中國古代數學的具體成就

中國古代數學的具體成就

一、圓周率

魏晉時，劉徽曾用使正多邊形的邊數逐漸增加去逼近圓周的方法（即“割圓

術”），求得π的近似值3.1416。

漢朝時，張衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等於10的開方（約為

3.162）。雖然這個值不太準確，但它簡單易理解，所以也在亞洲風行了一陣。 王蕃

（229-267）發現了另一個圓周率值，這就是3.156，但沒有人知道他是如何求出來的。

公元5世紀，祖沖之和他的兒子以正24576邊形，求出圓周率約為355/113，和

真正的值相比，誤差小於八億分之一。這個紀錄在一千年后才給打破。

二、割圓術

所謂“割圓術”，是用圓內接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率

的方法。這個方法，是劉徽在批判總結了數學史上各種舊的計算方法之后，經過深思

熟慮才創造出來的一種嶄新的方法。

中國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長與直徑的比率為

三比一）的數值來進行有關圓的計算。但用這個數值進行計算的結果，往往誤差很大。

正如劉徽所說，用“周三徑一”計算出來的圓周長，實際上不是圓的周長而是圓內接

正六邊形的周長，其數值要比實際的圓周長小得多。東漢的張衡不滿足于這個結果，

他從研究圓與它的外切正方形的關系著手得到圓周率。這個數值比“周三徑一”要好

些，但劉徽認為其計算出來的圓周長必然要大于實際的圓周長，也不精確。劉徽以極

限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創新，又嚴密論證，從而為圓

周率的計算指出了一條科學的道路。

劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率

為3.14和 3.1416這兩個近似數值。這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確的

數據。劉徽把“割圓術”推廣到有關圓形計算的各個方面，從而使漢代以來的數學發

展大大向前推進了一步。以后到了南北朝時期，祖沖之在劉徽的這一基礎上繼續努力，

終于使圓周率精確到了小數點以后的第七位。在西方，這個成績是由法國數學家韋達

于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。祖沖之還求得了圓周率的兩個分數

值，一個是“約率” ，另一個是“密率”.，其中 這個值，在西方是由德國的奧托

和荷蘭的安東尼茲在１６世紀末才得到的，都比祖沖之晚了一千一百年。

公元263年，中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出“割圓”之說，他從圓內

接正六邊形開始，每次把邊數加倍，直至圓內接正96邊形，算得圓周率為3.14或

157/50，后人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等于3.1416）。

劉徽斷言“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失

矣”。其思想與古希臘窮竭法不謀而合。割圓術在圓周率計算史上曾長期使用。1610

年德國數學家柯倫用2^62邊形將圓周率計算到小數點后35位。1630年格林貝爾格利

用改進的方法計算到小數點后39位，成為割圓術計算圓周率的最好結果。分析方法

發明后逐漸取代了割圓術，但割圓術作為計算圓周率最早的科學方法一直為人們所稱

道。

三、十進位值制記數法

這是我國古代勞動人民一項非常出色的創造。十進，就是以十為基數，逢十進一

位．位值這個數學概念的要點，在于使同一數字符號因其位置不同而具有不同的數值。

例如同樣是2，在十位就是20，在百位就是200；又如4676這個數，同一個6在右數

第一位表示的是個位的6，在右數第三位則表示600。

我國自有文字記載開始，記數法就遵循十進制了。商代的甲骨文和西周的鐘鼎文，

都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等字的合文來記10

萬以內的自然數。這種記數法已含有明顯的位值制意義，只要把千、百、十和又的字

樣取消，便和位值制記數法基本一樣了。

十進位值制記數法給計算帶來了很大的便利，對我國古代計算技術的高度發展產

生了重大影響。它比世界上其他一些文明發生較早的地區，如古巴比倫、古埃及和古

希臘所用的計算方法要優越得多。印度則一直到公元6世紀還用特殊的記號表示二十、

三十、四十??等十的倍數，7世紀時才有采用十進位值制記數法的明顯證據。

十進位值制記數法，是我們祖先對人類文明的一項不可磨滅的貢獻。馬克思稱贊

它是“最妙的發明之一”。英國著名科技史專家李約瑟博士評價說：“如果沒有這種

十進位制，就幾乎不可能出現我們現在這個統一化的世界了。”

