統計學期末復習重點

2023年12月29日發(作者：奔跑的烏龜)

統計學期末復習重點

一．單項選擇（20 X 2=40）

單選題所涉及的知識點，不用死記概念，要理解其內涵，靈活應用！

第一章． 緒論

統計的定義：統計是人們認識客觀世界總體數量變動關系和變動規律的活動的總稱，是認識客觀世界的有力工具。

統計學的定義：統計學是關于數據的科學，研究如何收集（如調查與試驗）、分析（回歸分析）、表述數據（圖與表），并通過數據得出基本結論。

統計的研究對象的特點：①數量性。統計數據是客觀事物量的反映。②總體性。統計的數量研究是對現象總體中各單位普遍存在的事實進行大量觀察和綜合分析。③變異性?？傮w各單位的特征表現存在著差異，而且這些差異并不是事先可以預知的。

統計的分類：統計可分為描述統計，推斷統計、核算統計、理論統計、應用統計

描述統計：匯總的表、圖和數值。包括搜集數據、整理數據、展示數據

推斷統計：用樣本數據對總體性質進行估計，檢驗

核算統計：對國家或地區經濟運行過程及各類總量進行描述和分析

總體：根據一定目的確定的所要研究的事物的全體。它是由客觀存在的、具有某種共同性質的許多個別事物構成的整體。

總體單位（簡稱單位）：是組成總體的各個個體。根據研究目的的不同，單位可以是人、物、機構等實物單位，也可以是一種現象或活動等非實物單位。

樣本：由總體的部分單位組成的集合。樣本容量：樣本所包含的總體單位數

標志(變量)：總體各單位普遍具有的屬性或特征。

標志的分類：①品質標志：單位屬性方面的特征。品質標志的表現只能用文字、語言來描述。②數量標志：單位數量方面的特征。數量標志可以用數值來表現

幾種常用的統計軟件：SAS SPSS MINITAB STATISTICA Excel

思考題：1、在調查某高校學生的學習狀況時，總體是（ C ）

A該校全部學生 B該校每個學生

C該校全部學生的學習情況

D被隨機抽取進行數據采集的全部學生

2. 要了解全國的人口情況，總體單位是（ A ）。

A.每一個人 B.每一戶

C.每個省的人口 D.全國總人口

第二章． 數據

數據：所收集、分析、匯總表述和解釋的事實及數字，數據是進行統計分析研究的基礎；是統計學研究對象的特征，是客觀事實；不僅僅局限于數字范疇，包括非數字形式的其他信息。

個體——總體單位：收集數據的實體，也就是數據的承載者

變量（標志）：個體的特征或者屬性 變量值：個體在變量上的具體表現（例如，固定資產是一個變量，各企業固定資產的具體數值是變量值）

指標（統計指標）：是說明總體的綜合數量特征的。

標志：總體各單位普遍具有的屬性或特征

指標與標志的區別：①標志是說明總體單位特征的，而指標是說明總體特征的。②指標都能用數值表示，而標志中的品質標志不能用數值表示，是用屬性表示的。

連續型變量：變量的取值在數軸上連續不斷，無法一一列舉，即在一個區間內可以取任意實數值。（例如，氣象上的溫度、濕度，零件的尺寸等）

離散型變量：變量的取值是整數值，可以一一列舉。（例如，企業數，職工人數）

數據的分類：

品質數據：不能用數字來表述的特征。如人的性別，民族，宗教信仰等

數量數據：用數字能夠表述的特征，數值型特征，如人的身高，體重等

二者的區別：數量數據總是以數字形式表現，品質數據可以是數值型，也可以是非數值型。只有數量數據可以進行數學運算

數據的計量尺度：可分為定類尺度、定序尺度、定距尺度、定比尺度

定類變量：“名義型變量”，值只能用文字表述，說明事物是屬于這一類還是屬于那一類，不同類別間地位相等，沒有高低優劣之分，如性別，民族，黨派。

定序變量：“順序型”變量，變量值只能用文字表述。與定類變量不同的是，定序變量的值有高低、大小、多少、優劣、強弱等方面的區分，即變量的值有順序性。如考試成績用優秀，良好，及格，不及格來顯示，用文盲、半文盲、小學、初中、高中、大學、研究生來標記每個人的文化程度。

