陜西省安康中學2023屆高三下學期5月學業質量檢測(二)理科數學試題(含答

2024年1月4日發(作者：李主任)

陜西省安康中學2023屆高三下學期5月學業質量檢測（二）理科數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題21．設全集U?xx?x?2?0,x?Z，eUM???1,0?，則（??）D．1?M）D．a?1，b?4）A．2?MB．?1?MC．0?M2．已知復數z?2?i，且az?z?b?0，其中a，b為實數，則（A．a??1，b??4B．a??1，b?4C．a?1，b??4??????????3．已知向量a，b滿足a?2b?2，a?b·2a?b?8，則a與b的夾角為（????A．?6B．?3C．2?3D．5?64．已知數列?an?的前n項和為Sn，a1?a2?1，a3?a4?2，an?an?4?0，則（A．S23?S21?S22C．S21?S23?S22B．S21?S22?S23D．S23?S22?S21）25．設F為拋物線C:y?2px?p?0?的焦點，準線為l，O為坐標原點，點A在C上，AF?AO，點A到準線l的距離為3，則?AOF的面積為（）D．23A．2B．22C．3）6．執行如圖所示的程序框圖，輸出的k?（A．3B．4C．5試卷第1頁，共4頁D．6

7．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是線段C1D1（不含端點）上的動點，N為BC的中點，則（）B．平面A1BD?平面AD1MD．CM//平面A1BDA．BD?AMC．MN//平面A1BD8．在各項均為正數的等比數列?an?中，a3?a4?16，a5?a6?4，則使得an?1成立的n的最小值為（A．7）B．8C．9D．109．已知球O的半徑為2，三棱錐O?ABC底面上的三個頂點均在球O的球面上，?BAC?A．2π，BC?3，則三棱錐體積的最大值為（3B．13）D．14C．212210．已知某口袋中放有大小、質地完全相同的紅球和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為p1，兩次摸到的小球顏色相同的概率為p2，則（A．p1?p2C．p1?p2）B．p1?p2D．p1，p2大小不確定11．已知函數f?x?的定義域為R，且f?x??f?4?x??0，f?x?1??f?1?x?，f?2023???2023，則?f?k??（k?198）C．?2023D．2023A．?1B．0x2y212．已知雙曲線C：2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的ab????????直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若F1B?4F1A，△ABF2的周長為8a，則C的離心率為（A．C．）B．D．3233232333二、填空題13．從甲、乙、丙等6名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙、丙3人中恰好有兩人入選的概率為______.試卷第2頁，共4頁

14．圓心在直線l1:x?y?2?0上，且與直線l2:x?y?0相切的一個圓的方程為______.15．已知函數f?x??sin??x??????0,0???π?，若x1?零點，則當?取得最小值時，sin4??________．2x16．已知函數f?x??ax?e在區間?1,3?上有兩個零點，則實數a的取值范圍是________．π3π，x2?為f?x?的兩個124三、解答題17．已知?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinCcosB?2sinBcosC?0．1222(1)證明：c?b?a；3(2)若a?3，點D在BC邊上，且AD?BC，AD?3，求?ABC的周長．如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側面SAD為等邊三角形，18．AB?2，SC?22．(1)證明：平面SAD?平面ABCD；，使得直線BP與平面SAC所成角的正弦(2)側棱SC上是否存在一點P（P不在端點處）值等于21？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．7，下面是近六個月每袋出廠19．某食品加工廠新研制出一種袋裝食品（規格：500g/袋）價格（單位：元）與銷售量（單位：萬袋）的對應關系表：月份序號每袋出廠價格xi月銷售量yi62i110.52.2210.93111.92i411.51.865121.5612.51.426并計算得?x?782.56，?y?19.9，?xiyi?122.i?1i?1i?1(1)計算該食品加工廠這六個月內這種袋裝食品的平均每袋出廠價格、平均月銷售量和平均月銷售收入；(2)求每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數（精確到0.01）；試卷第3頁，共4頁

