五年級(上冊)數(shù)學(xué)知識點歸納

2023年12月4日發(fā)(作者：空載試驗)

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人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級（上冊）各單元【知識點】

第一單元《小數(shù)乘法》

一、小數(shù)乘整數(shù)的計算方法：

1、先將小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù) 2、再按照整數(shù)乘法的計算方法算出積 3、最后確定積的小數(shù)點的位置。4、如果積的小數(shù)部分末尾若出現(xiàn)0，要去掉小數(shù)末尾的0，使小數(shù)成為最簡形式。

二、小數(shù)乘小數(shù)的算理及計算方法：

（1）按照整數(shù)乘法算出積，再點小數(shù)點；（2）點小數(shù)點時，看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，有幾位小數(shù)就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；（3）積的小數(shù)位數(shù)如果不夠，在前面用0補足，再點小數(shù)點；（4）積的小數(shù)部分末尾有0的要把0去掉。

三、積與因數(shù)的關(guān)系

一個因數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積比原來的因數(shù)大；

一個因數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)，積比原來的因數(shù)小。

四、求一個數(shù)的小數(shù)倍數(shù)是多少的問題的解題方法：用乘法計算，即用這個數(shù)乘小數(shù)倍數(shù)。

五、小數(shù)乘法的常用驗算方法：

（1）根據(jù)因數(shù)與積的大小關(guān)系檢驗；（2）交換兩個因數(shù)的位置，重新計算；（3）用計算器驗算。

六、用“四舍五入”法求積的近似數(shù)：

1、先算出積,然后看要保留數(shù)位的下一位,再按“四舍五入法”求出結(jié)果,用“≈”表示；

2、用四舍五入法保留一定的小數(shù)位數(shù)。

四舍五入法：小于5，把它和右邊的數(shù)全舍去，改寫成0

大于5，向前進1，再把它和右面的數(shù)全舍去，改寫成0

由于小數(shù)的末尾去掉0和加上0，小數(shù)的大小不變，所以取小數(shù)的近似數(shù)時不用把數(shù)改寫成0，直接去掉。

2.205≈2 (保留整數(shù))

2.205≈2.2 (保留一位小數(shù))

2.205≈2.21 (保留兩位小數(shù))

3、如果求得的近似數(shù)要保留數(shù)位的數(shù)字是9而后一位數(shù)字又大于5需要進1,這時就要依次進一用0占位。如6.597 保留兩位小數(shù)為6.60。

特別注意：在保留整數(shù)、（一位、兩位、三位）小數(shù)、省略（億···萬···十分位、百分位···）后面的尾數(shù)、精確到（億···萬···十分位、百分位···）這類題目，都可以用劃圓圈的方法來完成。

七、乘除法運算定律

1、乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換兩個因數(shù)的位置，積不變。

用字母表示為：a×b=b×a

例如：85×18=18×85 23×88=88×23

2、乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先乘前兩個數(shù)，或者先乘后兩個數(shù)，積不變。

用字母表示為：(a×b)×c=a×(b×c)

注意：乘法結(jié)合律的應(yīng)用基于要熟練掌握一些相乘后積為整十、整百、整千的數(shù)。

例如：25×4=100； 250×4=1000； 125×8=1000； 125×80=10000

3、乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加。

用字母表示：(a+b)×c=a×c+b×c ，或者是：a×c+b×c=(a+b)×c

注意：簡便計算中乘法分配律及其逆運算是運用最廣泛的一個，一定要掌握它和它的逆運算。

4、個數(shù)相乘，如果有接近整十、整百、整千……的數(shù)，可以將其轉(zhuǎn)化成整十、整百、整千數(shù)……加（或減）一個數(shù)的形式，再用乘法分配律進行計算。

小學(xué)數(shù)學(xué) 八、整數(shù)乘法運算定律在小數(shù)乘法中的應(yīng)用：

1.整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律,對于小數(shù)乘法也適用。

2.計算連乘時可應(yīng)用乘法交換律、結(jié)合律將乘積是整數(shù)的兩個數(shù)先乘,再乘另一個數(shù)；計算一步乘法時,可將接近整十、整百的數(shù)拆成整十整百的數(shù)和一位數(shù)相加減的算式,再應(yīng)用乘法分配律簡算。