定距變量：變量值為數值型，對事物的準確測度，比定序尺度精確，沒有絕對零點，變量值只能進行加減計算而不能進行乘除計算，如溫度，公元紀年等極少數現象屬于定距變量

定比變量：數據表現為“數值”對事物的準確測度，與定距尺度處于同一層次，有絕對零點,具有 ? 或 ? 的數學特性，可以進行任何形式的計算

截面數據:相同或近似相同的時間點上收集的數據,某個時間點或某瞬間事物或現象的特征情況,靜態數據

時間序列數據:在幾個時期或時點收集到，反映同一主體同一特征情況的數據,

動態數據

統計調查方式:統計調查方式有普查、抽樣調查、典型調查、重點調查

普查：為特定目的專門組織的非經常性全面調查,通常是一次性或周期性的；一般需要規定統一的標準調查時間,應用范圍比較狹窄，如人口普查，工業普查

抽樣調查:從總體中隨機抽取一部分單位(樣本)進行調查,分重復抽樣和不重復抽樣,目的是推斷總體的未知數字特征,遵循隨機性原則,存在調查誤差，并且可以加以控制,具有經濟性、時效性強、適應面廣、準確性高等特點

典型調查：從調查對象的全部單位中選擇少數典型單位進行調查,目的是描述和揭示事物的本質特征和規律,調查結果不能用于推斷總體

重點調查：從調查對象的全部單位中選擇少數重點單位進行調查,調查結果不能用于推斷總體,優點在于調查單位少，可以調查較多的項目和指標，了解較詳細的情況。即用較少的人力和時間，取得較好的效果。組織重點調查的關鍵問題是確定重點單位。

調查誤差:收集的數據資料與真實情況之間的差距,可分為登記性誤差和代表性誤差，登記性誤差：由于調查者或被調查者的人為因素所造成的誤差，理論上講可以消除。代表性誤差：用樣本數據進行推斷時所產生的誤差，通常無法消除，但事先可以進行控制和計算。

組距分組步驟：①確定組數：組數的確定沒有專門的規定，應以能夠顯示數據的

分布特征和規律為目的。建議組數：5-20組

②組限：變量值區間兩端的值，上限和下限，其中上限為一個組的最大值，下限是一個組的最小值

③確定各組組距：組距是一個組的上限與下限之差，可根據全部數據的最大值和最小值及所分的組數來確定

注意：開口組只有一個組限，無法計算組距，開口組以相鄰一組的組距作為其組距

④根據分組整理成頻數分布表

組距：上限與下限之差 組距＝( 最大值 - 最小值）÷ 組數

組中值：下限與上限之間的中點值 組中值=（下限值+上限值）/2

第三章． 單變量描述統計

頻數——次數：對總體經過分組后形成各組單位數在各組間的分布。也就是各類別中的數據個數。

頻數分布——次數分布，分布數列：總體中的各個類別及其相應的頻數全部展示出來的數據集匯總表

累計頻數 （P62 表3-3）

向上累計：將各組次數和比率，由變量值低的組向變量值高的組逐組累計。

向下累計：將各組次數和比率，由變量值高的組向變量值低的組逐組累計。

眾數：出現次數最多的變量值。

對單項式分組數列確定眾數：出現次數最多的標準值就是眾數（書P63例3.2）

對組距數列確定眾數：出現次數最多的組作為眾數所在組

中位數：排序后處于中間位置上的值。

中位數位置的確定: （看書P65 例3.4）

NN??11中位數位置未分組數據：

中位數位置??22

ff??11（根據向上/下累計法確定中位數）

?組距分組數據：

中位數位置中位數位置??22

未分組數據的中位數的計算公式：

當N為奇數時?X??NN??11??

???????22???

Me??e??

?1?XN??X當N為偶數時NNN???1?1?

2?22?2?2

四分位數：把數據分為4部分，處在分位點的數值

四分位數位置的確定:

未分組數據：下四分位數位置=（N+1）/4

上四分位數位置=3*（N+1）/4

組距分組數據：下四分位數位置=N/4

上四分位數位置=3N/4

均值 (P69 例3.10)

NN

Xi?X1?X???X簡單均值的計算公式為

2N12N?1X??ii?

