北師大版初中數學八年級上冊《7.5 三角形內角和定理》同步練習卷(含答

2023年12月10日發(作者：如果我會飛)

-

北師大新版八年級上學期《7.5 三角形內角和定理》

同步練習卷

一．選擇題（共23小題）

1．如圖，在△ABC中，∠C=78°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（ ）

A．282°

B．180°

C．258°

D．360°

2．如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠A=50°，BE、CF相交于D，則∠BDC的度數是（ ）

A．115°

B．110°

C．100°

D．90°

3．如圖，在△ABC中，AD和BE是角平分線，其交點為O，若∠BOD=70°，則∠ACB的度數為（ ）

A．10°

B．20°

C．30°

D．40°

4．如圖，BD，CD分別是內角∠ABC和外角∠ACE的平分線，若∠A=70°，則∠D=（ ） A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

5．如圖，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，設∠BDC=β，那么∠A等于（ ）

A．180°﹣

B．180°﹣2β

C．90°﹣β

D．90°﹣

6．如圖，△ABC中，∠A=60°，點E、F在AB、AC上，沿EF向內折疊△AEF，得△DEF，則圖中∠1+∠2的和等于（ ）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

7．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外點A'的位置，則下列結論正確的是（ ）

A．∠1+∠2=∠A

B．∠1+∠2=2∠A

C．∠1﹣∠2=∠A

D．∠1﹣∠2=2∠A

8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，則∠B=（ ） A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

9．已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E為AD上一點，且EF⊥BC于點F．若∠C=35°，∠DEF=15°，則∠B的度數為（ ）

A．60°

B．65°

C．75°

D．85°

10．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=（ ）

A．75°

B．80°

C．85°

D．90°

11．如圖△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是邊AC上的高，則∠DBC的度數是（ ）

A．36°

B．26°

C．18°

D．16°

12．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，則∠AED=（ ） A．80°

B．82.5°

C．90°

D．85°

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A=26°，則∠ADE度數為（ ）

A．71°

B．64°

C．38°

D．45°

14．如圖，△ABC中，BD為△ABC的角平分線，CE為△ABC的高，CE交BD于點F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度數是（ ）

A．110°

B．l15°

C．120°

D．125°

15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方確定一點A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如圖1．第二步：在△A1BC上方確定一點A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如圖2．照此下去，至多能進行（ ）步．

A．3

B．4

C．5

D．6

16．如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A=55°，∠D=15°，則∠P的度數為（ ） A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

17．小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠1+∠2等于（ ）

A．150°

B．180°

C．210°

D．270°

18．如圖，將△ABC沿DE、EF翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，則∠C的度數為（ ）

A．40°

B．41°

C．42°

D．43°

19．如圖，樂樂將△ABC沿DE，EF分別翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠DOF=139°，∠C為（ ）

A．38°

B．39°

C．40°

D．41°

20．如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，FH⊥BE，交BD于點G，交BC于點H．下列結論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正確個數是（ ） A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

21．如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結論：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正確的個數是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

22．如圖，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，則∠A的度數為（ ）

A．64°

B．62°

C．70°

D．78°

23．如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經過點B、C，若∠A=50°，則∠ABD+∠ACD的值為（ ）

A．60°

B．50°

C．40°

D．30° 二．填空題（共17小題）

24．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE交于點M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，則∠1﹣∠2= 度．

25．如圖所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC與∠ACB的角平分線交于點D1，得到∠D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點D2，得到∠D2；依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點D5，得到∠D5，則∠D5的度數是 ．

26．如圖，三角形紙片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，將紙片的一個角折疊，使點C落在△ABC內，∠α=25°，則∠β= ．

27．如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A=55°，∠1=95°，則∠2的度數為 ．

28．如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，若∠C=135°，∠A=15°，則∠A′DB的度數為 ． 29．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上一點，將△ABC沿DE折疊，使點A落在邊BC上．若∠A=55°，則∠1+∠2+∠3+∠4= 度．

30．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，則∠1+∠2= ．

31．如圖，在△ABC中，點D是BC邊上的一點，∠B=48°，∠BAD=28°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點F，則∠AFC= °．

32．如圖，已知AB、CD相交于點O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，則∠D= ．

33．如圖，在△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，且CD，BE相交于點P，若∠A=70°，則∠BPC= °．

34．如圖，△ABE和△ACD是△ABC分別沿著AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，則∠α度數為 ．

35．如圖，點D、E、F、G、H分別是△ABC的邊上一點，將△ABC三個角分別沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在△ABC內點O處，則∠1+∠2為 °．

36．如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，則∠A= ．

37．如圖，是一個不規則的五角星，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度數表示）

38．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，∠DCE=∠DEC，點F在AC、點G在DE的延長線上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，則∠CDF的度數為 ．