3.對于不符合運算定律的算式,可通過變形再進行應(yīng)用。

錯點警示:小數(shù)乘整數(shù)的積的末尾有0時，一定要

先點積中的小數(shù)點，再去掉積中小數(shù)部分

末尾的0。

規(guī)避策略:牢記計算方法和解題過程，先按整數(shù)乘

法計算，再數(shù)小數(shù)位數(shù)，確定小數(shù)點的位

置，最后去掉小數(shù)部分末尾的0。

第二單元《位置》

一、對行和列的認(rèn)識。

1、橫排叫做行，豎排叫做列。確定第幾列一般是從左往右數(shù)，確定第幾行一般是從前往后數(shù)。

二、對數(shù)列的認(rèn)識和表示方法。

1、用有順序的兩個數(shù)表示出一個確定的位置就是數(shù)對，確定一個物體的位置需要兩個數(shù)據(jù)。

2、用數(shù)對表示位置時，先表示第幾列，再表示第幾行，不要把列和行弄顛倒。

3、寫數(shù)對時，用括號把列數(shù)和行數(shù)括起來，并在列數(shù)和行數(shù)之間寫個逗號把它們隔開。寫作：（列，行）。

4、數(shù)對的讀法：（2，3）可以直接讀（2，3）,也可以讀作數(shù)對（2，3）。

5、一組數(shù)對只能表示一個位置。

6、表示同一列物體位置的數(shù)對，它們的第一個數(shù)相同；表示同一行物體位置的數(shù)對，它們的第二個數(shù)相同。

8、表示位置有絕招，一組數(shù)據(jù)把它標(biāo)。 豎線為列橫為行，列先行后不可調(diào)。

一列一行一括號，逗號分隔標(biāo)明了。

三、物體移動引起數(shù)對的變化。

1、在方格紙或田字格上，物體左、右移動（向左或向右平移），行數(shù)不變，列數(shù)等于減去或加上平移的格數(shù)；物體上、下移動（向上或向下平移），列數(shù)不變，行數(shù)等于加上或減去平移的格數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué) 空間

與

第三單元《小數(shù)除法》

知識框架：

小數(shù)除法

1、小數(shù)除以整數(shù) *計算法則：按整數(shù)除法的法則進行計算，商的小數(shù)點要和被

圖形

0再除。2、一個數(shù)除以小數(shù) 除數(shù)的小數(shù)點對齊。如果有余數(shù)，要添（整數(shù)部分不夠除，商0，點上小數(shù)點。（一位一位落數(shù)，不夠商1就用0占位。）

3、商的近似數(shù)。四舍五入法(結(jié)合生活實際，具體問題具體分析)

有限小數(shù) 如：3.126589 0.47

4、循環(huán)小數(shù)：小數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)

無限小數(shù)

無限循環(huán)小數(shù)

5、用計算器探索規(guī)律

6、解決問題

一、小數(shù)除以整數(shù)

1、小數(shù)除法的意義：已知兩個因數(shù)的（積）與其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

如：0.6÷0.3表示已知兩個因數(shù)的積0.6與其中的一個因數(shù)0.3，求另一個因數(shù)的運算。

2、小數(shù)除以整數(shù)的計算方法：

（1）小數(shù)除以整數(shù)，先安按整數(shù)除法的方法計算，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。

3、除到被除數(shù)的末尾有余數(shù)的小數(shù)除法：

（1）計算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法時，除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)（小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變）在商的個位后點上小數(shù)點，在余數(shù)后面添0繼續(xù)除。

（2）小數(shù)除以整數(shù)如果整數(shù)部分不夠除，商寫上0，點上小數(shù)點再除。0在個位起占位作用。

5.642 2 .42 02 42 40……24個十分之一5642 2 42 02 42 40……24個一4除的方法和整數(shù)除法的方法基本相同，不同的是在做22.4÷4時商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊0.15121. 81 2606 0整數(shù)部分不夠除，0商0，點上小數(shù)點。除到小數(shù)部分有余數(shù)時，添0再除。

5.62 2.42 0242 40按照整數(shù)除法的方法計算；商的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊；二、一個數(shù)除以小數(shù)

1、除數(shù)是小數(shù)的除法的計算方法：

（1）、先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué) （2）除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的，在被除數(shù)的末尾用0補足。