NN

KKXiiFii 權均值的計算公式為

?X1F?XF???XF2N11222NNN?1

X??ii??11KKF?F???F12N12N

Fii?ii?1

?1

第四章． 兩變量描述統計

相對指標：兩個有聯系的指標數值對比得到的綜合指標

相對指標的表現形式：無名數和有名數 無名數：抽象掉分子和分母的計量單位。表現為百分數，千分數，倍數，系數 有名數：保留分子和分母的計量單位。表現:密度

相對指標的具體形式（6種）：（具體參考第四章的ppt弄懂）

總體部分數值*100%（各部分比重和為1） 結構相對數=

總體全部數值

總體中某部分數值比例相對數= （三個或三個以上的連比）

總體中另一部分數值

某一范圍指標數值（橫向比較，靜態） 比較相對數=

另一范圍的該指標數值

報告期指標數值動態相對數=

*100%（隨時間發展的變化，動態）

基期指標數值

某一總體的指標數值強度相對數= （兩個性質不同

另一有聯系而性質不同總體的指標數值

但有一定聯系的總量指標之比，有名數）

實際完成數*100%（計劃完成的程度） 計劃完成程度相對數=

計劃數

協方差:度量兩個具有聯合概率分布P（X,Y）的隨機變量之間線性關系的指標

樣本:含有n個個體，每個個體含有兩個數據值（x1，y1），（x2，y2）

(xi?x)(yi?y)sxy?樣本協方差公式：

n?1

總體協方差:變量離差乘積的數學期望

?

?(Xi?X)(Yi?Y)?xy

?N

(Xi?X)(Yi?Y)總體協方差公式：

?xy?

N

?xy??總體相關系數: （總體相關系數記為?）

?x?y

(x?x)(y?y)?樣本相關系數: （樣本相關系數記為r）

r?2222?(x?x)??(y?y)

?

r 的取值范圍是 [-1,1]

|r|=1，為完全相關

r

=1，為完全正相關

r

=-1，為完全負正相關

r

= 0，不存在線性相關關系

-1?r<0，為負相關 0

|ｒ|的數值愈接近于1，x與y直線相關程度愈高

|ｒ|的數值愈接近于0，x與y直線相關程度愈低

相關程度評價標準:

|ｒ|＜0.3稱為微弱相關

0.3≤ |ｒ|＜0.5稱為低度相關

0.５≤ |ｒ|＜0.8稱為顯著相關

0.8≤ |ｒ|＜1稱為高度相關或強相關。

第五章．概率與概率分布

正態分布的概率密度函數：

112

??x?x?????21222??f(x)?e2,???x??

?2?

f(x) = 隨機變量

X

的頻數

?? = 總體方差

? =3.14159; e = 2.71828

x

= 隨機變量的取值 (-? <

x < ?)

? = 總體均值

正態分布函數的性質：

①概率密度函數在x 軸的上方，即f (x)>0

②正態曲線的最高點在均值?，它也是分布的中位數和眾數

③正態分布是一個分布族，每一特定正態分布通過均值?的標準差?來區分。

?決定曲線的高度，同時決定曲線的平緩程度，即寬度

④曲線f(x)相對于均值?對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠不會與橫軸相交

⑤正態曲線下的總面積等于1

正態分布的概率:

P（a≤x≤b）=∫af(x)dx

標準正態分布函數:

b

任何一個一般的正態分布，可通過下面的線性變換轉化為標準正態分布

標準正態分布的概率密度函數:

2xx2X????1

Z?2???x??~N(0,1)f(x)?e2???x???

2π 標準正態分布的分布函數:

2

tt2-xx-xx12dt

?(x)?f(x)dt?e2????????2?

標準正態分布表的使用:

將一個一般的轉換為標準正態分布,計算概率時,查標準正態概率分布表

對于負的

x ，可由?

(-x)????

?x?得到

對于標準正態分布，即X

~

N(0,1)，有

P

(a? X ?b)?

?

?b? ??

?a?

??

P

(|X| ?a)? 2?

?a? ?1

對于一般正態分布，即X

~

N(? , ?)，有

?b????a???

P(a?X?b)??????????????

例1 : 設X

~

N(0，1)，求以下概率：

(1)

P(X <1.5) ；(2)

P(X >2)；

(3)

P(-1

P(|

X | ? 2)

解：(1)

P(X <1.5) =

? (1.5)=1-0.0668=0.9332

(2)

P(X >2)=1-

P(X ?2)=1-0.9973=0.0228

(3)

P(-1

P(X ?3)-

P(X

<-1)

=

?(3)-

?(-1)=

?(3)–[1-?(1)]

= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354

(4)

P(|

X | ? 2) =

P(-2?

