4.6中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就

中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就

一、最早運(yùn)用勾股定理

中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫

做股，斜邊叫做弦。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，西周開國時期（約公元前

1千多年）有個叫商高的人對周公說，把一根直尺折成直角，兩端連

接得一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。《周髀算

經(jīng)》里還這樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，

正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日

益表南，晷日益長。候勾六尺，即取竹，空經(jīng)一寸，長八尺，捕影而

觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑寸，故

此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日，

則八萬里。這段文字描述了中國古代人民如何利用勾股定理在科學(xué)上

進(jìn)行實(shí)踐。錢偉長教授對這段文字作了詳細(xì)的說明：“??商高，陳

子等利用立竿（即周髀）測定日影，再用勾股法推算日高的方法。周

髀高八尺，在鎬京（今西安附近）一帶，夏至日太陽影長一尺六寸，

再正南千里，影長一尺五寸。正北千里，影長一尺七寸。祖先天才地

用測量日影的辦法，推算了夏至日太陽離地的斜高，用同理測定了冬

至日的太陽斜高。又取中空竹管，徑一寸長八尺，用來觀測太陽，我

們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽圓影恰好充滿竹管的視線，于是用太陽的斜高和勾

股的原則，推算太陽的直徑。這些測定的數(shù)據(jù)雖然非常粗略，和實(shí)際

相差很遠(yuǎn)，但在三千年前那樣早的年代，有這樣天才的創(chuàng)造和實(shí)踐的

觀測精神，是我們應(yīng)該學(xué)習(xí)的。”這就是勾股定理的最早的運(yùn)用，尤

其在3000多年前，更是非常了不起的成就。而在西方，勾股定理被

稱為畢達(dá)哥拉斯（約公元前580-前500年）定理。沒有史料可以說

明畢達(dá)哥拉斯得到和證明了這一定理。通過二十世紀(jì)對在美索不達(dá)米

亞出土的楔形文字泥版書進(jìn)行的研究，人們發(fā)現(xiàn)早在畢達(dá)哥拉斯以前

一千多年，古代巴比倫人就已經(jīng)知道這個定理。

據(jù)傳說，有次畢達(dá)哥拉斯應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會，這位主

人豪華宮殿的餐廳鋪著正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上

桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言。但這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家

卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形磁磚。畢達(dá)哥拉斯不只是欣賞

磁磚的美麗，而是想到它們和[數(shù)]之間的關(guān)系，于是 拿了畫筆并且

蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 AB為邊畫一個正方形，他

發(fā)現(xiàn)這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很好奇.... 于

是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正

方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之

和。至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)： 任何直角三角形，其斜邊的

平方恰好等于另兩邊平方之和??那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師，

視線都一直沒有離開地面。

即便是按此傳說推算，我們在運(yùn)用勾股定理上無疑都是最早的。

當(dāng)然對勾股定理的演繹證明，我們可能要晚一些。中國最先完成勾股

定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國時期的趙爽，證明的技巧與前面

的傳說如出一轍。

二、最早的數(shù)學(xué)著作和八元數(shù)模型

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的基本對象。從這一點(diǎn)上看，成書于西周(約

公元前11世紀(jì)—前256)前期的《易經(jīng)》是我國古代在人類數(shù)學(xué)史上

的偉大創(chuàng)舉。《易經(jīng)》是歷史上有文字記載以來第一本數(shù)學(xué)著作。比

成書于公元前三世紀(jì)古希臘歐幾里得的《幾何原本》至少早三百年。

《易經(jīng)》是我國數(shù)學(xué)發(fā)展史的淵源。三國時期的數(shù)學(xué)家劉徽(約

225--295)認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于伏羲畫八卦，八卦的基本原理是“作九