(3)若樣本相關系數r?0.75，則認為相關性很強；否則沒有較強的相關性.你認為該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量是否有較強的相關性.附：樣本相關系數r???x?x??y?y?i?1iin??x?x???y?y?i?1ii?1in2n2，0.322?0.57.22620．已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過點M(1,)，N(?,).2333(1)求E的方程；(2)已知P?2,0?，是否存在過點G??1,0?的直線l交E于A，B兩點，使得直線PA，PB的斜率之和等于?1？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.x21．已知函數f?x??e?e2x?ax?a?R?．2(1)若f?x?在R上是增函數，求a的取值范圍；f?m??f?n??1?(2)若當a??0,?時，f?x?有兩個極值點m，n，證明：?e?1．m?n?e???x?t22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為?（t為參數）.以原點O為極y?2t??點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為k??cos??1???sin??0?k?R?.(1)寫出l的直角坐標方程和C的普通方程；(2)若l與C有兩個交點，求k的取值范圍.23．已知a，b，c均為正數，且a?2b?4c?1，證明：(1)211???18；ab2c4.81222(2)4a?b?c?試卷第4頁，共4頁

參考答案：1．A【分析】先計算出全集，再根據補集，求出集合M,分別判斷各個選項即可.【詳解】由題意得U???1,0,1,2?，從而M??1,2?，故A正確，B，C，D都錯誤.故選：A.2．B【分析】根據復數加減法運算規則和復數相等的定義求解.a?1?i，【詳解】因為z?2?i，所以az?z?b?a?2?i???2?i??b??2a?b?2????a??1?2a?b?2?0由az?z?b?0，得?，即?；b?4a?1?0??故選：B.3．C?????2???2??a?b?2a?b?2a?a?b?b?8【分析】由求得a?b??1，再根據向量夾角公式即可求????解.???????2???2??【詳解】因為a?b?2a?b?2a?a?b?b?8.又a?2b?2，所以a?b??1.????????a?b1cosa,b????所以，?2a?b??2π??因為0?a,b?π，所以a與b的夾角為.3故選：C4．B【分析】先由數列的遞推式得到?an?是以8為周期的數列，再由遞推式求得a6，a7，從而證得S22?S21?0，S23?S22?0，由此得解.【詳解】因為an?an?4?0，所以an?4??an，所以an?8??an?4?an，所以?an?是以8為周期的數列，答案第1頁，共14頁

又a1?a2?1，a3?a4?2，所以a6??a2??1，a7??a3??2，所以S22?S21?a22?a6??1?0，S23?S22?a23?a7??2?0，所以S22?S21,S23?S22，故S21?S22?S23.故選：B.5．B【分析】根據拋物線的定義和幾何性質以及標準方程即可求解.p?p?【詳解】由題意得F?,0?，l:x??.2?2?因為AF?AO，所以點A的橫坐標為p.4p?p??????3.4?2?因為點A到l的距離為3，所以解得p?4，所以C的方程為y2?8x.不妨設點A在x軸的上方，則A?1,22?，所以S△AOF?故選：B.6．B【分析】模擬執行程序，即可計算輸出值.【詳解】執行第一次循環，y?2?1?3，x?2?1?2，k?0?1?1，y?x?3?2?1；執行第二次循環，y?6?2?8，x?2?2?4，k?1?1?2，y?x?8?4?4；執行第三次循環，y?2?8?4?20，x?2?4?8，k?2?1?3，y?x?20?8?12；執行第四次循環，y?2?20?8?48，x?2?8?16，k?3?1?4，y?x?48?16?32.因為32?15，所以結束循環，輸出k?4.故選：B7．B【分析】由面面垂直的判定定理判斷B，建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法證明面面、線面的位置關系判斷ACD．11OF?yA??2?22?22.22答案第2頁，共14頁