X |? 2)=

?(2)-

?(-2)

=

?(2)- [1-?(2)]=2

?(2)- 1=0.9544

例2：

設X~N(5，3))，求以下概率

(1)

P(X ?10) ； (2)

P(2

解：(1)

?X?510?5?

P(X?10)?P???33??

?X?5?

?P??1.67???((11..6767))??00..95259525

?3?2

(2)

X?510?5??2?5P(2?X?10)?P????333??X?5???P??1??1.67?3????(1.67)??(?1)?0.79387938

另外，第五章第二節：大數定律與中心極限定理大家了解即可，不是重點內容，不放心的可自行參考第五章的ppt內容

第九章．抽樣調查

抽樣調查的意義：一般所講的抽樣調查，即指狹義的抽樣調查(隨機抽樣)，

按照隨機原則從總體中抽取一部分單位進行觀察，并運用數理統計的原理，以被抽取的那部分單位的數量特征為代表，對總體作出數量上的推斷分析。

總體：由被調查對象的全部單位所構成的集合體，總體單位數用N表示。

抽樣總體：抽取出來調查觀察的單位，抽樣總體的單位數用n表示。n ≥ 30 大樣本 n < 30 小樣本

抽樣估計：在抽樣調查的基礎上，利用樣本的數據資料計算樣本指標，以樣本特征值對總體特征值做出具有一定可靠程度的估計和判斷。

總體和樣本的方差和標準差：分有偏(n>30)和無偏(n≤30)

總體成數：每個總體單位標志值設為0或1 1：具有某種屬性的總體單位標志值 0：不具有某種屬性的總體單位標志值 總體中具有某種特征的單位占全部總體單位數的比例稱為總體成數，記作P

成數總體方差：P(1-P)

樣本成數：從成數總體中抽取樣本容量為n的樣本，樣本中具有此種特征的單位占全部樣本單位數的比例稱為樣本成數，記作p p=n1/n

成數是一種特殊的平均數，是總體中具有某個屬性的單位占全體單位的比重

樣本成數p是總體成數P的無偏、一致、有效估計量

樣本成數的無偏方差是成數總體方差的無偏估計量

第十章和第十一章以計算題考核為主，選擇題不再細分知識點！

二、簡答題（7+8=15，四題中任選兩題，必須牢記?。?

1、抽樣平均誤差受哪些因素影響？

抽樣平均誤差不僅是測定樣本指標對總體指標代表性高低的一個重要尺度，也是根據樣本指標對總體指標進行推斷的重要依據，他的大小與總體標志變異度（即總體的標準差大小）成正比，與樣本容量成反比，而且與抽樣調查的組織形式和抽樣方法有關。

2、什么是簡單隨機抽樣？具體做法是什么？

簡單隨機抽樣是從總體單位中不加任何分組、排隊，完全隨機地抽取調查單位。

具體做法：

（1）直接抽選法：總體單位不編號，不編制抽樣框

（2）抽簽法：對總體所有單位進行編號，且簽需外形一致

（3）隨機數表法：總體所有單位編號，使用隨機數表抽樣

（4）計算機模擬法：將隨機數字編程

3、什么是時期指標、時點指標，兩者之間有什么區別？

（1）時期指標：指反映某種社會經濟現象在一段時間內發展變化結果的總量指標，它所反映的是一段時間連續發生的變化過程。例如，社會生產總值，國內生產總值，利潤總額，稅收總額等。

（2）時點指標：時點指標是反映社會經濟現象總體在某一時刻（瞬間）的數量狀況，例如，全國總人口數、商品庫存數、鄉鎮企業個數等。

區別：①時期指標的指標值具有連續性，而時點指標的指標值不具有連續性。

②時期指標的指標值可以累計相加，而時點指標的指標值不能累計相加。

③時期指標指標值的大小與所包括的時期長短有直接的關系，而時點指標指標值的大小與時間間隔長短無直接關系。

4、舉例說明總體、樣本、參數、統計量的概念、區別和聯系

區別：總體是具有某種共同性質的多個個體組成的集合；樣本是從總體中抽取的一部分個體構成的集合；參數是用來描述總體特征的概括性數字的度量；統計量是用來描述樣本特征的概括性數字度量。

