太和縣十中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1用樹(shù)狀圖或表格求概率

2023年12月2日發(fā)(作者：山拼音)

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3.1.3用樹(shù)狀圖或表格求概率(3)

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能

進(jìn)一步經(jīng)歷用樹(shù)狀圖、列表法計(jì)算兩步隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的概率．

過(guò)程與方法

經(jīng)歷計(jì)算理論概率的過(guò)程，在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展合作交流意識(shí)及反思的習(xí)慣．

情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)合作交流的意識(shí)和能力，提高所研究問(wèn)題的反思和拓廣的能力，逐步形成良好的反思意識(shí)．

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步經(jīng)歷用樹(shù)狀圖、列表法計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率．

教學(xué)難點(diǎn)：正確地利用列表法計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率．

【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】

【創(chuàng)設(shè)情景，引入新課】

【回顧思考】

1.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),一個(gè)事件發(fā)生 也穩(wěn)定在相應(yīng)的 附近.因此,我們可以通過(guò)多次試驗(yàn),用一個(gè)事件發(fā)生的 來(lái)估計(jì)這一事件發(fā)生的 .

2.利用 或 可以清晰地表示出某個(gè)事件發(fā)生的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;從而較方便地求出某些事件發(fā)生的概率.

【自主探究】

做一做：

小穎為學(xué)校聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲:下面是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成相等的幾個(gè)扇形.游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,如果轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了紅色,轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,那么他就贏了,因?yàn)榧t色和藍(lán)色在一起配成了紫色.

(1)利用樹(shù)狀圖或列表的方法表示游戲者所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.

(2)游戲者獲勝的概率是多少?

【課堂探究】

用如圖所示的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲.

1

小穎制作了下圖,并據(jù)此求出游戲者獲勝的概率是1/2.

小亮則先把左邊轉(zhuǎn)盤的紅色區(qū)域等分成2份,分別記作“紅色1”,“紅色2”,然后制作了下表,據(jù)此求出游戲者獲勝的概率也是1/2.

你認(rèn)為誰(shuí)做的對(duì)?說(shuō)說(shuō)你的理由.

【課堂探究案】

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1.如圖,袋中裝有兩個(gè)完全相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字“1”和“2”.小明設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲:游戲者每次從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,并自由轉(zhuǎn)動(dòng)圖中的轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤被分成相等的三個(gè)扇形).

如果所摸球上的數(shù)字與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為2,那么游戲者獲勝.求游戲者獲勝的概率.

2.設(shè)計(jì)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲,使游戲者獲勝的概率為1/3.

2 第23章 解直角三角形

第2課時(shí) 互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生理解正、余弦相互關(guān)系式及推導(dǎo)過(guò)程，并能利用其解答一些基本問(wèn)題.

【過(guò)程與方法】

通過(guò)關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般地提出猜想和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)總結(jié)問(wèn)題的能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

關(guān)系的推導(dǎo)和應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

關(guān)系的推導(dǎo)和應(yīng)用.

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

復(fù)習(xí)特殊角三角函數(shù)值.

sin30°=______；cos60°=______；

sin60°=______；cos30°=______；

sin45°=______；cos45°=______.

【教學(xué)說(shuō)明】復(fù)習(xí)特殊角三角函數(shù)值，為本節(jié)課的教學(xué)作準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

1.通過(guò)觀察上面的特殊角三角函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°.

2.在直角三角形ABC中，你能猜想sinA與cosB有什么關(guān)系？

3.證明猜想，形成公式______.

【教學(xué)說(shuō)明】采取學(xué)生口述，教師板演，在此基礎(chǔ)上歸納出互為余角的正、余弦相互關(guān)系式.

【歸納結(jié)論】任意一個(gè)銳角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.

三、運(yùn)用新知，深化理解

3 1.教材P119例5.

2.計(jì)算：

sin37°=cos______；

cos62°=sin______；

sin47°-cos43°= ______；

cos18°/sin72° =______.

答案：53°28°0 1

3.填空：

（1）已知：sin67°18′=0.9225，則cos22°42′=______.

（2）已知：cos4°24′=0.9971，則sin85°36′=______.

答案：（1）0.9225 （2）0.9971

4.已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A，求cosB.

解：∵∠B=90°-∠A

∴∠A+∠B=90°

∴cosB=cos（90°-∠A）

=sinA

=1/2.

5.把下列各角的正弦（余弦）改寫成它的余角的余弦（正弦）：

（1）sin32°；（2）cos75°；

（3）sin54°19′；（4）sin41°53′.

解：（1）cos58°；（2）sin15°；

（3）cos35°41′；（4）cos48°7′.