【詳解】因為A1D?AD1，A1D?C1D1，AD1?C1D1?D1，AD1,C1D1?平面AD1M，所以A1D?平面AD1M，又A1D?平面A1BD，所以平面A1BD?平面AD1M，故B正確；以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設AB?2，則B?2,2,0?，A1?2,0,2?，A?2,0,0?，C?0,2,0?，N?1,2,0?.?????????M0,y,20?y?2DB?2,2,0DA????設，則??，1??2,0,2?.設平面A1BD的法向量為?m??x1,y1,z1?，?????????m?DA1?2x1?2z1?0,?則有?????可取x1?1，得m??1,?1,?1?.??m?DB?2x1?2y1?0,?????AM???2,y,2?，又?????????則DB?AM??2,2,0????2,y,2??2y?4?0，故A不正確；???????????因為CM??0,y?2,2?，所以m?CM??1,?1,?1???0,y?2,2???y?0，故D不正確；???????????MN?1,2?y,?2m?MN??1,?1,?1???1,2?y,?2??1?y?0，故C不正確．因為??，所以故選：B．8．C【分析】根據等比數列的通項公式，列方程求解.?a3?a4?a3?1?q??16a5111?2【詳解】由?得?q?，所以q?，或q??（舍去），a4a?a?a1?q?422???35?562n?18?n由a3?1?q??a1q?1?q??16，得a1?128，所以an?a1q?2，由28?n?1，得8?n?0，所以n?8，即n的最小值為9；答案第3頁，共14頁

故選：C.9．A?上【分析】求出三棱錐的高，對于?ABC等價于BC邊在外接圓上固定不動，A點在劣弧BC運動，求三棱錐O?ABC體積的最大值就是求?ABC面積的最大值.3BC?2r?2r，【詳解】記球O的半徑為R，?ABC所在外接圓的半徑為r，由得3，r?1，sinA2設三棱錐的高為h，則h2?R2?r2?22?1?3，所以h?3；在?ABC中，如圖：?上運動，顯然當A點為BC?的中點時，等價于BC邊在外接圓上固定不到，A點在劣弧BC高AD最大，AD的最大值?BCπ1113?tan?，?ABC面積的最大值???3?，262224131三棱錐O?ABC體積的最大值??3??；344故選：A.10．B【分析】設口袋中有紅球m個，白球n個，根據獨立事件的概率公式，分別求得p1?2mn?m?n?2，p2?m2?n2?m?n?2，結合基本不等式，即可求解.【詳解】設口袋中有紅球m個，白球n個，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為p1?mnnm2mn????，m?nm?nm?nm?n?m?n?2mmnnm2?n2????兩次摸到的小球顏色相同的概率為p2?，m?nm?nm?nm?n?m?n?2因為m?1,n?1，可得m2?n2?2mn，當且僅當m?n等號成立，答案第4頁，共14頁

所以p1?p2.故選：B.11．D【分析】由函數的對稱中心和對稱軸確定函數的周期為4，代入特殊值求得f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，問題即可得到解決.【詳解】由f?x??f?4?x??0可知函數f?x?的對稱中心為(2,0)，由f?x?1??f?1?x?可知函數f?x?的對稱軸為x?1，故函數f(x)的周期T?4.將x?2代入f?x??f?4?x??0得f(2)?0，將x?1代入f?x?1??f?1?x?得f(0)?0，將x?0代入f?x??f?4?x??0得f(4)?0，而f?2023??f(506T?1)?f(?1)??2023，將x?2代入f?x?1??f?1?x?得f(3)?f(?1)??2023，將x?3代入f?x??f?4?x??0得f(1)??f(3)?2023，所以?f?k??24?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)??f(1)?f(2)?f(1)?f(2)?2023.k?198故選：D12．C【分析】設F1A?x，由雙曲線定義結合題目條件可得AB?AF2?3a,BF2?2a，后利用余弦定理可得答案.【詳解】設F1A?x，則F1B?4x.因F2A?F1A?2a,F1B?F2B?2a.則F2A?2a?x,F2B?4x?2a.因△ABF2的周長為8a，AB?3x，答案第5頁，共14頁

