數學神奇莫比烏斯帶

2023年12月10日發(作者：因為有根)

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數學神奇莫比烏斯帶

《神奇的莫比烏斯帶》教學設計

北師大版六年級下冊54-55頁。

一、教材分析：公1858年，德國數學家莫比烏斯發現：把紙條的一端旋轉180度后再兩頭粘接起來，會有神奇的變化。因為普通紙帶具有兩個面(雙側曲面），一個正面一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（單側曲面），一只螞蟻可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶成為“莫比烏斯帶”。

二、學情分析：神奇的莫比烏斯帶這節活動課對老師來說是很新奇的。我以前從沒接觸過，對學生來說更是陌生的。通過這節課使學生了解認識莫比烏斯帶；動手制作，自主探索莫比烏斯帶，感受數學知識的無窮奧秘，激發學習數學的興趣。

三、教學目標：

（一）知識與技能

使學生了解認識莫比烏斯帶，動手制作莫比烏斯帶。

（二）過程與方法

在莫比烏斯帶的探索過程中，初步體會莫比烏斯帶的特征。培養猜想，驗證的數學思想方法。

（三）情感、態度與價值觀

讓學生在探究活動過程中，感受數學活動的樂趣，培養學生敢于動手，樂于交流，善于推理的能力，在學習過程中獲得積極向上的情感體驗。

四、教學重點：自主探索并制作莫比烏斯帶，發現莫比烏斯帶的特征。

五、教學難點：培養學生勇于猜想，驗證的數學思想方法。

六、活動準備：

1、長紙條（長20-30厘米，寬約4厘米）若干，其中，一張正面“小偷應當放掉”，反面“農民應當關押”。 2、一張紙條正面寫“小偷應當放掉”，反面“農民應當關押”。

3、剪刀

4、雙面膠或固體膠

5、水彩筆

七、教學過程：

（一）導入

師：其實，一條普通的紙條也有神奇地方，今天這節課，老師和同學們一起來玩一個數學游戲，我們一邊玩一邊研究，看看這樣一根普普通通的紙條，究竟有多神奇?。ò鍟荷衿妫?

師：（出示一張紙條）請看我手中的這張紙條，它有幾條邊幾個面（生：齊回答）四條邊，兩個面。

師：一個正面，一個反面?，F在誰能將他變成只有兩條邊，兩個面指名操作

師：是不是兩條邊，兩個面

師：神奇嗎（生：不神奇）是啊，這沒什么神奇的，神奇的在后面，誰有辦法將它變成一個面和一條邊

小組合作探究（教師巡視）

【設計意圖】由“這張紙條幾條邊，幾個面”到“誰能將這張紙條變成兩條邊，兩個面”，再到“怎樣變成一個面，問題一層一層深入，一個比一個更有難度，進一步激發了學生學習數學的興趣。有趣的問題能促使學生思考和探究，在探究過程中問題層層深入，提高了思維能力。

（二）制作莫比烏斯帶

師：（看到有一部分同學做成了）同學們可以互幫助，做出來的同學，想想是怎么做的，把你的方法分享給大家。

指名回答（可以邊說邊演示）。

教師小結做法：一只手捏住紙條的一端，另一只手捏住紙條的另一端，把它旋轉180度，變成一個紙環，再用固體膠把兩端粘住。師：通過老師的演示希望對你們有幫助，剛才沒完成的孩子現在完成它。

師：為什么是一條邊哪位同學說說（師邊說邊用手師范）沿著紙條的任意一邊一直摸下去，有什么發現

生：是一條邊。

師：第二個問題，是不是一個面我們一起動手，都來檢驗一下吧，我們拿起筆來（師示范）從這面起，在紙條的中間畫一條線（師生操作）畫好了有什么發現生：所有的面都畫上了，真是一個面。

