第三節(jié)電介質(zhì)

2023年12月30日發(fā)(作者：自由領(lǐng)導(dǎo)著人民)

第二章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

§3 電介質(zhì)（P201）

1. 一平行板電容器兩極板相距為2.0毫米，電位差為400伏，其間充滿(mǎn)了介電常數(shù)?r?5.0的玻璃片。?。 略去邊緣效應(yīng)，求玻璃表面上極化電荷的面密度?e解：

2. 一平行板電容器由面積都是50厘米的金屬薄片貼在石蠟紙上構(gòu)成，已知石蠟紙厚為0.10毫米，2?r?2.0，略去邊緣效應(yīng)，問(wèn)這電容器加上100伏的電壓時(shí)，極板上的電荷量Q是多少？

解：

3. 面積為1.0米的兩平行金屬板，帶有等量異號(hào)電荷?30微庫(kù)侖，其間充滿(mǎn)了介電常數(shù)?r?2的均勻2?。 電介質(zhì)。略去邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度E和介質(zhì)表面上的極化電荷密度?e解：

4. 平行板電容器（極板面積為S，間距為d）中間有兩層厚度各為d1和d2（d1?d2?d）、介電常數(shù)各為?r1和?r2的電介質(zhì)層（見(jiàn)附圖）。試求：

⑴ 電容C；

?； ⑵ 當(dāng)金屬極板上帶電面密度為??e0時(shí)，兩層電介質(zhì)間分界面上的極化電荷面密度?e⑶ 極板間的電位差U；

⑷ 兩層介質(zhì)中的電位移D。

解：

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5. 兩平行導(dǎo)體板相距5.0毫米，帶有等量異號(hào)電荷，面密度為20微庫(kù)侖/米，其間有兩片電介質(zhì)，一片厚2.0毫米，?r1?3.0；另一片厚3.0毫米，?r2?4.0，略去邊緣效應(yīng)，求各介質(zhì)內(nèi)的E、D2?。 和介質(zhì)表面的?e解：

6. 一平行板電容器兩極板的面積都是2.0米，相距為5.0毫米，兩板加上10000伏電壓后，取去電源，再在其間充滿(mǎn)兩層介質(zhì)，一層厚2.0毫米，?r1?5.0；另一層厚3.0毫米，?r2?2.0。略去邊緣效應(yīng)。求：

⑴ 各介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度P；

⑵ 電容器靠近電介質(zhì)2的極板為負(fù)極板，將它接地，兩介質(zhì)接觸面上的電位是多少？

解：

7. 如附圖所示，一平行板電容器兩極板相距為d，面積為S，電位差為U，其中放有一層厚為t的介質(zhì)，介電常數(shù)為?r，介質(zhì)兩邊都是空氣，略去邊緣效應(yīng)。求：

⑴ 介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E、電位移D和極化強(qiáng)度P；

⑵ 極板上的電荷量Q；

⑶ 極板和介質(zhì)間隙中的場(chǎng)強(qiáng)E；

⑷ 電容。

解：

8. 平行板電容器兩極板相距3.0厘米 ，其間放有一層?r?2.0的介質(zhì)，位置和厚度如附圖所示，已知極板上面電荷密度為?e0?8.9?10?10庫(kù)/米2，略去邊緣效應(yīng)，求：

⑴ 極板間各處的P、E和D；

⑵ 極板間各處的電位（設(shè)UA?0）；

⑶ 畫(huà)E?x，D?x，U?x曲線(xiàn)；

⑷ 已知極板面積為0.11米，求電容C，并與不加介質(zhì)時(shí)的電容C0比較。

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解：

9. 兩塊平行導(dǎo)體板帶有同號(hào)電荷，面密度分別為?e1?3.3?10?10庫(kù)/米2，?e2?6.6?10?10庫(kù)/米2，兩板相距為1.0厘米 ，在其間平行地放有一塊厚為5.0毫米的均勻石蠟平板，它的?r?2.0。略去邊緣效應(yīng)。求：

⑴ 石蠟內(nèi)的E內(nèi)；

⑵ 極板間石蠟外的E外；

⑶ 兩極板的電位差；

?。 ⑷ 石蠟表面的極化面電荷密度?e解：

10. 平行板電容器的極板面積為S，間距為d，其間充滿(mǎn)介質(zhì)，介質(zhì)的介電常數(shù)是變化的，在一極板處為?r1，在另一極板處為?r2，其他處的介電常數(shù)與到?r1出的距離成線(xiàn)性關(guān)系，略去邊緣效應(yīng)。