6.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，先根據(jù)下列條件求出∠A的正弦值和余弦值，然后說(shuō)出∠B的正弦值和余弦值：

（1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4；

（3）b=2,c=29； （4）a=45，b=8.

解：略.

7.已知：△ABC中，∠C=90°，AC=25，BC=4.求sinA，cosA，sinB，cosB.

解：∵AB=所以sinA=BC/AB=2/3，

cosA=ACAB=5/3，

sinB=sin（90°-A）=cosA=5/3，

cosB=cos（90°-A）=sinA=2/3.

4

=6， 【教學(xué)說(shuō)明】以練習(xí)的形式，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正、余弦相互關(guān)系式的運(yùn)用能力.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補(bǔ)充.

布置作業(yè):教材P119“練習(xí)”

在課堂上要多給學(xué)生發(fā)言機(jī)會(huì)、板演機(jī)會(huì)，創(chuàng)造條件，使得學(xué)生有機(jī)會(huì)在老師和同學(xué)面前表現(xiàn)自我，讓學(xué)生在思維運(yùn)動(dòng)中訓(xùn)練思維，讓學(xué)生到前面來(lái)講，促進(jìn)學(xué)生之間聰明才智的相互交流.

5 一元二次方程及其一般式

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程定義及一般形式

概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：

ax2?bx?c?0(a?0)。其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

【注意】

1）只含有一個(gè)未知數(shù)；

2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3）整式方程。

典例1 下列屬于一元二次方程的是（ ）.

A．y2?2x?1?3 B．x2?x C．11x2?x?2?0 D．3x＋1＝0

【答案】B

A. 不是一元二次方程，有兩個(gè)未知數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B. 是一元二次方程，故此選項(xiàng)正確；

C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

典例2

px2?3x?p2?q?0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）

A．p?1 B．p?0 C．

p?0 D．

p為任意實(shí)數(shù)

【答案】C

【詳解】∵方程px2?3x?p2?q?0是關(guān)于x的一元二次方程，

∴二次項(xiàng)系數(shù)p≠0，

故選C.

典例3 若ax2?x?x2是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（ ）

A．a(chǎn)?0 B．a(chǎn)?1 C．a(chǎn)??1 D．a(chǎn)?0

【答案】B

【詳解】由題意得：a-1≠0

6 解得a≠1

故選B．

知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程的解

概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

典例1關(guān)于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一個(gè)根是x＝3，則m的值是（ ）

A.0 B.2 C.2或﹣2 D.﹣2

【答案】C

【詳解】把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，

解得m＝±2．

故選C．

典例2 已知 1 是關(guān)于

x

的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一個(gè)根，則

m

的值是（A.1 B.0 C.﹣1 D.無(wú)法確定

【答案】C

【詳解】解：∵1是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一個(gè)根，

∴（m-1）×12+1+1=0，且m-1≠0，

解得：．

故選擇：C.

典例3 已知a是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是（ ）A.6 B.5 C. D.

【答案】B

【詳解】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一個(gè)根，

∴a2-3a-1=0，

整理得，a2-3a=1，

∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3

=2×1+3

=5，

7

）

故選：B．

鞏固訓(xùn)練

一、選擇題（共10題）

1． 若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根為x＝2019，則一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根為（ ）

A．1

2019B．2020 C．2019 D．2018

【答案】B

【詳解】對(duì)于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，

設(shè)t=x-1，

所以at+bt-1=0，

而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根為x=2019，

所以at2+bt-1=0有一個(gè)根為t=2019，

則x-1=2019，

解得x=2020，

所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根為x=2020．

故選：B．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

2．觀察下列表格，一元二次方程x2-x=1.2的一個(gè)近似解是（ ）

2

A．0.11

【答案】C

B．1.69 C．1.79 D．1.19

8 【詳解】∵x=1.7時(shí)，x2-x=1.19；x=1.8時(shí)，x2-x=1.44，

∴一元二次方程x

故選C．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說(shuō)明未知數(shù)的值愈接近方程的解．

3．已知m是方程好x2－2x－1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2－4m＋2019的值為( )

A．2022

【答案】B

【詳解】∵m是方程x?2x?1=0的一個(gè)根，

22B．2021 C．2020 D．2019

∴m2?2m?1=0，

∴m2?2m=1，

∴2m?4m+2017=2(m?2m)+2017=2×1+2019=2021.