39．如圖，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分線交AB邊于點E，在AC邊取點D，使∠CBD=20°，連接DE，則∠CED的大小= （度）．

40．如圖，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，點D，E分別為AB，AC上的點，沿DE折疊，使點A落在BC邊上點F處，若△EFC為直角三角形，則∠BDF的度數為 ．

三．解答題（共9小題）

41．如圖，在△ABC中，AD是高線，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD與∠BOA的度數．

42．在△ABC中，點D在邊BA或BA的延長線上，過點D作DE∥BC，交∠ABC的角平分線于點E． （1）如圖1，當點D在邊BA上時，點E恰好在邊AC上，求證：∠ADE=2∠DEB；

（2）如圖2，當點D在BA的延長線上時，請直接寫出∠ADE與∠DEB之間的數量關系，并說明理由．

43．動手操作：

一個三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點A落在點Aˊ處．

觀察猜想

（1）如圖1，若∠A=40°，則∠1+∠2= °；

若∠A=55°，則∠1+∠2= °；

若∠A=n°，則∠1+∠2= °．

探索證明：

（2）利用圖1，探索∠1、∠2與∠A有怎樣的關系？請說明理由．

拓展應用

（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中結論求∠BA′C的度數．

44．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于點M，點P是直線AC上一點，過點P作PH⊥BM于點H．

（1）如圖1，當∠ACB=110°，∠BAC=30°，且點P與點C重合時，∠APH= °；

（2）如圖2，當點P在AC的延長線上時，求證：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；

（3）如圖3，當點P在線段AM上（不含端點）時， ①補全圖形；

②直接寫出∠APH、∠ACB、∠BAC之間的數量關系： ．

45．如圖，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，過點A向右作AD∥BC，點E是射線AD上的一個動點，∠ACE的平分線交BA的延長線于點F．

（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度數；

（2）在動點E運動的過程中，若變化，請說明理由．

的值是否發生變化？若不變，求它的值；

46．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D．

（1）如圖①，當點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°時，求∠EFD的度數，并直接寫出∠EFD與（∠C﹣∠B）之間的數量關系．

（2）如圖②，當點F在線段AE上（不與點A重合），∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數量關系？并說明理由．

（3）當點F在△ABC外部時，在圖③中畫出符合題意的圖形，并直接寫出∠EFD與∠C﹣∠B的數量關系． 47．已知：如圖，AM，CM分別平分∠BAD和∠BCD．

①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度數；

②探索∠M與∠B、∠D的關系并證明你的結論．

48．△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AE⊥BC，垂足為E，作CF∥AD，交直線AE于點F．設∠B=α，∠ACB=β．

（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，依題意補全圖1，并直接寫出∠AFC的度數；

（2）如圖2，若∠ACB是鈍角，求∠AFC的度數（用含α，β的式子表示）；

（3）如圖3，若∠B＞∠ACB，直接寫出∠AFC的度數（用含α，β的式子表示）．

49．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個角的數量關系是 ；

（2）如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點P，則∠P與∠A，∠B的數量關系為∠P= ； （3）如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當∠A+∠B=80°時，試求∠M+∠N的度數（提醒：解決此問題可以直接利用上述結論）；

（4）如圖4，如果∠MCD=∠BCD，∠NDE=∠ADE，當∠A+∠B=n°時，試求∠M+∠N的度數．

北師大新版八年級上學期《7.5 三角形內角和定理》

同步練習卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共23小題）

1．如圖，在△ABC中，∠C=78°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（ ）

A．282°

B．180°

C．258°

D．360°

【分析】先利用三角形內角與外角的關系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據三角形內角和定理即可得出結果．

【解答】解：如圖，∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=78°+180°=258°．

故選：C．

【點評】此題主要考查了三角形內角和定理及外角的性質，三角形內角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．

2．如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠A=50°，BE、CF相交于D，則∠BDC的度數是（ ）

A．115°

B．110°

C．100°

D．90°

【分析】根據三角形內角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根據角平分線的定義，三角形內角和定理計算．

【解答】解：∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

∵BE、CF是△ABC的角平分線，

∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，

∴∠EBC+∠FCB=×（∠ABC+∠ACB）=65°，

∴∠BDC=180°﹣65°=115°，

故選：A．

【點評】本題考查的是三角形內角和定理，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．

3．如圖，在△ABC中，AD和BE是角平分線，其交點為O，若∠BOD=70°，則∠ACB的度數為（ ）

A．10°

B．20°

C．30°

D．40°

【分析】依據三角形外角性質，即可得到∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，再根據角平分線的定義，即可得到∠ABC+∠BAC=140°，進而得出∠C的度數．