（3）然后按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法進行計算。

易錯點：如果被除數(shù)的位數(shù)不夠，在被除數(shù)的末尾用0補足。

2、除法中的變化規(guī)律：

（1）商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變。

（2）除數(shù)不變，被除數(shù)擴大，商隨著擴大。

（3）被除數(shù)不變，除數(shù)縮小，商擴大。

3、商和被除數(shù)的大小關(guān)系：被除數(shù)除以一個小于1的除數(shù)時，商會比被除數(shù)大；被除數(shù)除以一個大于1的除數(shù)時，商會比被除數(shù)小。

三、商的近似數(shù)

1、準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)

準(zhǔn)確數(shù)：在日常生活和生產(chǎn)實際所遇到的數(shù)中，有時可以得到完全準(zhǔn)確的數(shù)，他們精確，沒有誤差。如：五（1）班有學(xué)生46人，這里的46是準(zhǔn)確數(shù)。

近似數(shù)：由于實際中常常不需要用精確的數(shù)描述一個量，或不可能得到精確的數(shù)。如：中國約有13億人，這里的13就是近似數(shù)。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)精確到哪一位，從左邊第一個不是零的數(shù)算起，到這一位數(shù)字上，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。例如：0.6166≈0.62，有兩個有效數(shù)字：6、2。

3、求商的近似數(shù)時，一般先除到比需要保留的小數(shù)位數(shù)多一位，在按照“四舍五入”法取商的近似值。

易錯點：求近似數(shù)時，其中小數(shù)末尾的“0”不能去掉。

四、循環(huán)小數(shù)&用計算器探索規(guī)律

1、循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 注意：循環(huán)小數(shù)必須滿足兩個條件

2、循環(huán)節(jié)：一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字。如6.3232……的循環(huán)節(jié)是32。

3、循環(huán)小數(shù)的表示方法：寫循環(huán)小數(shù)時，可以只寫第一個循環(huán)節(jié)。并在這個循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上面各記一個圓點。

例如：5.33333… 寫作：5.3 ；6.965986598… 寫作：6.96598

3、小數(shù)： 小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。

小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。

五、解決問題

先審題，要明白題目中已知什么？要求什么？再根據(jù)其關(guān)系式進行列出算式，（列算式時多問自己為什么要這樣列式）接著進行計算，在計算的過程中，要細(xì)心、細(xì)心、再細(xì)心，最后根據(jù)實際情況決定用“進一法”還是“去尾法”。

小學(xué)數(shù)學(xué)

??? 第四單元《可能性》

一、事件發(fā)生的可能性有三種情況：可能、不可能和一定。其中，在一定的條件下，一些事情的結(jié)果是可以預(yù)知或確定的，就可以用“一定”或“不可能”來描述，表示確定現(xiàn)象。而在一定的條件下，一些事情的結(jié)果是不可以預(yù)知的或不可以確定的，這時就可以用“可能”來描述，表示不確定現(xiàn)象。

二、事件發(fā)生的可能性大小：當(dāng)事件的可能性的大小與物體數(shù)量相關(guān)時，在總數(shù)或總體中物體數(shù)量越多，出現(xiàn)對應(yīng)結(jié)果的可能性越大；物體數(shù)量越少，出現(xiàn)對應(yīng)結(jié)果的可能性就越小。

三、根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷物體數(shù)量的多少：當(dāng)可能性的大小與物體數(shù)量相關(guān)時，某事件發(fā)生的可能性越大，則該事件對應(yīng)的物體在總數(shù)中所占數(shù)量就越多；可能性越小，所占數(shù)量就越少。

考點：（1）、可能性的大小可以用分?jǐn)?shù)或小數(shù)來表示。 例如：從標(biāo)有1，2，3，4的四張卡片中任抽一張，抽到卡片“1”的可能性是多少？

（2）、設(shè)計公平的游戲規(guī)則。例如：指針停在斜線、白、黑三種區(qū)域的可能性是多少？

（3）、數(shù)的排列規(guī)律。 例如：桌子有三張卡片，分別寫著7、8、9。如果擺出的三位數(shù)是單數(shù)小強贏，如果提出的三位數(shù)是雙數(shù)，小麗贏，想一想，誰贏的可能性大些？這樣公平嗎？

