形成研究數學理論的普遍方法論原則。

2. 《周易》從思維指向對中國古代數學思維的影響

1〕

《周易》注重事物的運動變化，不注重事物的靜態結構，它導引著中國古代數學

的整體思維。

《周易》認為萬物變化的根源在于陰陽對立面的相互作用、即“剛柔相推以生變化”。

世界萬物都不外動靜兩種狀態。只有動靜交替才能產生萬物，沒有靜也就沒有動。運動變化

終歸以不變為基礎，這是《周易》形而上學的特色。“萬物皆數”是中國古代數學的一個重

要組成部分，幾乎所有的數學家及數學著作都持這種觀點。《孫子算經》中說:“夫算者，天

地之經緯，群星之元首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表里，五行之準平，

四時之終始，萬物之祖宗，六藝之綱紀。”宇宙間的一切都可以用數算出來，可見萬物都與

數相關聯。唐代數學家王孝通認為:“九疇載敘，紀法著于彝倫;六藝成功，數術參與選化。

夫為君上者司牧黔首，有神道而設教，采能事而經綸:盡性窮源莫重于算。”天文學上，我國

古人編制了比同時代其它國家先進得多的歷法，提出了西方近代才產生的宇宙演化的先進思

想，但對宇宙結構的認識卻一直停留在漢代的水平上，一直沒有建立起宇宙的幾何模型。

2〕

《周易》注重事物的功能和萬物的相互聯系，而不注重事物的實體和構成元素。

它導引著中國古代數學獨特的辯證性思維。

陰陽是中國古代辯證法的一對基本范疇，也是貫穿《周易》哲學的一條主線，《周易》

認為世界萬物無不可用陰陽來表示屬性。以這種理論為指導來考察自然，就是要探索各種事

物的功能屬性，而對這種功能屬性的承載實體卻不予探索或刻意去探索。事物的功能性，是

與其它事物相互聯系中展現出來的，尤其是與人的聯系中展現出來。這就不可防止地促進中

國古代數學只注重實用性、計算性、算法化以及注重模型化方法的特點，中國算家以構造精

致的算法為己任。通過切實可行的手段把實際問題化歸為一類數學模型，然后應用一套機械

化(或程序化)的算法求出具體的數值解，中國古代數學中的一些基礎概念往往由一個可操作

的算法導出。把數學作為“六藝”之一引入教育內容，而不去對對象本身作抽象的、純理論

的研究，不講究數學的邏輯體系，很少提到思辯性的要求，這樣，數學理論不可能上升至純

知識領域，作為研究抽象理論所不可缺少的普遍方法和原則極少，實用主義成了中國古代數

學發展的主要動力。

3〕

《周易》問世之后，其數字化刻畫世界圖像的思想被不斷地闡發，但其中混雜了

許多唯心史觀和“道”、“太極”等虛無縹緲和神秘莫測的東西，使我們從中領悟到中國古代

自然哲學體系中強烈的巫術精神，感受到那種智慧與愚昧混合、科學與迷信纏繞的認識困境。

“很明顯，這種以虛構、假設、夢想、意念的形式所構筑的精神實體存在為起點，運用簡單

的數學規律及其推演所形成的理論體系，由于不具備科學方法所要求的基本條件，只可能是

不真實的、主觀臆斷的和巫術化的。”因而，中國古代數學的思維形式帶有強烈的神秘文化

色彩。

3. 周易使中國古代數學充滿神秘色彩

數字及其符號的組合變化被淋漓盡致地運用于中國古代最重要和最具代表意義的著作

《周易》當中。其中卦辭和艾辭的復雜變化都是通過數字有規律的排列變化實現的。以陰陽

兩種符號組成八卦，分別代表地、山、水、風、雷、火、澤、天八種自然物及其位置結構。

再由八卦兩兩相行，衍生出六十四卦，再從六十四卦的組合中推出三百八十四交，用于表示

世間萬物的數目。這種龐大有序的符號圖式構成了中國古代對宇宙與人進行解說的系統化與

數字化的占卜體系。《周易》中蘊含著珍貴的“取象運數”的思想方法，其主旨是在廣泛收

集自然現象的基礎上，運用數字及其變化來進行計算和推測。這是人類把樸素唯物論的觀察

方法與飽含主觀想象色彩的數字方法相結合的最初嘗試。《周易》思想體系一個鮮明的特征

就是把事物的變化限定在能夠把握的數字的所有可能的組合之中，利用數字間的內在規律對