九之術(shù)以合六爻之變”，由此他“觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源”，而

為《九章算術(shù)》作注。

最近，又發(fā)現(xiàn)，八卦圖中的每一個卦圖代表一個八元數(shù)的乘法算

式，于是我們可以在古老的伏羲八卦和西方人1845年才發(fā)現(xiàn)的八元

數(shù)之間建立數(shù)學(xué)意義上的同構(gòu)。即在兩者之間，建立一一對應(yīng)，而且

這種對應(yīng)保持乘法運(yùn)算。對應(yīng)次序渾然天成且不能隨意改變。我們的

結(jié)論是：在同構(gòu)意義下，八卦圖就是八元數(shù)。八卦圖可以看成是八元

數(shù)的“量子化”或“數(shù)學(xué)模型”。

三、最早使用位置計數(shù)法和應(yīng)用十進(jìn)制

所謂位置計數(shù)法是指同一個數(shù)字由于它所在位置的不同而有不

同的值。例如，327中，數(shù)字3表示三百，2表示二十。用這種方法

表示數(shù)，不但簡明，而且便于計算。采用十進(jìn)位置制計數(shù)法，以我國

為最早。在殷墟甲骨文就已經(jīng)對此作了記載，它用9個數(shù)字、四個位

置值的符號，可以表示出大到上萬的自然數(shù)，已經(jīng)有了位置制的萌芽。

到春秋戰(zhàn)國時期，便已能熟練地應(yīng)用十進(jìn)制的算籌記數(shù)法，這種方法

和現(xiàn)代通用的二進(jìn)制筆算記數(shù)法基本一致，這比所見最早的印度（公

元595年）留下的十進(jìn)制數(shù)碼早一千多年。

四、最早提出負(fù)數(shù)的概念

中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，是世界上杰出的古典數(shù)學(xué)著作之

一，這本書中就已引入了負(fù)數(shù)概念。這比印度在公元7世紀(jì)左右出現(xiàn)

的負(fù)數(shù)概念，約早六百多年。歐洲人則在10世紀(jì)時才對負(fù)數(shù)有明確

的認(rèn)識，比中國要遲一千五百多年。

五、最早系統(tǒng)地論述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算

成書不晚于公元前2世紀(jì)西漢時期的中國最早的數(shù)學(xué)著作《周髀

算經(jīng)》中，已用到了相當(dāng)繁雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，并記載源于周朝時期的商

高。發(fā)展到公元前1世紀(jì)，經(jīng)過張蒼、耿壽昌等學(xué)者整理、刪補(bǔ)自秦

代以來的數(shù)學(xué)知識編成了《九章算術(shù)》。在這本數(shù)學(xué)經(jīng)典的《方田》

章中，提出了完整的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則。從后來劉徽所作的《九章算術(shù)注》

可以知道，在《九章算術(shù)》中，講到約分、合分（分?jǐn)?shù)加法）、減分

（分?jǐn)?shù)減法）、乘分（分?jǐn)?shù)乘法）、約分（分?jǐn)?shù)除法）的法則，與我們

現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則完全相同。另外，還記載了課分（比較分?jǐn)?shù)大小）、

平分（求分?jǐn)?shù)的平均值）等關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識，是世界上最早的系統(tǒng)敘

述分?jǐn)?shù)的著作。

分?jǐn)?shù)運(yùn)算，大約在15世紀(jì)才在歐洲流行。歐洲人普遍認(rèn)為，這

種算法起源于印度。實(shí)際上，印度在七世紀(jì)婆羅門笈多的著作中才開

始有分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則，這些法則都與《九章算術(shù)》中介紹的法則相同。

而劉徽的《九章算術(shù)注》成書于魏景元四年（263年），所以，即使

與劉徽的時代相比，我們也要比印度早400年左右。

六、最早提出聯(lián)立一次方程的解法

中國最早提出聯(lián)立一次方程組的解法，也是在《九章算術(shù)》中出

現(xiàn)的。同時還提出了二元、三元、四元、五元的聯(lián)立一次方程組的解

法，這種解法和現(xiàn)在通用的消元法基本一致。在印度，多元一次方程

的解法最早出現(xiàn)在7世紀(jì)初印度古代數(shù)學(xué)家婆羅門笈多（約在公元

628年）的著作中。至于歐洲使用這種方法，則要比中國遲一千多年

了。

七、最早論述了最小公倍數(shù)

在世界上，中國最早提出了最小公倍數(shù)的概念。由于分?jǐn)?shù)加、減

運(yùn)算上的需要，也是在《九章算術(shù)》中就提出了求分母的最小公倍數(shù)

的問題。在西方，到13世紀(jì)時意大利數(shù)學(xué)家斐波那契才第一個論述

了這一概念，比中國至少要遲一千二百多年了。

八、最早研究不定方程

中國最早研究不定方程的問題，也是在《九章算術(shù)》這部名著中，

書中提出了解六個未知數(shù)、五個方程的不定方程的方法，要比西方提

出解不定方程的丟番圖大概早三百多年。

九、最早運(yùn)用極限概念

大約在公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽在他的不朽著作《九章算術(shù)