第五單元《簡易方程》

一、對于乘號的書寫形式：

（1）在含有字母的式子里，字母中間的乘號可以記作“·”，也可以省略不寫。

如：a?b?a?b?ab

（2）數(shù)字和字母相乘，省略乘號時要把數(shù)字寫在前面。（如b×4寫作4b ）

（3）數(shù)與數(shù)之間的乘號不能省略。

注意：a×a可以寫作：a·a (或a2) ，a2讀作：a的平方或a的2次方，表示兩個a相乘。

2a表示：a+a

二、等式的性質(zhì)：

（1）在等式左右兩邊同時加、減、乘、除相同的數(shù)（0除外），等式依然成立。

（2）在方程左右兩邊同時加、減、乘、除一個不等于0的數(shù)，左右兩邊仍然相等。

三、方程和等式的關(guān)系：

含有未知數(shù)的等式叫做方程， （所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。）

如：2+3=5是等式，但不是方程。 注意：X=3此類也是方程。

四、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

五、解方程：求方程的解的過程叫做解方程。 解方程原理：天平平衡。

六、解方程需要注意什么？（每天堅持練習(xí)）

（1）一定要寫‘解’字。

（2）等號要對齊，同時運算前左右兩邊要照抄，解的未知數(shù)寫在左邊。

（3）兩邊乘、除相同數(shù)的時候，這個數(shù)一定不能為0。

小學(xué)數(shù)學(xué) 七、10個數(shù)量關(guān)系式：

加法：和=加數(shù)+加數(shù) 一個加數(shù)=和-另一個加數(shù)

減法：差=被減數(shù)-減數(shù) 被減數(shù)=差+減數(shù) 減數(shù)=被減數(shù)-差

乘法：積=因數(shù)×因數(shù) 一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)

除法：商=被除數(shù)÷除數(shù) 被除數(shù)=商×除數(shù) 除數(shù)=被除數(shù)÷商

八、用S表示面積，用C表示周長。

（1） 如果用a表示正方形的邊長 ， 那么 ：

這個正方形的周長：C =a·4=4a（省略乘號時，一般把數(shù)寫在字母前面）

這個正方形的面積：S =a·a=a2（讀作：a的平方，表示2個a相乘）

（2） 如果用a表示長方形的長， b表示寬，那么：

這個長方形的周長：C =（a+b）·2

這個長方形的面積：S = a·b=ab

九、方程的檢驗過程：方程左邊=....... =方程右邊

所以，X=..... 是方程的解。

十、列方程解應(yīng)用題 總結(jié)幾種情況：

（1）比字句。（如：根據(jù)比字句找出關(guān)系式，列方程）

（2）找總量。（如：根據(jù)總量找關(guān)系式，列方程）

（3）相遇問題（如：根據(jù)總路程列方程）。

（4）根據(jù)公式列方程（如：根據(jù)公式列方程）。

（5）根據(jù)不變量列方程。（如：如果每個房間住6人，有20人沒床位；如果每房間住8人，正好住滿。有多少房間？根據(jù)兩種方案的不變量“總?cè)藬?shù)”列方程）。 請根據(jù)幾種情況，找題練習(xí)。

注意：問題為兩個未知量時，一般根據(jù)有關(guān)倍數(shù)的句子，寫設(shè)。

十一、方程解的值的問題：

方程的解是一個數(shù)值，如x=3，不加單位名稱。解方程是一個過程。

注意事項：

以下內(nèi)容除了標(biāo)明的外，全都是正確的方程習(xí)題示例，且沒有跳步，請仔細(xì)觀看其中每步的解題意圖。帶“*”號的題目不會考查，但了解它們有助于掌握解復(fù)雜方程的一般方法，對簡單的方程也就自然游刃有余了。

一、一步方程

只有一步計算的方程，直接逆運算除未知數(shù)外的部分。

x＋5＝14

解：x＋5－5＝14－5

x＝9

x－6＝7

解：x－6＋6＝7＋6

x＝13

3x＝18

解：3x÷3＝18÷3

x＝6

x÷4＝5

解：x÷4×4＝5×4

x＝20

難點：當(dāng)未知數(shù)出現(xiàn)在減數(shù)和除數(shù)時，要先逆運算含未知數(shù)的部分。

小學(xué)數(shù)學(xué)