【解答】解：∵∠BOD是△ABO的外角，

∴∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，

又∵AD和BE是角平分線，

∴∠ABC+∠BAC=2（∠ABO+∠BAO）=2×70°=140°，

∴∠ACB=180°﹣140°=40°，

故選：D．

【點評】本題主要考查了三角形內角和定理的運用，解題時注意：三角形內角和是180°．

4．如圖，BD，CD分別是內角∠ABC和外角∠ACE的平分線，若∠A=70°，則∠D=（ ）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

【分析】根據角平分線的定義得到∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，根據三角形的外角的性質計算即可．

【解答】解：∵BD，CD分別是∠ABC與外角∠ACE的平分線，

∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，

∵∠ACE﹣∠ABC=∠A=70°，

∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=∠A=35°，

故選：B．

【點評】本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．

5．如圖，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，設∠BDC=β，那么∠A等于（ ）

A．180°﹣

B．180°﹣2β

C．90°﹣β

D．90°﹣

【分析】在△BCD中利用三角形內角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度數，由角平分線的定理可得出∠CBE+∠BCF的度數，由鄰補角互補可求出∠ABC+∠ACB的度數，再在△ABC中利用三角形內角和定理即可求出∠A的度數．

【解答】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D=180°，∠D=β， ∴∠BCD+∠CBD=180°﹣β．

∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，

∴∠CBE+∠BCF=2（∠BCD+∠CBD）=360°﹣2β，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF=360°﹣（∠CBE+∠BCF）=2β．

又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A=180°﹣2β．

故選：B．

【點評】本題考查了三角形內角和定理、鄰補角以及角平分線的性質，利用三角形內角和定理、角平分線的性質及鄰補角互補求出∠ABC+∠ACB的度數是解題的關鍵．

6．如圖，△ABC中，∠A=60°，點E、F在AB、AC上，沿EF向內折疊△AEF，得△DEF，則圖中∠1+∠2的和等于（ ）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

【分析】根據三角形的內角和等于180°求出∠AEF+∠AFE的度數，再根據折疊的性質求出∠AED+∠AFD的度數，然后根據平角等于180°解答．

【解答】解：∵∠A=60°，

∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，

∵沿EF向內折疊△AEF，得△DEF，

∴∠AED+∠AFD=2（∠AEF+∠AFE）=2×120°=240°，

∴∠1+∠2=180°×2﹣240°=360°﹣240°=120°．

故選：C．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理，翻轉變換的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．

7．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外點A'的位置，則下列結論正確的是（ ） A．∠1+∠2=∠A

B．∠1+∠2=2∠A

C．∠1﹣∠2=∠A

D．∠1﹣∠2=2∠A

【分析】根據折疊的性質和三角形的外角的性質解答即可．

【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折疊得到，

∴∠A′=∠A，

∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，

∴∠1=∠A+∠A′+∠2，

∴∠1﹣∠2=2∠A，

故選：D．

【點評】本題考查的是三角形的外角性質和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關系是解決問題的關鍵．

8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，則∠B=（ ）

A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

【分析】利用角平分線的定義結合∠1的度數可得出∠CAE的值，進而可得出∠DAE、∠BAD的值，在△ABD中利用三角形內角和定理可求出∠B的值，此題得解．

【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1=30，

∴∠CAE=∠1=30°， ∴∠DAE=∠CAE﹣∠2=10°，

∴∠BAE=∠1+∠DAE=40°．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=50°．

故選：D．

【點評】本題考查了三角形內角和定理，牢記三角形內角和是180°是解題的關鍵．

9．已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E為AD上一點，且EF⊥BC于點F．若∠C=35°，∠DEF=15°，則∠B的度數為（ ）

A．60°

B．65°

C．75°

D．85°

【分析】先根據EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度數，再由三角形外角的性質得出∠CAD的度數，根據角平分線的定義得出∠BAC的度數，由三角形內角和定理即可得出結論．

【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，

∴∠ADB=90°﹣15°=75°．

∵∠C=35°，

∴∠CAD=75°﹣35°=40°．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAC=2∠CAD=80°，

∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°．

故選：B．

【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．

10．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=（ ）

A．75°

B．80°

C．85°

D．90°

【分析】依據AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依據∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根據△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．

【解答】解：∵AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，

∴∠BAD=30°，

∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°，

∴∠DAE=30°﹣25°=5°，

∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，

∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，

故選：A．

【點評】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．解決問題的關鍵是三角形外角性質以及角平分線的定義的運用．

11．如圖△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是邊AC上的高，則∠DBC的度數是（ ） A．36°