聯系：樣本是從總體中抽取的一部分個體組成的集合；參數是用來描述總體的特征的，統計量是用來描述樣本的特征的。

舉例：如果研究的對象是100人，這100人就是總體。從中抽取10人做研究，那就是樣本。參數是反映總體統計特征的數字，如這100人的平均身高，方差等等。統計量就是反應樣本的某些特性的量，如10人的身高。

或者河南省的所有工業企業構成一個總體，從中抽取100個企業就構成一個樣本，對這100個企業構成的樣本計算的企業平均工資、企業平均產值等就是統計量，而河南省所有工業企業的平均工資、平均產值則是參數。

（這兩個例子中任選一個作答即可）

三、計算題（4大題，總共45分）

1、考試范圍：第三章：單變量描述統計

知識點：

（1）眾數：出現次數最多的變量值

（2）中位數：未分組數據：中位數位置?N?1組距分組數據：中位數位置??f?1

2

2?X?N?1?????2??（3）未分組數據的中位數：Me?????1?XN?XN???1??2??2?2當N為奇數時

當N為偶數時

（4）四分位數：排序后處于25%和75%位置上的值。未分組數據：N+1下四分位數(QL)位置=43(N+1)上四分位數(QU)位置=4組距分組數據N下四分位數(QL)位置=4上四分位數(QL)位置=3N4

（5）P百分位數：p%的數據項的值小于等于P百分位數；（100-p）%的數據項的值大于等P百分位數

（6）均值：一組數據的均衡點所在

X?X2???XN?設一組數據為：X1

，X2

，? ，XN 。簡單均值的計算公式為：X?1N設分組后的數據為：X1

，X2

，… ，XK

，相應的頻數為：F1

， F2，… ，FK

?Xi?1NiN

XF?X2F2???XNFN?加權均值的計算公式為X??11F1?F2???FNn?XFii?1KKi?Fi?1i

各變量值與均值的離差之和等于零?(Xi?1ni?X)?0

各變量值與均值的離差平方和最小?(Xi?1i?X)2?min

ii調和平均數HMi（7）

四分位差（定序數據）上四分位數與下四分位數之差 ：QD= QU - QL8）極差：未分組數據 ：R = max(Xi) - min(Xi)；

（9組距分組數據R =最高組上限 - 最低組下限

XF??XF?XiiiiXF?????Fi(10)平均差：未分組數據MD??i?1iNXi?XNmMD??組距分組數據?Xi?1Ki?Xfii?fi?1K

Vr?(11)異眾比率(定類數據)

?f?f?fi?1?fm?fi

V??標準差系數：?X?100%

偏態：偏態系數=0為對稱分布；偏態系數> 0為右偏分布；偏態系數< 0為左偏分布峰度：(12)?3???Xi?1Ki?X?fi3N?3峰度系數=3，扁平程度適中，正態分布；扁平分布，偏態系數<3，變量值的次數在眾數周

>3，變量值的次數在眾數周圍分布集中圍分布分散；尖峰分布，偏態系數?4???Xi?1Ki?X?fi4

N?4

請仔細復習P98 第5、6題

2、考試范圍：第九章：抽樣調查，知識點：抽樣估計

（1）樣本成數的無偏方差（n<=30）（2）樣本成數的有偏方差(n>30)s2p?np(1?p)n?1

2s0p?p(1?p)（3）樣本成數的性質：x1,x2……xn的各標志值中有n1個值為1，有n0個值為0，

1nn1x??xi??pni?1n所以

?(x)?（4）實際抽樣推斷中采用的公式（*） 重復簡單隨機抽樣：?2n不重復簡單隨機?(x)?抽樣：?2N?nn(N?1)??2n(1?n)N

?(p)?（5）樣本成數的抽樣平均誤差 ：重復抽樣條件下P(1?P)n不重復抽樣條件下：?(p)?例題：

P(1?P)n(1?)nN

x?xf??f?8400200?42

2(x?x)f12200?

?s??7.81f200?

22

n7.81200?(1?)?(1?)?0.55

xnN2002000

??（6）區間估計：設總體參數為 ，由樣本確定的兩個統計量，對于給定的，有P(?1????2)?1??