則AB?AF2?BF2?8a?2a?x?4x?2a?3x?8a?a?x.則AB?AF2?3a,BF2?2a.由余弦定理：cosB?則在?F1BF2中，由余弦定理，F1F2F1F2?2c?233a?c?32AB2?BF22?AF222AB?BF2?1.3?BF12?BF22?2BF1BF2cosB?33.333ca?e??3a故選：C13．920【分析】根據計數原理求出樣本空間，再求出甲乙丙三人中剛好有2人入選的事件數，按照古典概型求解.3【詳解】從6名同學中隨機選3名的方法數為C6?20，甲、乙、丙3人中恰好有兩人人選21的方法數為C3C3?9，因此所求概率P?9；20故答案為：29.20214．?x?1???y?1??2（答案不唯一）【分析】依題意可得直線l1與直線l2平行，則兩平行線之間的距離即為圓的半徑，再取一個點確定圓心，即可得到圓的方程.【詳解】因為直線l1:x?y?2?0與直線l2:x?y?0平行，設圓心坐標為?a,a?2?，因為圓心到直線l2的距離等于圓的半徑r，所以r?a?a?22?2，取a?1，則圓的方程為?x?1???y?1??2.2222故答案為：?x?1???y?1??2（答案不唯一）15．?1【分析】利用兩個零點可求得f?x?最小正周期T，從而得到?，代入x?得?的值，由此可得sin4?.3π可構造方程求43ππkTπ3πk?N??，，x2?為f?x?的兩個零點，????412212422π4π2π3k3?3??T????，解得：??，??min?，此時f?x??sin?x???，22k33k??2?【詳解】?x1?答案第6頁，共14頁

9π9π?3π??9π??f???sin?????0，????nπ?n?Z?，解得：??nπ??n?Z?，88?4??8?9π?9π??π??4??4nπ??n?Z?，?sin4??sin?4nπ???sin?????1.2?2??2?故答案為：?1.?e2e3?16．?,??49?exex【分析】首先參變分離為a?2，再構造函數g?x??2，利用導數判斷函數的性質，轉化xx為y?a與y?g?x?的交點問題.ex【詳解】令f?x??ax?e?0，得a?2，x2xex?x?2?ex設g?x??2，g??x??，x??1,3?，3xx當x??1,2?，g??x??0，函數單調遞減，當x??2,3?，g??x??0，函數單調遞增，所以當x?2時，函數取得最小值，e3e2g?2??，g?1??e，g?3??，g?1??g?3?，94ee所以y?a與y?g?x?有2個交點，則?a?.49?e2e3?故答案為：?,??49?2317．(1)證明見解析；(2)5?7【分析】（1）根據題意化簡得sin(B?C)?3sinBcosC，得到sinA?3sinBcosC，結合正弦、余弦定理，即可得證；2b2?6（2）由（1）得c?b?3，利用余弦定理得cosA?，再由三角新面積相等求得2bc22sinA?33，結合cos2A?sin2A?1，求得b?2，進而得到c?7，即可求解.bc【詳解】（1）解：由sinCcosB?2sinBcosC?0，可得sinCcosB?sinBcosC?3sinBcosC，所以sin(B?C)?3sinBcosC，因為B?C?π?A，可得sin(B?C)?sinA，即sinA?3sinBcosC，答案第7頁，共14頁

a2?b2?c2又由正弦、余弦定理得a?3b?，可得2a2?3a2?3b2?3c2，2ab1222可得c?b?a.3（2）解：因為a?3，由（1）知c2?b2?3，可得c2?b2?3，b2?c2?a22b2?6由余弦定理得cosA?，?2bc2bc又因為AD?BC,AD?3，可得S?ABC?133，?3?3?22113333又由S?ABC?bcsinA，所以bcsinA?，可得sinA?，222bc2b2?62332因為cosA?sinA?()?()?1，整理得b2?4，解得b?2，2bcbc22所以c2?b2?3?7，可得c?7，所以?ABC的周長為a?b?c?3?2?7?5?7.18．(1)證明見詳解；(2)存在，點P為SC的中點.【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；???????（2）建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，設SP??SC,(0???1)，由直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于121，解得??即可.27【詳解】（1）證明：因為底面ABCD為正方形，AB?2，所以CD?AD，又因為側面SAD為等邊三角形，所以AB?AD?SD??22，所以SD2?CD2?SC2，即CD?SD，又AD?SD?D,所以CD?平面SAD，又因為CD?平面ABCD，所以平面SAD?平面ABCD.（2）如圖：答案第8頁，共14頁