事物的運行進行標準和預測。從此，中國古代數學便與由《周易》演化而來的玄學有了不解

之緣。

《周易》對中國古代數學的思維產生了深刻的影響，它得益于數學，又對數學產生了巨

大的影響，對中國古代數學家的世界觀和方法論的形成產生了決定性的影響。從積極的方面

講，中國古代數學特殊的思維方式是中國古代數學取得舉世矚目成績的重要原因，在現代科

學的發展中發揮著巨大作用。從消極方面來講，中國古代數學長期受控于《周易》模式，其

思維方式與近代數學產生時所依賴的思維方式不合轍，不可能走出神秘主義所營造的迷宮，

登上科學的殿堂而演化為近現代數學。

三、中國人的數字情結

中國古代數學生長于中國傳統文化的土壤，它不僅是一門實用科學，更是一門人文科學，

在漫長的歷史長河中，炎黃子孫賦予了它豐富的文化意義。以下例舉了“一”到“九”數字

的文化意義加以說明。

1、數字“一”，首先，表示數的開始，《漢書》曰：“元元本本，數始于一”。其次，“一”

在中國古代哲學中，它被看做是世界的本源或是宇宙初蒙的象征。《老子》：“道生一，一生

二，二生三，三生萬物”。

2、數字“二”在中國古代哲學家的思維中把它作為“天地”中的地、“陰陽”中的陰，

有人認為“二”是宇宙界分的標志，以陰陽為統領的二元論。

3、數字“三”，可以表示數量三或序數三，也可以表示許多、很多的意思。 “三”字

在小說里用的很多，如’“劉光張桃園三結義”、“孫悟空三打白骨精”、“三打祝家莊”等，

再如古文中常見的“三才”、“三光”、“三元”、“三玄”、“三生”等詞語，可見古人對“三”

這個數字特別青睞。

4、數字“四”是先民喜愛的數字之一，因為它是個平穩的數。桌子有了四條腿，顯得

平穩安妥。先民從東南西北四方觀念中，逐漸建立起四象、四季、四神、四帝等自然崇拜觀

念。但由于“四”與“死”諧音，現代人對“四”這個數字卻非常厭惡。

5、數字“五”，我中華民族歷來對它表示無限的崇拜。首先，五是陽數，本身具有吉祥

意義，加上人體有五個末端〔頭和四肢〕，手有五個手指，腳有五個腳趾，這就自然看重五。

其次，當人們分辨出東南西北四個方位時，同時產生了“中”的概念，神秘莫測的“洛書”、

“河書”都以五處中央，故歷史上將皇帝稱之為“九五之尊”。擁有完善體系的五行學說更

是給“五”這一數字增添了幾分神秘色彩。

6、數字“六”，可以說是一個時空諧和的數字，它歷來被認為是吉祥的字眼，所謂“六

六大順”是也，所以它也影響著各種社會制度以及日常生活，如：古代皇帝出游所乘車駕馬

必六匹；皇宮后院稱為“六宮”；周代把執政大臣分為六官，后世有“六部”。

7、數字“七”，在中國傳統文化中是一個神秘而又令人迷惘的數字，它有時有吉義，有

時又表兇，有人認為它與月亮盈虧〔生死〕有關，《周易》中曾多次提到七，把七看做一個

周期。總的來說，人們不太喜歡這個數字，唐詩宋詞上也很少人提到它。

8、在中國數字文化中，“八”屬于偶數，代表陰性之數，有人說“八”是陰中的陽元素。

由于“八”與“發”諧音，現代人們對八十分崇拜。

9、從中國文化學和民俗學的角度看，數字“九”蘊含的意義非常豐富和復雜，千百年

來在它身上積淀了深厚的文化意蘊。“九”是個位數中最大的一個數，因此傳統文化中賦予

了“多”、“全”、“重要”、“吉祥”等含義，有著崇高的地位，如：九鼎、九州。“九”在古

代陰陽學中被視為陽數之最，后引申出“天”和“帝”的意義，傳統以正月七日為人日，八

日為谷日，九日為天的生日。人們崇尚“九”另一原因是古書《易經》中，六十四卦均以陰

陽爻錯綜組合，而對陽爻的爻題稱為初九、九二、九三、九四、九五、上九、用九。乾卦以

龍設喻，“九五”爻辭有“飛龍在天，利見大人”，飛龍者，皇帝也，故人們稱皇帝為“九五

之尊”，于是，“九”成了皇帝的專用詞，處處要表達“九”這個數，才顯皇家氣派。

此外，還有些數字，我們炎黃子孫對它情有獨鐘，如：十二、十八、二十四、二十八、

三十六、七十二、一百零八、三百六十等。