注》中，講解計算圓周率的“割圓術(shù)”和開方不盡根問題，以及講解

求楔形體積時，最早運(yùn)用了極限的概念。雖然歐洲在古希臘就有關(guān)于

這一概念的想法，但是真正運(yùn)用極限概念，卻是在公元17世紀(jì)以后

的事了，這要比中國大約要晚一千四百多年。

十、最早得出有六位準(zhǔn)確數(shù)字的π值

圓周率π是數(shù)學(xué)和其它自然科學(xué)中經(jīng)常使用的一個重要常數(shù)。一

位德國的數(shù)學(xué)家評論到：歷史上一個國家所算得的圓周率的精確程

度，可以作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的一個標(biāo)志。

公元前2000年左右，古巴比侖尼亞人最早定出π的比較精確的

值為π= 3+1/8 = 3.125。

公元前500年左右，古希臘人定出π= 3.1416。

公元前200年間，阿基米德用圓外切與內(nèi)接正多邊形的周長逐步

逼近圓的周長，求得

3??3

111

?

。

717

公元前150 年左右，另一個古希臘數(shù)學(xué)家托勒米用弦表法，以 1

度的圓心角所對的弦長的 360 倍再除以圓的直經(jīng)，也定出π

=3.1416。

我國則遲至東漢初年(公元前 100 年) 仍在普遍使用周三徑一

的古率。直到三國時代(公元 200 年間)，數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，

得到 3.1410<π<3.1427。

繼劉徽之后，我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之在世界上第一次得

到3.1415926< π<3.1415927。這一驚人的紀(jì)錄，直到德國人奧托在

公元1573年也獲得這個近似分?jǐn)?shù)值，可是比祖沖之已遲了一千一百

多年。祖沖之還發(fā)現(xiàn)現(xiàn)今稱為祖率的π的近似值335/113（即

3.1415926），比歐洲早1000多年。

1949年，兩個美國人斯密司和倫奇，把π計算到小數(shù)點(diǎn)后1120

位，他們成為用筆算求π值的世界冠軍。

1766年，德國數(shù)學(xué)家蘭伯特證明了π是無理數(shù)。一百多年后，

又一位德國數(shù)學(xué)家林德曼進(jìn)一步證明了π是超越數(shù)。

十一、最早創(chuàng)立增乘開方法和創(chuàng)造二項(xiàng)式定理的系數(shù)表

中國最早創(chuàng)立了“增乘開方法”和“開方作法本源”。公元11

世紀(jì)中葉的中國數(shù)學(xué)家賈憲，是他最早創(chuàng)了“增乘開平方法”和“增

乘開立方法”。這一方法具有中國古代數(shù)學(xué)的獨(dú)特風(fēng)格。賈憲提出的

方法，可以十分簡便地推廣到任意高次冪的開方中去，并可用來解任

意高次方程。他的方法比西方的類似的“魯斐尼－霍納方法”要早

770年。同時賈憲的“開方作法本源”圖，實(shí)際上給出了二項(xiàng)式定理

的系數(shù)表，比法國數(shù)學(xué)家帕斯卡所采用的相同的圖（被稱為“帕斯卡

三角形”）要早五百多年。

十二、最早提出高次方程的數(shù)值解法

中國南宋的偉大數(shù)學(xué)家秦九韶，在《數(shù)書九章》（公元1247年）

中最早提出了高次方程的數(shù)值解法，秦九韶在賈憲創(chuàng)立的“增乘開方

法”的基礎(chǔ)上，加以推廣并完善地建立了高次方程的數(shù)值解法，比歐

洲與此相同的“霍納法”要早八百多年。

十三、最早發(fā)現(xiàn)“等積原理”

在中國，“等積原理”是南北朝時的杰出數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒

子祖暅共同研究的成果。他們在研究幾何體體積的計算方法時，提出

了“緣冪勢既同，則積不容異”的原理，這就是“等積原理”。所指

的意思是：“等高處平行截面的面積都相等的二個幾何體的體積相

等”。這一發(fā)現(xiàn)，要比西方數(shù)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)這個原理時，大約早一

千一百多年。

十四、最早發(fā)現(xiàn)二次方程求根公式

二次方程的求根公式也是中國最早發(fā)現(xiàn)的。中國古代數(shù)學(xué)家趙

爽，在對中國古典天文著作《周髀算經(jīng)》做出注解時，寫了一篇有很

高科學(xué)價值的《勾股圓方圖》的注文，在此文中趙爽在討論二次方程

xcxa

22

-2+= 0時，用到了以下的求根公式：

x

?