16－x＝9

解：16－x＋x＝9＋x

x＋9＝16

x＋9－9＝16－9

x＝7

24÷x＝4

解：24÷x×x＝4×x

4x＝24

4x÷4＝24÷4

x＝6 二、兩步方程

兩步方程中，若是只有同級運算，也可以先計算，后當(dāng)做一步方程求解。注意要“帶符號移動”，增添括號時還要注意符號的變化。

10＋x－6＝20

解：x＋（10－6）＝20

x＋4＝20

x＋4－4＝20－4

x＝16

x÷4×8＝9.6

解： x×（8÷4）＝9.6

2x＝9.6

2x÷2＝9.6÷2

x＝4.8

或 x÷4×8＝9.6

解： x÷（4÷8）＝9.6

x÷0.5＝9.6

x÷0.5×0.5＝9.6×0.5

x＝4.8

如果含有兩級運算，就“逆著運算順序”同時變化，如含有未知數(shù)的一邊是“先乘后減”，則

先逆運算減法（即兩邊同加），再逆運算乘法（即兩邊同時除以），依此類推。

2.4x－6＝18

解：2.4x－6＋6＝18＋6

2.4x＝24

2.4x÷2.4＝24÷2.4

x＝10

x÷4＋6＝7.8

解： x÷4＋6－6＝7.8－6

x÷4＝1.8

x÷4×4＝1.8×4

x＝7.2

3（x－6）＝6.6

解：3（x－6）÷3＝6.6÷3

x－6＝2.2

x－6＋6＝2.2＋6

x＝8.2

難點：當(dāng)未知數(shù)出現(xiàn)在減數(shù)和除數(shù)時，要先把含有未知數(shù)的部分看作一個整體（可以看成是一個新的未知數(shù)），就相當(dāng)于簡化成了一步方程。

例題中，“64÷x”、“7.2－x”和“6÷x”被看成新的未知數(shù)（y），

因此原方程就可以看成是6＋y＝10，5y＝6和10－y＝8的形式。

三、三步方程

（一）應(yīng)用乘法分配律，共同因數(shù)是已知數(shù)的

具有乘法分配律的形式，即兩個有共同因數(shù)的乘積（或具有相同除數(shù)的除法式子）相加或相減，而共同因數(shù)（或除數(shù)）是已知數(shù)的，既可以逆用乘法分配律提取共同因數(shù)而將其簡化為兩步方程，也可以直接算出已知部分而化簡。

小學(xué)數(shù)學(xué)

6＋64÷x＝10

解：6＋64÷x－6＝10－6

64÷x＝4

64÷x×x＝4×x

4x＝64

4x÷4＝64÷4

x＝16

5（7.2－x）＝6

解： 5（7.2－x）÷5＝6÷5

7.2－x＝1.2

7.2－x＋x＝1.2＋x

x＋1.2＝7.2

x＋1.2－1.2＝7.2－1.2

x＝6

* 10－6÷x＝8

解：10－6÷x＋6÷x＝8＋6÷x

10＝8＋6÷x

6÷x＋8－8＝10－8

6÷x＝2

6÷x×x＝2×x

6＝2x

2x÷2＝6÷2

x＝3

2.4x＋2.4×8＝36

解： 2.4（x＋8）＝36

2.4（x＋8）÷2.4＝36÷2.4

x＋8＝15

x＋8－8＝15－8

x＝7

或 2.4x＋2.4×8＝36

解： 2.4x＋19.2＝36

2.4x＋19.2－19.2＝36－19.2

2.4x＝16.8

2.4x÷2.4＝16.8÷2.4

x＝7

x÷4－4.8÷4＝2

解： （x－4.8）÷4＝2

（x－4.8）÷4×4＝2×4

x－4.8＝8

x－4.8＋4.8＝8＋4.8

x＝12.8

或 x÷4－4.8÷4＝2

解： x÷4－1.2＝2

x÷4－1.2＋1.2＝2＋1.2

x÷4＝3.2

x÷4×4＝3.2×4

x＝12.8

通過比較可以看出，一般來說提取共同因數(shù)的方法確實計算量要少一些，不容易算錯。

（二）應(yīng)用乘法分配律，共同因數(shù)是未知數(shù)的

具有乘法分配律的形式，即兩個有共同因數(shù)的乘積（或具有相同除數(shù)的除法式子）相加或相減，而共同因數(shù)（或除數(shù)）是未知數(shù)的，只能逆用乘法分配律提取共同因數(shù)而將其簡化為兩步方程。