四、算經十書

在中國古代算書中，《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏

侯陽算經》、《孫丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算機》等10

部算書，被稱為“算經十書”。其中闡明“蓋天說”的《周髀算經》，被人們認為是

流傳下來的中國最古老的既談天體又談數學的天文歷算著作。它大約產生于公元前2

世紀，但它所包含的史料，卻有比這更早的。其中提到的大禹治水時所應用的數學知

識，成為現存文獻中提到最早使用勾股定理的例子。

五、勾股定理

據《周髀算經》記載：“故折矩以為句廣三，股 四，徑隅五。既方其外，半之

一矩，環而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下

者，此數之所 由生也。”

這段話的意思是：將矩的兩直角邊加以折算成一定的比例， 短直角邊長（句）3，

長直角邊長（股）4，弦就等于5， 得成3、4、5(如右圖)。句（即勾）、股平方之和

為25，這稱為積矩。大禹所用的治天下（指治水）的方法，就是從這些數學知識發展

出來的。

在世界數學史上，一般把勾股定理歸功于公元前5世紀左右發現它的古希臘數學

家畢達哥拉斯，因為他提出了定理的一般形式的敘述和證明，我國則稍晚。但實際上，

商高關于勾股定理的認識，要比畢達哥拉斯早得多。《周髀算經》成書于公元前2世

紀左右，所記載的周公與商高問答的事是在公元前11世紀左右。這個事實證明我國

古代數學家獨立地發現并應用了勾股定理的一般情形，要比外國早得多。

六、（測高、深、遠的方法）測量太陽高度

陳子是周代的天文算學家，榮方是當時天文算學家的愛好者。在陳子教給榮方的

各種數據計算的具體方法中，我們可以發現在二千六七百年前，我國對勾股定理的應

用已達到十分熟練的程度。

陳子測量太陽高度的方法可敘述為：當夏至太陽直射北回歸線時，在北方立一8

尺高的標竿，觀其影長為6尺。然后，測量者向難移動標竿，每移動1000里，標竿

的影長就減少1寸。據此可設想，當標竿的日影減少六尺，則標竿就向南移動了60000

里，而此時標竿恰在太陽的正下方。據勾股定理和相似形原理可算得：測量者與太陽

的距離為10萬里。

據記載，古希臘第一個自然哲學家泰勒斯也曾利用日影測出金字塔的高。他的方

法是由一根立竿的影長和同時測得的金字塔的影長算出了金字塔的高度。泰勒斯被稱

為西方的“測量之祖”。泰勒斯的這一工作與陳子的工作大致在相同的時期，然而陳

子的方法要比泰勒斯的方法水平高得多，泰勒斯只利用到相似三角形的知識，而陳子

除了能利用相似三角形的性質外，還能熟練地運用勾股定理。

七、祖沖之、祖暅父子

他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了

一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小

數點后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為

355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖

（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基

礎上推導出球體體積公式，并提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（“冪勢

既同則積不容異”）定理；歐洲17世紀意大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出

同一定理。祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。

八、等間距二次內插公式。

隋唐時期的主要成就在于建立中國數學教育制度，這大概主要與國子監設立算學

館及科舉制度有關。在當時的算學館《算經十書》成為專用教材對學生講授。《算經

十書》收集了《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等10部數學著作。所以當時

的數學教育制度對繼承古代數學經典是有積極意義的。公元600年，隋代劉焯在制訂

《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式；唐代僧一行在其《大衍歷》

中將其發展為不等間距二次內插公式。

九、秦九韶的高次方程數值解法

秦九韶是南宋時期杰出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將“增乘開方法”

加以推廣，論述了高次方程的數值解法，并且例舉20多個取材于實踐的高次方程的

解法（最高為十次方程）。16世紀意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦

九韶還對一次同余式理論進行過研究。

十、楊輝三角和剁積術

公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章算法》中用“垛積術”

求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸

捷法”，介紹了籌算乘除的各種運算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授

時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當于現在球面三

角的兩個公式。

十一、珠算

明代珠算開始普及于中國。1592年程大位編撰的《直指算法統宗》是一部集珠

算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國

古代數學進一步發展的主要原因之一。