2c(2c)4a

??

22

2

這個公式與我們今天采用的求根公式是很相似的。趙爽這一發(fā)

現(xiàn)，比印度數(shù)學(xué)家婆羅門笈多（公元628年）提出的二次方程求根公

式要早許多年。

十五、最早引用“內(nèi)插法”

早在公元6世紀(jì)，中國古代天文學(xué)家劉焯為了編制歷法，首先引

用了“內(nèi)插法”，亦即現(xiàn)在代數(shù)學(xué)中的“等間距二次內(nèi)插”。這個方法，

直到17世紀(jì)末，才被英國數(shù)學(xué)家牛頓所推廣，但已是時隔一千一百

多年以后的事了。

十六、最早用符號表示未知數(shù)并運(yùn)用消元法解多元高次方程

組

中國宋元時期數(shù)學(xué)發(fā)展中最深刻的動向是代數(shù)符號化的嘗試，這

就是“天元術(shù)”和“四元術(shù)”的發(fā)明。天元術(shù)和四元術(shù)都是用專門的

記號表示未知數(shù)，從而列出方程、求解方程。中國宋代數(shù)學(xué)家李冶在

《測圓海鏡》（1248年）中論述了170個用天元術(shù)（即列方程解一元

高次方程的方法）解直角三角形的容圓問題，《測圓海鏡》是我國現(xiàn)

存最早對天元術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)敘述的著作。公元1303年，中國元代數(shù)學(xué)

家朱世杰在其所著《四元玉鑒》等著作中，把李治總結(jié)的“天元術(shù)”

推廣成為“四元術(shù)”，創(chuàng)造了用消元法解二、三、高次方程組的方法，

這是世界上最早運(yùn)用消元法解高次方程組的例子。在西方，法國數(shù)學(xué)

家皮茲于1764年給出初步方案，直到1779年出版的《代數(shù)方程的一

般理論》才對這一問題做出系統(tǒng)的敘述，即便是朱世杰都比他要早近

五百年。

十七、最早研究解同余式組的問題

南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“大衍求一術(shù)”，他

對求解一次同余式組的算法作了系統(tǒng)的介紹，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所用的方

法很類似，這是中國數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)突出的成就。實(shí)際上在秦九韶推

廣了聞名中外的中國古代數(shù)學(xué)巨著《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”題，

取得的解法被稱為“中國剩余這理”，就是在這一方面的重要成就。

他的這項(xiàng)研究成果比在18、19世紀(jì)歐洲偉大數(shù)學(xué)家歐拉和高斯等人

對這一問題的系統(tǒng)研究，要早五百多年。

例如 今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)

之余二，問物幾何？

解 3，5，7都是素數(shù)。

3與5的最小公倍數(shù)為15，用7除余1，故取30；

5與7的最小公倍數(shù)為35，用3除余2，故取35；

7與3的最小公倍數(shù)為21，用5除余1，故取63。

相加得128，減去105（3，5，7的最小公倍數(shù)）得23，即為所求。

十八、最早研究高階等差數(shù)列并創(chuàng)造“逐差法”

早在北宋時期，數(shù)學(xué)家沈括（公元1030－1904）就創(chuàng)立了與高

階等差數(shù)列有關(guān)的“隙積術(shù)”；南宋末期數(shù)學(xué)家楊輝亦研究了高階等

差數(shù)列，并提出了“垛積術(shù)”；到了元朝，優(yōu)秀的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家

郭守敬（公元1231--1316）在以他為主編著的《授時歷》中，就用

高階等差數(shù)方面的知識，來解決天文計算中的高次招差問題。朱世杰

則在其所著的《四元玉鑒》（1303）一書中，把中國宋、元數(shù)學(xué)家在

高階等差級數(shù)求和方面的工作更向前推進(jìn)了一步，對這一類問題得出

了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他創(chuàng)造了“招差法”（即

“逐差法”），在世界數(shù)學(xué)史上第一次得出了包括有四次差的招差公

式。在歐洲，首先對招差術(shù)加以說明的是格列高里（1670），在牛頓

的著作中（1676－1684）方才出現(xiàn)了招差術(shù)的普遍公式，朱世杰比他

們約早了四百年。

例如：求證 。

?

innn

2

?(?1)(2?1)

i1

?

n

1

6

解 由 可得

(i?1)?i?3i?3i?1

332

，

(n1)13i3

?????n

?