⑴ 求這電容器的C；

?和表面上的極化電荷面密度⑵ 當(dāng)兩極板上的電荷分別為Q和?Q時(shí)，求介質(zhì)內(nèi)的極化電荷體密度?e?。

?e解：

11. 一云母電容器是由10張鋁箔和9張?jiān)颇赶嚅g平行迭放而成，奇數(shù)鋁箔接在一起作為一極，偶數(shù)鋁箔接在一起作為另一極，如附圖所示。每張鋁箔和每片云母的面積都是2.5厘米，每片云母的相對(duì)介電常數(shù)?r都是7.0，厚度都是0.15毫米 。略去邊緣效應(yīng)。求電容C。

解：

12. 一平行板電容器兩極板相距為d，其間充滿(mǎn)了兩部分介質(zhì)，介電常數(shù)為?r1的介質(zhì)所占的面積為S1，介電常數(shù)為?r2的介質(zhì)所占的面積為S2（見(jiàn)附圖）。略去邊緣效應(yīng)，求電容C。

解：

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13. 如附圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S，相距為d，今在其間平行地插入厚度為t，介電常數(shù)為?r的均勻介質(zhì)，其面積為S2。設(shè)兩板分別帶電荷Q和?Q，略去邊緣效應(yīng)，求：

⑴ 兩板電位差U；

⑵ 電容C

?。 ⑶ 介質(zhì)的極化電荷面密度?e解：

14. 一平行板電容器兩極板的面積都是2.0米，相距為5.0毫米。當(dāng)兩極板之間是空氣時(shí)，加上一萬(wàn)伏的電壓后，取去電源，再在其間插入兩平行介質(zhì)層，一層?r1?5.0，厚為2.0毫米；另一層2?r2?2.0，厚為3.0毫米。略去邊緣效應(yīng)。求：

⑴ 介質(zhì)內(nèi)的E和D；

⑵ 兩極板的電位差U；

⑶ 電容C。

解：

15. 同心球電容器內(nèi)外半徑分別為R1和R2，兩球間充滿(mǎn)介電常數(shù)為?r的均勻介質(zhì)，內(nèi)球的電荷量為Q。求：

⑴ 電容器內(nèi)各處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布和電位差U；

?； ⑵ 介質(zhì)表面的極化電荷面密度?e⑶ 電容C。（它是真空時(shí)電容C0的多少倍？）

解：

16. 在半徑為R的金屬球之外有一層半徑為R?的均勻介質(zhì)層（見(jiàn)附圖）。設(shè)電介質(zhì)的介電常數(shù)為?r，金屬球帶電荷量為Q，求：

⑴ 介質(zhì)層內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布；

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⑵ 介質(zhì)層內(nèi)、外的電位分布；

⑶ 金屬球的電位。

解：

17. 一半徑為R的導(dǎo)體球帶電荷Q，處在介電常數(shù)為?r的無(wú)限大均勻介質(zhì)中。求：

⑴ 介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E、電位移D和極化強(qiáng)度P的分布；

?。 ⑵ 極化電荷的面密度?e解：

18. 半徑為R、介電常數(shù)為?r的均勻介質(zhì)球中心放有點(diǎn)電荷Q，球外是空氣。

⑴ 求球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位U的分布；

⑵ 如果要使球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為零且球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度不變，則球面上需要有面密度為多少的電荷？

解：

19. 一半徑為R的導(dǎo)體球帶電荷Q，球外有一層同心球殼的均勻電介質(zhì)，其內(nèi)外半徑分別為a和b，介電常數(shù)為?r（見(jiàn)附圖）。求：

⑴ 介質(zhì)內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位移D；

?； ⑵ 介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度P和表面上的極化電荷面密度?e?為多少？ ⑶ 介質(zhì)內(nèi)的極化電荷體密度?e解：

20. 球形電容器由半徑為R1的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成，殼的內(nèi)半徑外R2，其間有兩層均勻介質(zhì)，分界面的半徑為r，介電常數(shù)分別為?r1和?r2（見(jiàn)附圖）。