B．26°

C．18°

D．16°

【分析】根據三角形內角和定理求出∠A和∠C，根據垂直的定義得到∠BDC=90°，計算即可．

【解答】解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，

∴2∠A+2∠A+∠A=180°，

解得，∠A=36°，

則∠C=72°，

∵BD是邊AC上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠DBC=90°﹣∠C=18°，

故選：C．

【點評】本題考查的是三角形內角和定理，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．

12．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，則∠AED=（ ）

A．80°

B．82.5°

C．90°

D．85°

【分析】根據三角形的內角和定理可得∠BAC=100°，再利用角平分線的性質得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性質得出結果．

【解答】解：∵∠B=45°，∠C=35°，

∴∠BAC=180°﹣45°﹣35°=100°，

∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD═50°，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+45°=95°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠EDC═47.5°，

∵∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠AED=35°+47.5°=82.5°．

故選：B．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理、角平分線的性質及三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和及三角形外角的性質．

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A=26°，則∠ADE度數為（ ）

A．71°

B．64°

C．38°

D．45°

【分析】由折疊的性質可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解決問題．

【解答】解：由折疊可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=45°，

∵∠A=26°，

∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，

∴∠ADE=180°﹣71°﹣71°=38°

故選：C．

【點評】本題主要考查折疊的性質，掌握折疊前后圖形的對應線段和對應角相等是解題的關鍵．

14．如圖，△ABC中，BD為△ABC的角平分線，CE為△ABC的高，CE交BD于點F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度數是（ ） A．110°

B．l15°

C．120°

D．125°

【分析】依據三角形內角和定理，即可得到∠ABC=50°，依據BD為△ABC的角平分線，可得∠ABD=25°，根據CE為△ABC的高，即可得到∠BEF=90°，再根據三角形外角性質，即可得到∠BFC=∠BEF+∠ABD．

【解答】解：∵∠A=80°，∠BCA=50°，

∴∠ABC=50°，

又∵BD為△ABC的角平分線，

∴∠ABD=25°，

∵CE為△ABC的高，

∴∠BEF=90°，

∴∠BFC=∠BEF+∠ABD=90°+25°=115°，

故選：B．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理、三角形外角的性質以及角平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．

15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方確定一點A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如圖1．第二步：在△A1BC上方確定一點A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如圖2．照此下去，至多能進行（ ）步．

A．3

B．4

C．5

D．6

【分析】由三角形內角和定理可得出∠ABC+∠ACB=30°，由∠A1BA=∠ABC、∠A1CA=∠ACB結合三角形內角和定理可求出∠A1=120°，同理可求出∠A2=90°、∠A3=60°、…、∠An=180°﹣30°?（n+1），令∠An＞0°，求出n的最大值即可．

【解答】解：∵∠A=150°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=30°．

∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，

∴∠A1BC+∠A1CB=2（∠ABC+∠ACB）=60°，

∴∠A1=180°﹣（∠A1BC+∠A1CB）=120°．

同理可得：∠A2=90°，∠A3=60°，…，∠An=180°﹣30°?（n+1），

∴當∠An＞0°時，180°﹣30°?（n+1）＞0°，

解得n＜5，

∴至多能進行4步．

故選：B．

【點評】本題考查了三角形內角和定理，根據三角形內角和定理找出∠An=180°﹣30°?（n+1）是解題的關鍵．

16．如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A=55°，∠D=15°，則∠P的度數為（ ）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

【分析】延長PC交BD于E，根據角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據三角形的內角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠5，整理可得∠P=（∠A﹣∠D），然后代入數據計算即可得解．

【解答】解：如圖，延長PC交BD于E，

∵∠ABD，∠ACD的角平分線交于點P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由三角形的內角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3①， 在△PBE中，∠5=∠2+∠P，

在△DCE中，∠5=∠4﹣∠D，

∴∠2+∠P=∠4﹣∠D②，

①﹣②得，∠A﹣∠P=∠P+∠D，

∴∠P=（∠A﹣∠D），

∵∠A=55°，∠D=15°，

∴∠P=（55°﹣15°）=20°．

故選：B．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質并作輔助線然后整理出∠A、∠D、∠P三者之間的關系式是解題的關鍵．

17．小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠1+∠2等于（ ）

A．150°

B．180°

C．210°

D．270°

【分析】根據三角形的內角和定理和三角形外角性質解答即可．

【解答】解：如圖：

∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，

∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO， ∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°﹣∠C=30°+90°+180°﹣90°=210°，

故選：C．

【點評】此題考查三角形內角和，關鍵是根據三角形的內角和定理和三角形外角性質解答．

18．如圖，將△ABC沿DE、EF翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，則∠C的度數為（ ）

A．40°

B．41°

C．42°

D．43°

【分析】連接AO、BO．由題意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=100°，推出2∠DAO+2∠FBO=100°，推出∠DAO+∠FBO=50°，由此即可解決問題．