23

i1

?

n

n(n1)

?

2

整理即得所證。

完全類似地可遞推求 。

?

i

m

i1

?

n

十九、最早使用小數(shù)

劉徽在《九章算術(shù)注》中介紹，開方不盡時用十進(jìn)分?jǐn)?shù)（徽數(shù)，

即小數(shù)）去逼近，首先提出了關(guān)于十進(jìn)小數(shù)的概念。到公元 1300年

前后，元代劉瑾所著《律呂成書》中，已將106368.6312寫成

把小數(shù)部分降低一行寫在整數(shù)部分的后邊。而西方的斯臺汶直到

1585年才有十進(jìn)小數(shù)的概念，且他的表示方法遠(yuǎn)不如中國先進(jìn)。所

以，我們完全可以自豪地宣稱：中國是世界上最先使用小數(shù)的國家。

二十、最早產(chǎn)生二進(jìn)制思想

2進(jìn)制是17世紀(jì)德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茲最早明確提出的。但其

思想萌芽卻可追溯到公元前一千年左右成書的我國圣典著作《易經(jīng)》。

易經(jīng)中的符號系統(tǒng)實(shí)際上就是2進(jìn)制的符號系統(tǒng)。這還是萊布尼茨首

先看出來的，對此他非常激動，甚至表示愿意加入中國籍。

二十一、最早記載幻方

標(biāo)志著中華民族遠(yuǎn)古文化的洛書（傳說最早記載于五、六千年以

前，大禹治水時在洛水一帶發(fā)現(xiàn)的刻有圖紋的龜甲）至今仍像一顆璀

璨的明珠，堪稱數(shù)學(xué)史上的一絕。洛書就是三階幻方。而在國外，幻

方出現(xiàn)在2世紀(jì)。我國要早二、三千年。

二十二、最早開展數(shù)學(xué)教育的國家

我國的甲骨文(公元前1100年左右)中早就有關(guān)于數(shù)學(xué)教育的記

載。早在周代，國家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必修課藝之一，從6

歲或10歲就教數(shù)數(shù)及計算了。這無疑表明，中國是最早開展數(shù)學(xué)教

育的國家了。而希臘就算從最早的泰勒斯(公元前625年？～公元前

547年？)算起，也要晚500年左右。

中國數(shù)學(xué)只是在近幾百年才落伍了。我國也是在近幾百年由“中

心大國”衰落成為“發(fā)展中國家”的。 自1978年中國實(shí)行改革開放

的基本國策以來，我國取得了舉世矚目的成就。我國的綜合經(jīng)濟(jì)實(shí)力

和科技水平大幅度提高。在我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上，初步形成了復(fù)興中國

數(shù)學(xué)的新局面。在復(fù)興中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、建立具有我國特色的數(shù)學(xué)

學(xué)派這方面，吳文俊教授已為我們做出了榜樣。吳文俊教授于40年

代因在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)與微分拓?fù)鋵W(xué)方面取得的世界先進(jìn)水平的結(jié)果而

獲得1956年的國家自然科學(xué)的一等獎。1956年當(dāng)選為中國科學(xué)院學(xué)

部委員（現(xiàn)稱為院士）。1976年粉碎“四人幫”后，年近花甲的吳文

俊教授，在對中國古代數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)上，開拓了機(jī)械化數(shù)學(xué)的嶄新

領(lǐng)域。中國數(shù)學(xué)不再是沿襲他國的主題、問題與方法，從而引起了國

際數(shù)學(xué)界對我國的數(shù)學(xué)研究工作的日益密切的注意。1986年，吳文

俊教授在國際數(shù)學(xué)家大會上作關(guān)于中國數(shù)學(xué)史的報告，引起廣泛的興

趣。把中國古代輝煌的數(shù)學(xué)成就推向了世界。

我們有五千年的文明史，我們的數(shù)學(xué)曾經(jīng)非常地輝煌過。我們當(dāng)

代人有責(zé)任、有義務(wù)為復(fù)興我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)而使我國的數(shù)學(xué)水平

再度輝煌于世界而努力。