師：不是有兩個面嗎怎么變成了一個面（里面的接到外面，上面的邊與下面的邊連接在一起）好玩嗎舉起剛做好的紙帶，這叫什么知道嗎

（板書：莫比烏斯帶）

師：1858年德國的數學家莫比烏斯一次偶然的機會發現了這樣一個神奇的紙圈，所以就用他的名字命名叫莫比烏斯圈或莫比烏斯帶。

師：像這樣沒有里外之分，只有一個面，在數學上叫單側曲面，那么普通的紙圈有里外之分就叫雙側曲面。

【設計意圖】從紙條到普通紙圈再到“莫比烏斯帶”，學生經歷了一個從熟悉到陌生，從普通到神奇的知識形成過程，這個過程對學生來說是新鮮、有趣的，它指引著學生一步步揭開“莫比烏斯帶”的神秘面紗。

（三）變化的莫比烏斯帶

探究一：沿二分之一線剪

師：（展示普通紙圈）如果我沿著剛畫的線剪開會怎樣

生：會變成2個同樣大小的紙圈。

師：是嗎（師示范）還真是。

師：（展示一個莫比烏斯帶）剛才你們不是在這個莫比烏斯帶中間畫了一條線嗎如果我們沿著這條線把這個紙圈剪開的話會怎么樣呢

生1：會變成兩個紙圈。

生2：會變成兩個莫比烏斯帶。

生3：有可能是三個紙圈。

師：要知道究竟是什么樣的，應該怎么辦呢

生：動手剪一剪。

師：是啊，實踐出真知！（學生動手剪） 學生匯報

生：在我剪完后，不像剛才同學說的那樣是兩個圈，是連在一起。

師：是一個圈還是兩個圈

生：一個圈。

師：我們都認為從中間剪開應該是兩個圈，結果是一個圈，這就是莫比烏斯的神奇之處，（展示剪開后的紙圈）這個還是一條莫比烏斯帶嗎現在你們驗證一下，用筆畫一畫，說說你的發現。

生：畫完之后只畫了一個面，還有一個面沒畫上。

師：那么是莫比烏斯帶嗎

生：不是

師：現在在中間又畫一條線，如果再沿著這條線剪開，想想，又會是什么結果

生1：還是一個圓。

生2：我覺得是兩個圓。

師：大家做做看（學生動手操作，教師也動手操作）

匯報結果

生：是兩個套著的圈。

探究二：沿三分之一線剪

師：我們繼續來感受這個紙圈的神奇，好嗎請同學們再拿一張白紙條，在白紙條上畫三等分線，請把中間的部分涂上你喜歡的顏色，

兩面都涂再做成莫比烏斯帶。

師：好，現在你們有什么想法

生：能沿著線把這個莫比烏斯帶剪開嗎

師：可以的，如果我們沿著三等分的線把這個莫比烏斯帶剪開的話，需要剪幾次呢

生：兩次。

師：剪完以后會是什么樣呢

生1：可能會是三個圈套在一起。

生2：會變成一個大圈。

師：真佩服你們的想象力，那究竟會怎樣，還是動手做一做吧！ 指名回答（剪一次，兩個圈套在一起）

小結：一個大圈套著一個小圈。

師：這個大圈和小圈是莫比莫斯帶嗎（生：不是）請用剛才的方法證明一下。

師：小圈就是原來長方形紙條的哪一部分

學生匯報

【設計意圖】通過讓學生動手沿二分之一，三分之一線剪，使學生經歷了一個從猜測到驗證的過程，不僅滿足了學生的好奇心，也向學生初步滲透了猜測、驗證、探索等數學思想，并引導孩子們尋找生活中的“莫比烏斯帶”，發揮想象看到能否創造性地用上它，這讓孩子們體會到，數學來源于生活，又回到生活。

（四）學以致用

救救可憐的農民

從前，有一個小偷偷了一位很老實的農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押?？h官將紙條交給執事官由他去辦理。執事官不想誤判此案，但是又不敢得罪縣官，你們猜他怎么做聰明的執事官想了一個辦法。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷?？h官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。