（?）總體未知參數落在區間內的概率,表示為 (1 - ????，??為顯著性水平，是總體參數未在區間內的概率?，常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%,相應的???為????，????，?????２２（?）總體均值的置信區間 (? 已知)，假定條件：總體服從正態分布,且總體方差（? ）已知，如果不是正態分布，可以由正態分布來近似 (n>= 30)，使用正態分布統計量Ｚ，Z?x??~N(0,1)?n，總體均值 ? 在1-?置信水平下的置信區間為????,x?Z?2?x?Z?2?nn???請查閱PPT，課后習題P280.5

3、考試范圍：第十章：時間序列分析，知識點：序時平均數、時間序列分析指標

（1）一、根據絕對數時間數列計算的

<1> 根據時期數列計算的

<2> 根據時點數列計算的①根據連續性時點數列計算的：間隔相等、間隔不等②根據間斷性時點數列計算的：間隔相等、間隔不等

二、根據相對數時間數列計算的

三、根據平均數時間數列計算的

（2）總量指標時期數列——算術平均，連續時點間隔不相等時——加權算術平均

間斷時點數列的序時平均數；間隔相等時，采用首末折半法計算；間隔不相等時，采用時間間隔長度加權平均

5、時間序列指標分析法通過時間序列的分析指標來揭示現象的發展變化狀況和發展變化程度。（水平指標，速度指標）

水平指標包括：發展水平，平均發展水平，增長量，平均增長量

速度指標包括：發展速度，平均發展速度，增長速度，平均增長速度

(4)有逐期增長量與累積增長量之分：

逐期增長量，報告期水平與前一期水平之差計算形式為：Δi=Yi-Yi-1 (i =1,2,?,n)

累積增長量，報告期水平與某一固定時期水平之差，計算形式為：Δi=Yi-Y0

(i=1,2,?,n)

（5）逐期增長量：（6）累計增長量：（7）二者的y1?y0,y2?y1,?,yn?yn?1

y1?y0,y2?y0,?,yn?y0

關系：?y1?y0???y2?y1?????yn?yn?1??yn?y0，?yi?y0???yi?1?y0??yi?yi?1?i?1,2,?,n?

平均增長量?（8）平均增長量：逐期增長量之和累積增長量?逐期增長量個數觀察值個數?1

（9）發展速度：報告期水平與基期水平之比

Ri?（10）環比發展速度：報告期水平與前一期水平之比，YiYi?1Ri?(i?1,2,?,n)

（11）定基發展速度：報告期水平與某一固定時期水平之比，YiY0(i?1,2,?,n)

YiYi?1Yi??YYYi?1

0（12）環比發展速度與定基發展速度的關系：0增長速度?（13）增長速度：增長量報告期水平?基期水平??發展速度?1基期水平基期水平

（14）環比增長速度，報告期水平與前一時期水平之比，Gi?Yi?Yi?1Yi??1Yi?1Yi?1(i?1,2,?,n)

（15）定基增長速度，報告期水平與某一固定時期水平之比，Gi?Yi?Y0Yi??1Y0Y0(i?1,2,?,n)

R?n（16）平均發展速度，YY1Y2????n?nY0Y1Yn?1YiYnnn??R?YY0i?1(i?1,2,?,n)

增長1%絕對值＝（17）速度的分析與應用，逐期增長量前期水平?環比增長速度?100100

請看PPT相關例題，課后練習題P318 第10、11題

4、考試范圍：第十一章：統計指數分析，知識點：綜合指數

（3）綜合指數：反映多個項目變量的綜合變動，如多種商品的價格或銷售量的綜合變動

（4）拉氏綜合指數——同度量因素固定在基期；派氏綜合指數——同度量因素固定在報告

期；我國：數量指標指數用拉氏形式，質量指標指數用派氏指數形式

p10（5）拉氏綜合指數，質量指數：pq???pq1000，數量指數：

q10pq???pq110100

p10?（6）派氏綜合指數，質量指數：（7）理想指數（費雪公式），

?pq?pq1101q10?，數量指數：?pq?pq10

pqpqFp?Lp?Pp??p1q0??p1q1Fq?Lq?Pq??q1p0??q1p1?00?01?q0p0?q0p1

以上為計算題知識點的公式，請看PPT例題，以及相關課后練習題，僅供參考！

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