22故選B

【名師點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則

4．方程x+2x﹣3＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是( )

A．1，2，3

【答案】B

【詳解】方程x+2x﹣3＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是1，2，﹣3，

故選：B．

【名師點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax+bx+c＝0(其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0)．解題關(guān)鍵在于找出系數(shù)及常熟項(xiàng)

5．關(guān)于x的方程(m?3)xmA．－1

【答案】B

【詳解】解：由題意得：m-2m-1=2，m-3≠0，

解得m=-1或m=3．

m=3不符合題意，舍去，

所以它的一次項(xiàng)系數(shù)-m=1．

故選：B．

9

222B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3

22?2m?1?mx?6?0是一元二次方程，則它的一次項(xiàng)系數(shù)是( )

C．3 D．3或－1 B．1 【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．

6．一元二次方程(a-3)x-2x+a-9=0 的一個(gè)根是 0, 則

a

的值是( )

A．2

【答案】D

【詳解】把x=0代入方程（a-3）x-2x+a-9=0，得：a﹣9=0，解得：a=±3．

∵a－3≠0，∴a=－3．

故選D．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根即方程的解的定義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)候注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，難度不大．

7．若關(guān)于x的方程（a+1）x-3x-2=0是一元二次方程，則a的取值范圍是（ ）

A．a(chǎn)?0

【答案】B

【詳解】解：根據(jù)題意，得

a+1≠0，

解得，a≠-1．

故選：B．

【名師點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的概念，一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．

8．將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）

A．﹣4，2

【答案】B

【詳解】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得：

-3x2+4x-2=0，

∵a＞0，

∴3x2-4x+2=0，

∴一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是：-4x，2，

故選：B．

10

2222222B．3 C．3 或-3 D．-3

B．a(chǎn)??1 C．a(chǎn)??1 D．a(chǎn)??1

B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x，2

2 【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．

29．若?a?1?x?x?1?0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是(

)

2A．a(chǎn)?0

【答案】C

B．a(chǎn)?0 C．a(chǎn)?1 D．a(chǎn)?1

【詳解】根據(jù)題意得：

a?1?0，

解得：a?1，

故選C．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，正確掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．

10．已知2是關(guān)于x的方程3x2﹣2a＝0的一個(gè)解，則a的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【詳解】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．

故選：D．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

二、填空題（共5題）

11．如果a是一元二次方程x2?3x?5?0的一個(gè)根，那么代數(shù)式8?a2?3a=__________.

【答案】3

【詳解】解：把x=a代入x2-3x-5=0得a2-3a-5=0，

所以a2-3a=5，

所以8-a2+3a=8-（a2-3a）=8-5=3．

故答案為：3．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

11 12．方程(3x?1)(2x?3)?1中，二次項(xiàng)系數(shù)是____,一次項(xiàng)系數(shù)是____,常數(shù)項(xiàng)是____.

【答案】6 -7 -4

【詳解】方程整理得：6x2 ?7x?4=0，其中二次項(xiàng)系數(shù)是6，一次項(xiàng)系數(shù)為?7，常數(shù)項(xiàng)為?4，

故答案為： 6，?7，?4

【名師點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于將方程整理為一般形式

13．已知關(guān)于x的一元二次方程?m?2?x?3x?m?4?0的一根為0，則m的值為_(kāi)_________．

22【答案】2

【詳解】把x=0代入方程得

m-4=0

∴m1=2，m2=-2，

∵一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，

∴m+2≠0，即m≠-2，

∴m=2．

故答案為：2．

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系數(shù)的值，對(duì)不合題意的值要舍去．

14．如果x?5是一元二次方程x2?3x?n?0的一個(gè)根,則常數(shù)n的值為_(kāi)_____.

【答案】-10.

【詳解】把x?5代入x2?3x?n?0可得

252?3?5?n?0

解得：x=-10

故答案為：-10

【名師點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的根.理解方程的根的意義.

15．若x?3是一元二次方程x2?ax?3b?0的解，則代數(shù)式a?b的值是_______

【答案】-3

【詳解】解：x?3是一元二次方程x2?ax?3b?0的一個(gè)根，

?32?3a?3b?0，

?a?b??3．

故答案為：?3．

12 【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解（根)的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

三、解答題（共2題）

16．關(guān)于x的方程x+mx﹣1＝0的一個(gè)根是x＝2，求m的值．

【答案】m＝﹣23．

2【詳解】解：把x＝2代入方程x2+mx﹣1＝0得4+2m﹣1＝0，

解得m＝﹣．

【名師點(diǎn)睛】本題考核一元二次方程的根的意義.

17．（2018春 北京市期末）已知x＝n是關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一個(gè)根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．

【答案】1

【詳解】依題意，得mn2?4n?5?0．

∴mn2?4n?5．

∵mn2?4n?m?6，

∴5?m?6．∴m?1．

【名師點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

13

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