你們知道其中的奧秘嗎動手試試吧！

學生匯報結果

【設計意圖】以學生喜歡的故事入手，符合兒童的年齡特點和心理特征，喚起學生的興趣，能夠更加積極主動的參與學習，課堂氣氛活躍。

（五）生活中的應用

師：一個看似簡單的小紙圈竟如此神奇，它可不光好玩有趣，還被應用到生活的方方面面，讓我們跟隨莫比烏斯帶一起走進生活中去吧，欣賞圖片（課件出示） （1）過山車

（2）莫比烏斯爬梯

（3）工廠傳送帶

（4）莫比烏斯茶具

（5）2007特奧會會標“眼神”

（6）三葉扭結

（六）說收獲與遺憾

師：這節課即將結束，上了今天這節課你有什么收獲與遺憾

生1：我知道了什么是莫比烏斯帶。

生2：莫比烏斯帶只有一條邊、一個面。

生3：不能多剪幾次?！?

師：好了，同學們，大家通過今天這節課的學習，是不是對莫比烏斯帶還有很多疑問呢還有很多沒有解答的問題，有的問題老師也不怎么清楚，數學家們也在繼續探索。我告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯帶的學問叫拓撲學（板書：拓撲學）。希望同學們能在課下繼續探討有關莫比烏斯帶的問題，可能有一天你們會有新的創造發明呢！

【設計意圖】回顧本節課的內容，有效的激發學生的學生興趣和求知欲望。

（七）作業

研究沿著一個莫比烏斯帶的四分之一、五分之一線剪，將研究的結果寫成數學小論文，班級交流。

【設計意圖】通過學生動手剪和記錄數學日記的操作性的活動，使學生在獲得結論的同時，體驗到學習數學的樂趣，體驗到成功的喜悅，從而加深對數學問題的感性認識，提高學生們的動手實踐能力。

（八）板書設計

神奇的莫比烏斯帶

二分之一剪

拓撲學一個面一條邊單側曲面

三分之一剪兩個面四條邊 雙側曲面

兩個面兩條邊

教學反思

《數學課程標準》指出：“成功的教學所需要的是激發探究興趣，學習的最好刺激乃是對所學材料的興趣?！北臼菙祵W課，學生帶著學習數學、研究數學的心理期待走進課堂，出乎意料的是，教師卻給學生表演魔術。學生疑竇叢生興趣盎然。課始伊，趣已生。

課從普普通通的紙條開始，就把學生的注意力引入到一種神奇而未知的數學世界。在做紙圈時先做一個普通的紙圈，然后將一端翻轉180度，再用膠水粘牢，問：“是不是一條邊一個面呢”教師不僅創設了讓每個學生剪一剪、畫一畫、擰一擰這種活動情境，而且還讓學生在動手之前先動腦猜想，再小心地驗證。而學生正是在想一想的過程中，在這種人際互動中自然而然地體驗到數學美在思想。

模仿學習是小學生學習方法之一，它就是從大同小異、小同大異、仿作，由臨摹到創新的訓練方式,可以培養學生的理解力和鑒賞力。但有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿，模仿僅僅是手段，模仿的目的是為了創造。從模仿到創造，要有一個過程，這個過程也就是學生的發展過程。在這節課，從變魔術引入到學生自己創造這一環節，讓每個學生自主地玩，這就把模仿到創造落到了實處。在這個過程中，每個學生在教師的啟發下充分地體驗到數學美在創造。

數學來源于生活。又應用于生活，與生活實際緊密聯系，講用途可以使學生看到生活中處處有數學。這節課，教師把前幾個環節學生探索學習到的知識返回到了顯示，又一次激起了學生情緒興奮之浪花，使學生在興奮之時能真切地體驗到數學就在自己身邊，數學是有用的。教師還讓學生大膽想象，顯示生活中哪些地方還可以應用莫比烏斯帶的原理。教師應用圖聲并茂的動態課件，讓學生體驗數學之美。

一次成功的數學活動，應該能使學生感受數學的美。這種美，一方面是因為

它承接了學生原有的認知經驗，學生感覺到數學很簡單、很日常、很好玩，有信心，有興趣去學習。另一方面學生通過多感官的活動，探究這些親切有趣的現象背后的原理，建立一定的數學模型，培養一定的數學能力。由此體會到數學的真正美！

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