取AD的中點為E，連接SE，因為側面SAD為等邊三角形，所以SE?AD，又由（1）可知平面SAD?平面ABCD，平面SAD?平面ABCD?AD，SE?平面SAD，所以SE?平面ABCD，????????????以E為原點，分別以AB,ED,ES的方向為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標系.A?0,?1,0?，B?2,?1,0?，S0,0,3，D?0,1,0?，C?2,1,0?，??????????????????所以SC?2,1,?3，SA?0,?1,?3，AC??2,2,0?，設SP??SC,(0???1).?????????????SP?2?,?,?3?，所以P2?,?,3?3?，所以BP?2??2,??1,3?3?.???????????????SA?m?0??b?3c?0m?a,b,c????設平面SAC的法向量為，所以.??，由于???2a?2b?0AC?m?0?????令c?3，則b??3，a?3，所以m?3,?3,3，????????m?BP??????所以cos?m,BP??????mBP?621?8?2?12??8.21.7因為直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于所以621?8?2?12??8?211，解得??或??1（舍）7221.7613故存在，當點P為SC的中點時，使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于19．(1)平均每袋出廠價格為11.4（元），平均月銷售量為1.8（萬袋），平均月銷售收入為（萬元）(2)?0.98(3)該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量有較強的相關性【分析】（1）由表格中數據和參考數據進行計算即可；（2）將樣本相關系數公式轉化為r??xyi?1nii?nxy，利用表中數據和參考數n2??2??n22x?nxy?ny??i???i??i?1??i?1?據進行計算即可；答案第9頁，共14頁

（3）將（2）中樣本相關系數的絕對值與0.75進行比較即可.【詳解】（1）該食品加工廠這六個月內這種袋裝食品的平均每袋出廠價格為：1x???10.5?10.9?11?11.5?12?12.5??11.4（元），61平均月銷售量為y???2.2?2?1.9?1.8?1.5?1.4??1.8（萬袋），616161平均月銷售收入為?xiyi??122?（萬元）.6i?163（2）由已知，每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數為：r???x?x??y?y?i?1ii6??x?x???y?y?i?1ii?1i2626?2?xy?6xyi?1ii62??2??622x?6xy?6y??i???i??i?1??i?1?6?122?6?11.4?1.8?782.56?6?11.4??19.9?6?1.8?2??1.122.8?0.46??1.1220.7?0.46??1.1220.322??1.12??0.98.2?0.57（3）由于每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數r?0.98?0.75，所以該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量有較強的相關性.x2y220．(1)??1；43(2)存在，l的方程為x?y?1?0.【分析】（1）設出橢圓E的方程，利用待定系數法求解作答.（2）設出直線l的方程，與橢圓E的方程聯立，借助斜率坐標公式求解作答.22【詳解】（1）設橢圓E的方程為mx?ny?1?m?0,n?0,m?n?，9?m?n?1?11?34226由點M(1,)，N(?,，解得m?，n?，)在E上，得?24333?4m?8n?1?3?9x2y2所以E的方程為??1.43（2）存在，理由如下.答案第10頁，共14頁