【解答】解：如圖，連接AO、BO．

由題意EA=EB=EO，

∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，

∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，

∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，

∵∠CDO+∠CFO=100°，

∴2∠DAO+2∠FBO=100°，

∴∠DAO+∠FBO=50°，

∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，

∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣140°=40°，

故選：A． 【點評】本題考查三角形內角和定理、直角三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識，學會把條件轉化的思想．

19．如圖，樂樂將△ABC沿DE，EF分別翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠DOF=139°，∠C為（ ）

A．38°

B．39°

C．40°

D．41°

【分析】根據翻折的性質得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，進而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形內角和解答即可．

【解答】解：∵將△ABC沿DE，EF翻折，

∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，

∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣139°=41°，

故選：D．

【點評】本題考查三角形內角和定理、翻折的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會把條件轉化的思想，屬于中考常考題型．

20．如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，FH⊥BE，交BD于點G，交BC于點H．下列結論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正確個數是（ ）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

【分析】①根據BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，證明結論正確；

②根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確；

③證明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根據①的結論，判斷出錯誤；

④根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確．

【解答】解：①∵BD⊥FD，

∴∠FGD+∠F=90°，

∵FH⊥BE，

∴∠BGH+∠DBE=90°，

∵∠FGD=∠BGH，

∴∠DBE=∠F，

①正確；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∠BEF=∠CBE+∠C，

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，

∠BAF=∠ABC+∠C，

∴2∠BEF=∠BAF+∠C，

②正確；

③∠ABD=90°﹣∠BAC，

∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°﹣∠C，

∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，

③錯誤；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C，

∵∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE，

∴∠FGD=∠FEB，

∴∠BGH=∠ABE+∠C，

④正確，

∴正確的有①②④，共三個，

故選：B．

【點評】本題考查的是三角形內角和定理，正確運用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質是解題的關鍵

21．如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結論：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正確的個數是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根據平行線、角平分線、垂直的性質及三角形內角和定理依次判斷即可得出答案．

【解答】解：①∵EG∥BC，

∴∠CEG=∠ACB，

又∵CD是△ABC的角平分線，

∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正確；

④無法證明CA平分∠BCG，故錯誤；

③∵∠A=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠ADC+∠BCD=90°．

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正確；

②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，

∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，

∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，

∴∠DFB=45°=∠CGE，

∴∠CGE=2∠DFB，

∴∠DFB=∠CGE，故正確．

∴正確的為：①②③，

故選：C．

【點評】本題主要考查的是三角形內角和定理，熟知直角三角形的兩銳角互余是解答此題的關鍵．

22．如圖，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，則∠A的度數為（ ）

A．64°

B．62°

C．70°

D．78°

【分析】設∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC和△BGC中，根據三角形內角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求結論．

【解答】解：設∠GBC=x，∠DCB=y，

在△BFC中，2x+y=180°﹣128°=52°①，

在△BGC中，x+2y=180°﹣114°=66°②，

解得：①+②：3x+3y=118°，

∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣118°=62°，

故選：B．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理、三等分線的定義，利用整體的思想解決問題比較簡便． 23．如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經過點B、C，若∠A=50°，則∠ABD+∠ACD的值為（ ）

A．60°

B．50°

C．40°

D．30°

【分析】根據三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數．

【解答】解：在△ABC中，∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

在△DBC中，∵∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，

∴∠ABD+∠ACD=130°﹣90°=40°；

故選：C．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和為180°，此題難度不大．

二．填空題（共17小題）

24．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE交于點M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，則∠1﹣∠2= 30 度．

【分析】利用三角形內角和和角平分線的定義，構建方程組即可解決問題；

【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB， ∴∠BMC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°，

∴∠1+∠BMN=120°①，

∵MN⊥BC，

∴∠2+∠BMN=90°②，

①﹣②得：∠1﹣∠2=30°．

故答案為：30

【點評】此題考查了三角形內角和定理、角平分線的性質，解題的關鍵是學會利用參數構建方程組解決問題，屬于中考常考題型．

25．如圖所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC與∠ACB的角平分線交于點D1，得到∠D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點D2，得到∠D2；依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點D5，得到∠D5，則∠D5的度數是 56° ．

【分析】根據角平分線的性質和三角形的內角和定理可得．

【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，

又∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，

∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，

∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，

∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，

同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，

依此類推，∠BD5C=180°﹣故答案為：56°．

【點評】此題主要考查角平分線的性質和三角形的內角和定理，解決本題的關鍵是利用三角形內角和定理．

26．如圖，三角形紙片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，將紙片的一個角折疊，使點（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°． C落在△ABC內，∠α=25°，則∠β= 65° ．