⑴ 求電容C；

?。 ⑵ 當(dāng)內(nèi)球帶電?Q時(shí)，求各介質(zhì)表面上極化電荷的面密度?e解：

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21. 球形電容器由半徑為R1的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成，殼的內(nèi)半徑外R2，其間有一層同心的均勻介質(zhì)球殼，內(nèi)外半徑分別為a和b，介電常數(shù)?r（見(jiàn)附圖）。

⑴ 求電容C；

?是多少？ ⑵ 當(dāng)內(nèi)球的電荷量為Q時(shí)，介質(zhì)兩表面上的極化電荷密度?e解：

22. 球形電容器由半徑為R1的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成，殼的內(nèi)半徑外R2，其間有一半充滿(mǎn)介電常數(shù)為?r的均勻介質(zhì)（見(jiàn)附圖），求電容C。

解：

23. 圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)線(xiàn)和與它同軸的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，圓筒內(nèi)半徑為R2，長(zhǎng)為l，其間充滿(mǎn)了介電常數(shù)為?r的介質(zhì)（見(jiàn)附圖）。設(shè)沿軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度上，導(dǎo)線(xiàn)的電荷為?0，圓筒的電荷為??0，略去邊緣效應(yīng)。求：

⑴ 兩極的電位差U；

⑵ 介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E、電位移D、極化強(qiáng)度P；

?； ⑶ 介質(zhì)表面的極化電荷面密度?e⑷ 電容C。（它是真空時(shí)電容C0的多少倍？）

解：

24. 圓柱形電容器由半徑為a的導(dǎo)線(xiàn)和與它同軸的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，圓筒內(nèi)半徑為b，長(zhǎng)為l ，其間充滿(mǎn)了兩層同軸圓筒形的均勻介質(zhì)，分界面的半徑為r，介電常數(shù)分別為?r1和?r2（見(jiàn)附圖），略去邊緣效應(yīng)，求電容C。

解：

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25. 一長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)半徑為1.5厘米，外面套有內(nèi)半徑為3.0厘米的導(dǎo)體圓筒，兩者共軸。當(dāng)兩者電位差為5000伏時(shí)，何處電場(chǎng)強(qiáng)度最大？其值是多少？與其間介質(zhì)有無(wú)關(guān)系？

解：

26. 求垂直軸線(xiàn)均勻極化的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電介質(zhì)軸線(xiàn)上的退極化場(chǎng)，已知極化強(qiáng)度為P。

解：

?27. 在介電常數(shù)為?r的無(wú)限大均勻電介質(zhì)中存在均勻電場(chǎng)E0。今設(shè)想以其中某點(diǎn)O為中心作一球面，把介質(zhì)分為內(nèi)、外兩部分。求球面外全部電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E。（E比E0大還是小？）

解：

?????28. 在介電常數(shù)為?r的無(wú)限大均勻電介質(zhì)中存在均勻電場(chǎng)E0。今設(shè)想在其中作一軸線(xiàn)與E0垂直的無(wú)?限長(zhǎng)圓柱面，把介質(zhì)分為內(nèi)、外兩部分。求柱面外全部電在柱軸上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E。

解：

29. 空氣的介電強(qiáng)度為3000千伏/米，問(wèn)直徑為1.0厘米，1.0毫米和0.10毫米的導(dǎo)體球，在空氣中最多各能帶多少電荷量？

解：

30. 空氣的介電強(qiáng)度為3.0?10伏/米，銅的密度為8.9克/厘米，銅的原子量為63.75克/摩爾。阿伏伽德羅數(shù)N0?6.022?1023摩爾?1，金屬銅里每個(gè)銅原子有一個(gè)自由電子，每個(gè)電子的電量為631.60?10?19庫(kù)侖。

⑴ 問(wèn)半徑為1.0厘米 的銅球在空氣中最多能帶多少電荷量？

⑵ 這銅球所帶電荷量最多時(shí)，求它所缺少或多出的電子數(shù)與自由電子總數(shù)之比；

⑶ 因?qū)w帶電時(shí)電荷都在外表面上，當(dāng)銅球所帶電荷量最多時(shí)，求它所缺少或多出的電子數(shù)與表面一層銅原子所具有的自由電子數(shù)之比。

[提示：可認(rèn)為表面層的厚度為n?13，n為原子數(shù)密度。]