顯然直線l不垂直于x軸，設直線l的方程為x?ky?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?，?x?ky?1?22由?x2y2消去x得：?3k?4?y?6ky?9?0，?1??3?46k?9?8,y1y2?2則y1?y2?2，得x1?x2?k(y1?y2)?2?2，3k?43k?43k?4?9k26k2?12k2?4，x1x2?(ky1?1)(ky2?1)?ky1y2?k(y1?y2)?1?2?2?1?23k?43k?43k?42因此yx2?yx?2?y?y?y1?ky2?1??y2?ky1?1??2?y1?y2y1y?2??x1?2x2?2x1x2?2?x1?x2??4x1x2?2?x1?x2??4??18k18k?2ky1y2?3?y1?y2?3k2?43k2?4????k??1，解得k?1，16x1x2?2?x1?x2??4?12k2?4?2?43k2?43k?4所以存在符合要求的直線l，其方程為x?y?1?0.【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據橢圓的定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程；②待定系數法：若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2?By2?1(A>0，B>0，A≠B)．21．(1)a?0(2)證明見解析xx【分析】（1）轉化為f??x??e?ex?a?0，即a?ex?ex在x?R上恒成立，令g?x?=e?ex，求出g?x?的最小值可得答案；（2）設m?n，即證f?m???e?1?m?f?n???e?1?n，構造函數h?t??f?t???e?1?t，利用答案第11頁，共14頁

導數判斷出h?t?在?0,2?的單調性可得答案．x【詳解】（1）x?R，若f?x?在R上是增函數，則f??x??e?ex?a?0，x即a?ex?ex在x?R上恒成立，a?e?exxx令g?x?=e?ex，x?R，g??x?=e?e，??min，當x?1時，g??x??0，當x?1時，g??x??0，所以g?x??g?1??0，所以a?0；?1?（2）a??0,?，不妨設m?n，所以f??x??0有2個不同的解m,n，?e?由（1）可知n?1?m，且f??m??f??n??0，f?m??f?n??e?1，即證f?m???e?1?m?f?n???e?1?n，m?ne2t構造函數h?t??f?t???e?1?t=e?t?at??e?1?t，2要證h??t??et?et?a??e?1?，02因為f??0??e?a?0，f??2??e?2e?a?0，所以0?n?1?m?2，t令m?t??h??t?，則m??t??e?e，當t?1時，m??t??0，當t?1時，m??t??0，所以h??t?在?1,2?上單調遞增，在?0,1?上單調遞減，又h??0??2?a?e?0，h??2??0，所以h??t??0，所以h?t?在?0,2?上單調遞減，所以h?m??h?n?，即原命題得證.【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵點是轉化為證f?m???e?1?m?f?n???e?1?n成立，再構造函數h?t??f?t???e?1?t，利用其單調性得出答案，考查了學生分析問題、解決問題的能力.222．(1)l的直角坐標方程為y?k?x?1?，C的普通方程為y?4x?y?0?(2)?0,1?答案第12頁，共14頁

?x??cos?【分析】（1）利用?化極坐標方程為直角坐標方程，用消參法化參數方程為普通y??sin??方程；（2）直線l與曲線C的直角坐標方程聯立方程組，由方程組有兩個解可得參數范圍．【詳解】（1）因為l:k??cos??1???sin??0，所以k??cos???sin??k?0.將?sin??y，?cos??x，代入上式，化簡得kx?y?k?0，即l的直角坐標方程為y?k?x?1?.因為y2?4t，x?t，消去參數t，得y2?4x.2又t?0，所以C的普通方程為y?4x?y?0?.（2）聯立當k?0時，x?=+1,當k?0時，y?0，x?0，所以l與C只有一個交點，不符合題意；2=4??yy?1，將x??1代入y2?4x，得ky2?4y?4k??4?2k?0?2若l與C有兩個交點，因為y?0，所以?16?16k?0，解得0?k?1.?4k??0?k綜上可知，k的取值范圍為?0,1?.23．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用基本不等式證明；（2）利用柯西不等式證明．【詳解】（1）證明：211?211??4ba??8ca??4cb?????????a?2b?4c??6?????????????6?ab2c?ab2c??ab??a2c??bc?4ba8ca4cb??2??2??18，aba2cbc111當且僅當a?，b?，c?時，等號成立.12632答案第13頁，共14頁

所以211???2c（2）證明：由柯西不等式得：2?1?222?4?164a?b?c?a?26?4c?1，???????4?1124816??，即a?，b?，c?時，等號成立.當且僅當8181814abc222所以4a?b?c?4.81答案第14頁，共14頁