2.4x＋3.6x＝36

解： （2.4＋3.6）x＝36

6x＝36

6x÷6＝36÷6

x＝6

* 8÷x＋12÷x＝4

解： （8＋12）÷x＝4

20÷x＝4

20÷x×x＝4×x

4x＝20

4x÷4＝20÷4

x＝5

難點：隱藏的因數(shù)或錯看的未知數(shù)容易成為此類問題的難點和易錯點。

2.4x－x＝7

解：

2.4x－1x＝7

（2.4－1）x＝7

1.4x＝7

1.4x÷1.4＝7÷1.4

x＝5

此步可以不寫

注意，此為典型錯題！！！ 注意，此為正確解法！！！

解： 3.6＋2.4x＝15 解： 3.6＋2.4x＝15

（3.6＋2.4）x＝15 2.4x＋3.6－3.6＝15－3.6

6x＝15 2.4x＝11.4

6x÷6＝15÷6 2.4x÷2.4＝11.4÷2.4

x＝2.5 x＝4.75

用交換律改變位置便于觀察！

此步愛跳過的更容易錯！

三、其它方程（方程兩邊都出現(xiàn)未知數(shù)的情況）

要解決兩邊都出現(xiàn)未知數(shù)的方程，就必須通過“等式的基本性質(zhì)”，消去一邊的未知數(shù)，成為我們熟悉的一般形式。因此，常常要將若干個未知數(shù)看成整體，共同加上或者減去。

3.2x＋8＝4.8x

解： 3.2x＋8－3.2x＝4.8x－3.2x

（4.8－3.2）x＝8

1.6x＝8

1.6x÷1.6＝8÷1.6

x＝5

9－5x＝15－10x

解： 9－5x＋10x＝15－10x＋10x

9＋5x＝15

5x＋9－9＝15－9

5x＝6

5x÷5＝6÷5

x＝1.2

（一）方程兩邊都出現(xiàn)未知數(shù)的復(fù)雜情況（不作要求）

難點：方程兩邊都有未知數(shù)，且未知數(shù)是除數(shù)（即非0），則可以同時乘以未知數(shù)（這時方程的兩邊都各看作一個整體，里面的每一項都要乘以未知數(shù)），再消去一邊的未知數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)

四、總結(jié)

既然“解方程”是要得到形如“x＝9”這樣的“方程的解”，因此就應(yīng)當(dāng)將方程中多余的、不想要的部分去掉（通過同時同樣的逆運算），而其關(guān)鍵就在于運用“等式的基本性質(zhì)”——只要保證方程兩邊的同時同樣的變化，哪怕繞了大彎，“方程”最終也一定能被解決！

附：方程的檢驗

方程的檢驗作為一種格式存在，只需要記憶即可，平時一般口算代入檢驗。

6＋64÷x＝10

解：6＋64÷x－6＝10－6

64÷x＝4

64÷x×x＝4×x

4x＝64

4x÷4＝64÷4

x＝16

檢驗：

方程左邊＝6＋64÷x

＝6＋64÷16

＝6＋4

＝10

＝方程右邊

所以，x＝16是原方程的解。

格式：

1、“檢驗：”