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解：

31. 空氣的介電強(qiáng)度為3000千伏/米，問(wèn)空氣中半徑為1.0厘米，1.0毫米和0.10毫米的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)上單位長(zhǎng)度最多各能帶多少電荷量？

解：

32. 空氣介電強(qiáng)度為30千伏/厘米，今有一平行板電容器，兩極板相距為0.50厘米，板間是空氣，問(wèn)能耐多高的電壓？

解：

33. 空氣的介電強(qiáng)度為3000千伏/米，當(dāng)空氣平行板電容器兩極板的電位差為50千伏時(shí)，問(wèn)每平方米面積的電容最大是多少？

解：

34. 一圓柱形電容器，由直徑為5.0厘米的直圓筒和與它共軸的直導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成，導(dǎo)線(xiàn)的直徑為5.0毫米，筒與導(dǎo)線(xiàn)間是空氣，已知空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為30000伏特/厘米，問(wèn)這電容器能耐多高的電壓？

解：

35. 兩共軸的導(dǎo)體圓筒，內(nèi)筒外半徑為R1，外筒內(nèi)半徑R2（R2?2R1），其間有兩層均勻介質(zhì)，分界面的半徑為r，內(nèi)層介電常數(shù)為?r1，外層介電常數(shù)為?r2??r12，兩介質(zhì)的介電強(qiáng)度都是EM。當(dāng)2EMrR2電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先被擊穿？證明：兩筒最大的電位差UM?。

ln2rR1證明：

36. 一圓柱形電容器內(nèi)充滿(mǎn)了兩層均勻介質(zhì)，內(nèi)層是?r1?4.0的油紙，其內(nèi)半徑為2.0厘米，外半徑為2.3厘米；外層是?r2?7.0的玻璃，其外半徑為2.5厘米。已知油紙的介電強(qiáng)度為120千伏/厘米，玻璃的介電強(qiáng)度為100千伏/厘米，問(wèn)這電容器能耐多高的電壓？當(dāng)電壓逐漸升高時(shí)，哪層介質(zhì)先被擊穿？

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解：

37. 設(shè)一同軸電纜里面導(dǎo)體的半徑為R1，外面導(dǎo)體的內(nèi)半徑為R3，兩導(dǎo)體間充滿(mǎn)了兩層均勻介質(zhì)，它們的分界面是R2，設(shè)內(nèi)外兩層介質(zhì)的介電常數(shù)分別為?r1和?r2（橫截面見(jiàn)附圖），它們的介電強(qiáng)度分別為E1和E2，證明：當(dāng)兩極（即兩導(dǎo)體）間的電壓逐漸升高時(shí)，在?r1E1R1??r2E2R2的條件下，首先被擊穿的是外層電介質(zhì)。

證明：

38. 一平行板電容器極板面積為S，間距為d，電荷為?Q。將一塊厚度為d，介電常數(shù)為?r的均勻電介質(zhì)板插入極板間空隙。計(jì)算：

⑴ 靜電能的改變；

⑵ 電場(chǎng)力對(duì)介質(zhì)板作的功。

解：

39. 一平行板電容器極板面積為S，間距為d，接在電源上以維持其電壓為U。將一塊厚度為d、介電常數(shù)為?r的均勻電介質(zhì)板插入極板間空隙。計(jì)算：

⑴ 靜電能的改變；

⑵ 電場(chǎng)對(duì)電源所作的功；

⑶ 電場(chǎng)對(duì)介質(zhì)板作的功。

解：

40. 一平行板電容器極板是邊長(zhǎng)為a的正方形，間距為d，電荷為?Q。把一塊厚度為d、介電常數(shù)為?r的電介質(zhì)板插入一半，它受力多少？什么方向？

解：

41. 兩個(gè)相同的平行板電容器，它們的極板都是半徑為10厘米的圓形，極板相距都是1.0毫米。其中一個(gè)兩板間是空氣，另一個(gè)兩板間是?r?26的酒精。把這兩個(gè)電容器并聯(lián)后充電到120伏，求它們9 / 10

所蓄的總電能；再斷開(kāi)電源，把他們帶異號(hào)電荷的兩極分別聯(lián)在一起，求這時(shí)兩者所蓄的總電能。少的能量哪里去了？

解：

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