【分析】首先根據四邊形內角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，再算出∠C的度數，代入相應數值，即可算出∠β．

【解答】解：根據四邊形內角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，

∵∠A=75°，∠B=60°，

∴∠C=45°，

∵∠α=25°，

∴25°+∠β+180°﹣45°+75°+60°=360°，

解得∠β=65°．

故答案為：65°．

【點評】本題主要考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．

27．如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A=55°，∠1=95°，則∠2的度數為 15° ．

【分析】首先根據三角形內角和定理可得∠AEF+∠AFE=125°，再根據鄰補角的性質可得∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°，再根據由折疊可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，然后計算出∠1+∠2的度數，進而得到答案．

【解答】解：∵∠A=55°，

∴∠AEF+∠AFE=180°﹣55°=125°，

∴∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°， ∵由折疊可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，

∴∠1+∠2=235°﹣125°=110°，

∵∠1=95°，

∴∠2=110°﹣95°=15°，

故答案為：15°．

【點評】本題考查了三角形的內角和定理，翻折變換的性質，四邊形的內角和等于360°，熟記定理并準確識圖是解題的關鍵．

28．如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，若∠C=135°，∠A=15°，則∠A′DB的度數為 120° ．

【分析】根據三角形的內角和等于180°求出∠B，根據兩直線平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根據翻折變換的性質可得∠A′DE=∠ADE，然后根據平角等于180°列式計算即可得解．

【解答】解：∵∠C=135°，∠A=15°，

∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣15°﹣135°=30°，

∵△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，

∴∠ADE=∠B=30°，

∠A′DE=∠ADE=30°，

∴∠A′DB=180°﹣30°﹣30°=120°．

故答案為120°．

【點評】本題考查了平行線的性質，翻折變換的性質，三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．

29．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上一點，將△ABC沿DE折疊，使點A落在邊BC上．若∠A=55°，則∠1+∠2+∠3+∠4= 235 度． 【分析】依據三角形內角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，再根據∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=235°．

【解答】解：∵∠A=55°，

∴△ABC中，∠B+∠C=125°，

又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=360°﹣125°=235°，

故答案為：235．

【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理，綜合運用各定理是解答此題的關鍵．

30．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，則∠1+∠2= 80° ．

【分析】連接AA′．首先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．

【解答】解：連接AA′．

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°， ∴∠A′BC+∠A′CB=70°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∴∠BAC=180°﹣140°=40°，

∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，

∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，

∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，

故答案為80°．

【點評】本題考查三角形的內角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識，屬于中考常考題型．

31．如圖，在△ABC中，點D是BC邊上的一點，∠B=48°，∠BAD=28°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點F，則∠AFC= 104 °．

【分析】根據折疊的性質求出∠FAD=∠BAD=28°，根據三角形外角性質求出∠ADF，再根據三角形外角性質求出∠AFC即可．

【解答】解：∵∠BAD=28°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點F，

∴∠BAD=∠FAD=28°，

∵∠B=48°，

∴∠ADF=∠B+∠BAD=48°+28°=76°，

∴∠AFC=∠FAD+∠ADF=28°+76°=104°，

故答案為：104．

【點評】本題考查了折疊的性質和三角形外角的性質，能根據折疊的性質求出∠FAD的度數是解此題的關鍵．

32．如圖，已知AB、CD相交于點O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，則∠D=

64° ． 【分析】根據三角形內角和定理即可求出答案．

【解答】解：∵∠A+∠D=∠C+∠B，

∴∠D=64°，

故答案為：64°

【點評】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練運用三角形內角和定理，本題屬于基礎題型．

33．如圖，在△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，且CD，BE相交于點P，若∠A=70°，則∠BPC= 110 °．

【分析】根據四邊形的內角和等于360°，求出∠DPE的度數，再根據對頂角相等解答．

【解答】解：∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，

∴∠DPE=360°﹣90°×2﹣70°=110°，

∴∠BPC=∠DPE=110°．

故答案為：110°．

【點評】本題考查了多邊形的內角和，對頂角相等的性質，熟記定理并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．

34．如圖，△ABE和△ACD是△ABC分別沿著AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，則∠α度數為 80° ． 【分析】依據∠1=140°，∠2=25°，可得∠3=15°，利用翻折變換前后對應角不變，得出∠2=∠EBA，∠3=∠ACD，進而得出∠BCD+∠CBE的度數，再根據三角形外角性質，即可得到∠α的度數．