2、從“方程左邊＝”寫起，先寫方程左邊的表達式

3、代入方程的解，逐步計算

4、算出答案后，與方程右邊的結(jié)果比較，得出結(jié)論。

* 4＋6÷x＝9÷x

解： （4＋6÷x）x＝（9÷x）x

4×x＋6÷x×x＝9÷x×x

4x＋6＝9

4x＋6－6＝9－6

4x＝3

4x÷4＝3÷4

x＝0.75

* 10－8÷x＝13－14÷x

解： （10－8÷x）x＝（13－14÷x）x

10×x－8÷x×x＝13×x－14÷x×x

10x－8＝13x－14

10x－8－10x＝13x－14－10x

3x－14＝－8

3x－14＋14＝－8＋14

3x＝6

3x÷3＝6÷3

x＝2

小學(xué)數(shù)學(xué) 第六單元《多邊形面積》

一、長方形面積、周長關(guān)系式：

1、長方形面積=長×寬 字母公式：s=ab

2、長方形周長=(長＋寬)×2 字母公式：c=(a＋b)×2 （長=周長÷2-寬；寬=周長÷2-長）

二、長方形中面積、周長與長和寬之間的變化關(guān)系：

（1）長方形的長加寬等于長方形周長的一半。即 a + b = c ÷ 2

（2）當(dāng)長方形的周長不變時，長與寬的差越大，這個長方形的面積就越小；反之，長與寬的差越小，這個長方形的面積就越大。

（3）當(dāng)長方形的面積不變時，長與寬的差越大，這個長方形的周長就越長；長與寬的差越小，這個長方形的周長就越短。

（4）長方形框架拉成平行四邊形，周長不變，面積變小。

三、正方形面積、周長關(guān)系式：

1、正方形面積=邊長×邊長 字母公式：s= a2或者s=a×a

2、正方形周長=邊長×4 字母公式：c=4a 或者c= a×4

四、平行四邊形

1、認(rèn)識平行四邊形和梯形

①四邊形分類：一類是兩組對邊分別平行；另一類是只有一組對邊平行

平行四邊形 長方形 正方形

四邊形

梯形

②平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。長方形和正方形是特殊的平行四邊形。正方形是特殊的長方形。

2、平行四邊形的特征：平行四邊形容易變形，具有不穩(wěn)定性；三角形具有穩(wěn)定性。

3、平行四邊形面積的計算公式

（1）沿著平行四邊形任意一條邊上的高，將平行四邊形分成兩部分，再經(jīng)過平移或者剪拼，可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。通過觀察發(fā)現(xiàn)，長方形的長是原平行四邊形的底，長方形的寬是原平行四邊形的高。

小學(xué)數(shù)學(xué) （2）通過長方形的面積公式，長方形的面積=長×寬，我們可以得到平行四邊形的面積公式，如果用S表示平行四邊形的面積，用a和h分別表示平行四邊形的底和高，可以得到平行四邊形的面積==底×高；字母公式為：S=a×h。

4、平行四邊形面積公式的應(yīng)用

平行四邊形的面積公式：S=a×h，經(jīng)過變形得到：a=S÷h，h=S÷a。在已知平行四邊形的底、高和面積中任意兩個量時，可求出第三個量。

注意：等底等高的平行四邊形面積相等。

五、三角形部分

1. 三角形面積的計算公式

（1）用兩個完全相同的三角形，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移，可以拼成一個平行四邊形。拼成的平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，也可以說成三角形的面積等于拼成的平行四邊形的一半。觀察可以發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的底和三角形的底相同，平行四邊形的高和三角形的高相同。

（2）通過平行四邊形的面積公式，可以推導(dǎo)出三角形的面積公式。如果S表示三角形的面積，用a和h分別表示三角形的底和高，三角形的面積=底×高÷2；字母公式為：S=a×h÷2。

2、三角形面積公式的應(yīng)用

三角形的面積公式：S=a×h÷2，經(jīng)過變形得到：a=2S÷h，h=2S÷a。在已知三角形的底、高和面積三個量中任意兩個量，都可以求出第三個量。 注意：等底等高的三角形面積相等。

六、梯形

1、梯形：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。 生活中的梯形：梯子、堤壩的橫截面等

④平行四邊形和梯形的相同點和不同點：

相同點：都是四邊形；都有平行的對邊

不同點：平行四邊形的兩組對邊平行且相等；梯形有且只有一組對邊平行，且平行的這組對邊不相等

2、平行四邊形和梯形各部分名稱及高的畫法。

①為平行四邊形和梯形各條邊命名

平行四邊形的底和高：從平行四邊形一條邊上的一點到對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。

②梯形中互相平行的一組對邊，較短的邊叫做梯形的上底，較長的邊叫做梯形的下底，不平行的那組對邊，分別叫做梯形的腰。

③等腰梯形：兩腰相等的梯形。

小學(xué)數(shù)學(xué) ④直角梯形：當(dāng)一條腰與上底、下底垂直時，這個梯形叫直角梯形。

⑤畫高時注意：所畫的高要用虛線表示；一定要畫垂足符號。

3、梯形面積的計算公式

（1）梯形面積公式的推導(dǎo)過程： 旋轉(zhuǎn)、平移，將兩個完全相同的梯形可以拼成一個平行四邊形，梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，拼成的平行四邊形的底等于梯形的上底、下底之和，平行四邊形的高等于梯形的高。

（2）根據(jù)平行四邊形面積公式，可以推導(dǎo)出梯形的面積公式。因為平行四邊形的面積=底×高，所以梯形的面積=（上底＋下底）×高÷2，用S表示梯形的面積，a、b和h分別表示梯形的上底、下底和高，梯形的面積公式為：S=(a+b)×h÷2。

4、梯形面積公式的應(yīng)用

梯形的面積公式：S=(a+b)×h÷2，經(jīng)過變形得到：h=2S÷(a+b)，a=2S÷h-b，b=2S÷h-a。在已知梯形的面積、上底、下底和高四個量中任意三個時，都可以求出第四個量。

七、有關(guān)規(guī)律：

1、在平行四邊形里畫一個最大的三角形，這個三角形的面積等于這個平行四邊形面積的一半。

2、用細(xì)木條釘成一個長方形框架，如果把他拉成一個平行四邊形，則它的周長不變，面積變小

了，因為底不變，高變小了；如果將平行四邊形框架拉成一個長方形，則他們的周長不變，面積變大了。

3、當(dāng)三角形和平行四邊形面積相等時，若高相等，則三角形的底是平行四邊形的2倍，平行四邊形的底是三角形的一半。

4、三角形和平行四邊形的面積相等時，若底相等，則三角形的高是平行四邊形的2倍，平行四邊形的高是三角形的一半。

5、三角形和平行四邊形等底等高時，則三角形的面積是平行四邊形的一半，平行四邊形的面積是三角形的2倍。

第七單元《植樹問題》

小學(xué)數(shù)學(xué)

一、兩端要栽：間隔數(shù)＝總長÷間距； 總長＝間距×間隔數(shù)；

棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1； 間隔數(shù)＝棵數(shù)－1

例題：1、計劃在長600米的一條堤上，從頭到尾每隔5米栽一棵樹，那么需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？

2、在一條大道的一側(cè)從頭到尾每隔15米豎一根電線桿，共用電線桿86根，這條大道全長是多少米？

3、一塊菜地的一邊長是800米，要沿邊做一道柵欄，需從頭到尾等距離栽41個木桿，每兩個木桿之間相距多少米？

二、兩端不栽：間隔數(shù)＝總長÷間距； 總長＝間距×間隔數(shù)；

棵數(shù)＝間隔數(shù)－1； 間隔數(shù)＝棵數(shù)＋1

例題：1、在相距50米的兩樓之間栽一排樹，每隔5米栽一棵樹，共可栽多少棵樹？

2、某大學(xué)從校門的門柱到公路有一條1000米的小路，每邊相隔8米栽一棵白楊，一共可以栽白楊多少棵？

3、在一條長2500米的公路兩側(cè)架設(shè)電線桿，每隔50米架設(shè)一根，若公路兩頭不架，共需多少根電線桿？

三、鋸木問題： 段數(shù)＝次數(shù)＋1 次數(shù)＝段數(shù)－1 總時間＝每次時間×次數(shù)（兩端不栽）

例題：1、一根木材，截成3段要10分鐘，如果每截一段的時間相等，那么截成9段需要多少分鐘？

2、鋸一條4米長的圓柱形的鋼條，鋸5段耗時1小時20分。如果把這條鋼條鋸成半米長的小段，需要多少分鐘？

3、截一根18米長的木材，每隔3米截一段，共需截多少次。若共用了30分鐘，每截一次需多少分。

四、方陣問題：最外層的數(shù)目是：邊長×4—4或者是（邊長－1）×4

整個方陣的總數(shù)目是：邊長×邊長

例題：1、在一塊正方形地四周種樹，每邊都種了15棵，并且四個頂點都種有一棵樹。問這個場地四周共種樹多少棵？

2、某校五年級學(xué)生排成一個實心方陣，最外一層的人數(shù)為60人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有學(xué)生多少人？

3、有一隊學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)共48人，最內(nèi)層人數(shù)共24人，這隊學(xué)生共有多少人？

五、封閉的圖形鐘點問題（例如圍成一個圓形、橢圓形）：總長÷間距＝間隔數(shù)；棵數(shù)＝間隔數(shù)

例題：1、時鐘6點鐘敲6下，10秒鐘敲完，敲8下需要多少秒？

六、上樓問題： 樓層數(shù)=間隔數(shù)+1 間隔數(shù)= 樓層數(shù)-1

總臺階數(shù)=間隔數(shù)×每層臺階數(shù)

例題：1、小芳爬樓梯時速度保持不變，從一層到三層用了36秒，若從3層到6層需用多少秒？

小學(xué)數(shù)學(xué)

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