【解答】解：∵∠1=140°，∠2=25°，

∴∠3=15°，

由折疊可得，∠2=∠EBA=25°，∠3=∠ACD=15°，

∴∠EBC=50°，∠BCD=30°，

∴由三角形外角性質可得，∠α=∠EBC+∠DCB=80°，

故答案為：80°．

【點評】此題主要考查了翻折變換的性質以及三角形外角的性質的運用，利用翻折變換前后對應角不變得出是解題關鍵．

35．如圖，點D、E、F、G、H分別是△ABC的邊上一點，將△ABC三個角分別沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在△ABC內點O處，則∠1+∠2為 180 °．

【分析】根據折疊的性質得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，中間以O的頂點的周角為360°，和三角形內角和定理可得結論．

【解答】解：由折疊的性質得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠DOE+∠GOH+∠EOF=180°，

∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，

故答案為；180． 【點評】本題考查了三角形內角和定理和折疊的性質，熟練掌握折疊前后的兩個角相等是關鍵．

36．如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，則∠A= 80° ．

【分析】根據三角形的內角和定理，及角平分線上的性質先計算∠ABC+∠ACB的度數，從而得出∠A的度數．

【解答】解：如圖，連接BC．

∵BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD，

又∠BDC=140°，∠BGC=110°，

∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°，

∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°，

∴∠ABE+∠ACF=30°，

∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°，

∴∠A=80°．

故答案為：80°．

【點評】本題考查角平分線的性質及三角形的內角和定理，根據題意作出輔助線，構造出三角形是解答此題的關鍵．

37．如圖，是一個不規則的五角星，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180° ．（用度數表示） 【分析】根據三角形外角性質，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根據三角形內角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，從而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

【解答】解：如右圖所示，

∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，

∴∠1=∠C+∠A+∠D，

又∵∠1+∠B+∠E=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

故答案是：180°．

【點評】本題考查了三角形內角和定理、三角形外角的性質．三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．

38．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，∠DCE=∠DEC，點F在AC、點G在DE的延長線上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，則∠CDF的度數為 70° ．

【分析】根據三角形內角和定理求出x+y=145，在△FDC中，根據三角形內角和定理求出即可．

【解答】解：∵∠DCE=∠DEC，∠DFG=∠DGF，

∴設∠DCE=∠DEC=x°，∠DFG=∠DGF=y°，

則∠FEG=∠DEC=x°， ∵在△GFE中，∠EFG=35°，

∴∠FEG+∠DGF=x°+y°=180°﹣35°=145°，

即x+y=145，

在△FDC中，∠CDF=180°﹣∠DCE﹣∠DFC=180°﹣x°﹣（y°﹣35°）

=215°﹣（x°+y°）

=70°，

故答案為：70°．

【點評】本題考查了三角形內角和定理，能求出x+y=145是解此題的關鍵．

39．如圖，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分線交AB邊于點E，在AC邊取點D，使∠CBD=20°，連接DE，則∠CED的大小= 10 （度）．

【分析】根據題意和圖象，通過作輔助線，可以求得∠CED的度數，本題得以解決．

【解答】解：延長CB到F，

∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，

∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，

∴AB平分∠FBD，

又∵∠ACB的平分線交AB邊于點E，

∴點E到邊BF，BD，AC的距離相等，

∴點E在∠ADB的平分線上，

即DE平分∠ADB，

∵∠DBC=∠ADB﹣∠ACB，∠DBC=20°，

∴∴10°=，

，

，

∵∠DEC=∠ADE﹣∠ACE=∴∠DEC=10°， 故答案為：10．

【點評】本題考查三角形內角和定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．

40．如圖，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，點D，E分別為AB，AC上的點，沿DE折疊，使點A落在BC邊上點F處，若△EFC為直角三角形，則∠BDF的度數為 110°或50° ．

【分析】由內角和定理得出∠C=60°，根據翻折變換的性質知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°兩種情況，先求出∠DFC度數，繼而由∠BDF=∠DFC﹣∠B可得答案．

【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°、∠B=50°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，

由翻折性質知∠DFE=∠A=70°，

當∠EFC=90°時，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，

則∠BDF=∠DFC﹣∠B=110°；

當∠FEC=90°時，∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠C=30°，

∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，

∠BDF=∠DFC﹣∠B=50°；

綜上，∠BDF的度數為110°或50°，

故答案為：110°或50°．

【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質及三角形內角和定理，熟知折疊的性質、三角形的內角和定理、三角形外角性質是解答此題的關鍵．

三．解答題（共9小題）

41．如圖，在△ABC中，AD是高線，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD與∠BOA的度數．

【分析】因為AD是高，所以∠ADC=90°，又因為∠C=70°，求出∠DAC度數，根據∠EAD=∠EAC﹣∠DAC可求∠EAD；因為∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO=30°，故∠BOA的度數可求．

【解答】解：∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∵∠C=70°

∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=×50°=25°

∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=25°﹣20°=5°；

∵∠BAC=50°，∠C=70°

∴∠BAO=25°，∠ABC=60°

∵BF是∠ABC的角平分線

∴∠ABO=30°

∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．

【點評】本題考查了同學們利用角平分線的性質解決問題的能力，有利于培養同學們的發散思維能力．

42．在△ABC中，點D在邊BA或BA的延長線上，過點D作DE∥BC，交∠ABC的角平分線于點E．

（1）如圖1，當點D在邊BA上時，點E恰好在邊AC上，求證：∠ADE=2∠DEB；

（2）如圖2，當點D在BA的延長線上時，請直接寫出∠ADE與∠DEB之間的數量關系，并說明理由． 【分析】（1）根據角平分線的定義可得出∠ABE=∠CBE，由平行線的性質可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，進而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性質即可證出∠ADE=2∠DEB；

（2）根據角平分線的定義可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行線的性質可得出∠DEB=∠CBE，進而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“兩直線平行，同旁內角互補”可證出∠ADE+2∠DEB=180°．

【解答】證明：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，

∴∠ABE=∠DEB，

∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．

（2）∠ADE+2∠DEB=180°．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，

∴∠ABC=2∠DEB，

∴∠ADE+2∠DEB=180°．

【點評】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義、平行線的性質以及三角形的外角性質，解題的關鍵是：（1）利用角平分線的定義結合平行線的性質找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分線的定義結合平行線的性質找出∠ADE+2∠DEB=180°．

43．動手操作：

一個三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點A落在點Aˊ處．

觀察猜想

（1）如圖1，若∠A=40°，則∠1+∠2= 80 °；

若∠A=55°，則∠1+∠2= 110 °；

若∠A=n°，則∠1+∠2= 2n °．

探索證明：

（2）利用圖1，探索∠1、∠2與∠A有怎樣的關系？請說明理由．

拓展應用

（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中結論求∠BA′C的度數．

【分析】（1）根據翻折變換的性質用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；根據翻折變換的性質用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；

（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，據此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；

（3）由（1）∠1+∠2=2∠A知∠A=54°，根據BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=（∠ABC+∠ACB）=90°﹣∠A．利用∠BA'C=180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．

【解答】解：（1）∵點A沿DE折疊落在點A′的位置，

∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED， ∴∠ADE=（180°﹣∠1），∠AED=（180°﹣∠2）

在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）=180°，

整理得∠1+∠2=80°；

同理∠A=55°，則∠1+∠2=110°；∠A=n°，則∠1+∠2=2n°；

故答案為：80°；110°；2n°；

（2）∠1+∠2=2∠A，

理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角，

∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，

∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，

∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，

即∠1+∠2=2∠A；

（3）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=108°，

∴∠A=54°，

∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，

∴∠A'BC+∠A'CB=（∠ABC+∠ACB）

=（180°﹣∠A）

=90°﹣∠A．

∴∠BA'C=180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），

=180°﹣（90°﹣∠A）

=90°+∠A

=90°+×54°

=117°．

【點評】本題考查了翻折變換的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的內角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質準確識圖是解題的關鍵．

44．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于點M，點P是直線AC上一點，過點P作PH⊥BM于點H．

（1）如圖1，當∠ACB=110°，∠BAC=30°，且點P與點C重合時，∠APH= 40 °；

（2）如圖2，當點P在AC的延長線上時，求證：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；

（3）如圖3，當點P在線段AM上（不含端點）時，

①補全圖形；

②直接寫出∠APH、∠ACB、∠BAC之間的數量關系： ∠APH=180°+（∠BAC﹣∠ACB） ．

【分析】（1）根據三角形的內角和定理求出∠ABC，再根據角平分線的定義求出∠HBC，然后求出∠HCB，再根據∠APH=∠ACB﹣∠HCB計算即可得解；

（2）作射線AH，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，從而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根據三角形的內角和定理以及角平分線的定義用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；

（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠HBC，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理即可得解．

【解答】解：（1）如圖1中，

∵∠ACB=110°，∠BAC=30°，

∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠BCA=180°﹣110°﹣30°=40°，

∵BM平分∠ABC，

∴∠HBC=×40°=20°，

∵PP⊥BM，

∴∠HCB=90°﹣∠HBC=90°﹣20°=70°，

∴∠APH=∠ACB﹣∠OCB=110°﹣70°=40°；

故答案為40．

（2）如圖2中，作射線AH，

則∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，

所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，

∵PH⊥BH，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，

即∠BAC+∠2+∠P=90°，

∵BH平分∠ABC，

∴∠2=∠ABC，

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB，

∴∠2=（180°﹣∠BAC﹣∠ACB），

∴∠APH=90°﹣∠BAC﹣∠2=90°﹣∠BAC﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）=（∠ACB

-