用幾何畫板作擺線

2024年2月12日發(作者：真的很不錯)

用《幾何畫板》軟件作各種擺線

1、用幾何畫板作擺線生成過程動畫

[實例效果]

(1) 如圖1，單擊隱藏內擺線按鈕，隱藏內擺線；

(2) 如圖2，單擊滾動按鈕，動態演示車輪滾動效果和內擺線生成過程；

(3) 在顯示菜單中單擊擦除追蹤蹤跡，擦除擺線蹤跡；

(4) 單擊顯示內擺線按鈕，將擺線顯示出來，如圖1.

圖1 內擺線

圖2 動態生成內擺線

[創作思路]

(1) 分別利用擺線和滾動圓圓心的參數方程構造擺線和滾動圓圓心的軌跡跡；

(2) 利用幾何畫板的隱藏、追蹤、變換、動畫、軌跡等功能，根據需要生成各種展示圖片或制作各種演示動畫.

[作圖準備]

分別確定以下參數：

n：滾動圓滾動的圈數或者說是擺線的周期；

r：滾動圓的半徑；

d：滾動圓半徑所在射線上一點到滾動圓圓心的距離.

[創作過程]

(1) 通過圖表→新建參數創建參數：n=2，r=1，d=1，ax=0,ay=-1；

(2) 用度量→計算計算ax+nπ；

(3) 選中ax=0,ay=-1, 通過圖表→繪制點繪制點A，如圖3；選中ax+nπ，ay=1通過圖表→繪制點繪制點B，選中點A、B, 通過構造→線段構造線段AB；

(4) 在線段AB上任取一點C，通過度量→坐標距離度量線段AB的坐標距離，并通過屬性將標簽改為t；

(5) 分別計算x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r；

(6) 分別選中x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r，通過圖表→繪制點繪制點D和E；

(7) 選中點D和點C，通過構造→軌跡構造擺線軌跡；

(8) 選中點E和點C，通過構造→軌跡構造滾圓圓心軌跡；

參數及計算結果 圖像

n = 2.00r = 1.00d = 1.00ax = 0.00ay = -2.00ax+n?? = 6.28t = 2.51r?t = 2.51r?t-d?sin?t? = 1.91r-d?cos?t? = 1.81

圖3 構造擺線軌跡

(9) 在圖3的基礎上先后選中點E和點D，選擇構造→以圓心和圓周上的點繪圓生成圓E；連接E D；如圖4所示.

(10) 選中點C，選擇編輯→操作類按鈕→動畫，生成滾動效果，如圖4所示；將“運動點”標簽改為“滾動圓”

(11) 選擺線，選擇編輯→操作類按鈕→隱藏/顯示，生成隱藏軌跡按鈕，

圖4 通過滾動圓生成擺線

如圖4所示；將“隱藏軌跡”標簽改為“隱藏擺線”

(12)

可以通過改變參數n=2的值確定生成擺線的“拱數”如圖5，當時生成“三拱”擺線.

圖5 參數n=2時生成擺線的“三拱”擺線

2、用幾何畫板作短幅擺線和長幅擺線

[創作思路]

(1) 重復前面“用幾何畫板作擺線生成過程動畫”[創作過程]中的第1步到第8步，得圖3；

(2) 在圖3的基礎上，以（ax,d）繪制點G，連接點G和圓心O,選中點E和線段OG, 選擇構造→以圓心和圓周上的點繪圓生成圓E；連接E D；如圖4所示;

(3) 依次選擇點D、E ，選擇構造→射線得以E為端點，過點D的射線，用點工具分別在射線上圓內、外處各取一點H、I，如圖6，

圖6 用點工具分別在射線上圓內、外處各取一點H、I

(4) 分別選擇點H、 C和點I 、C，選擇構造→軌跡生成如圖7所示的短幅擺線和長幅擺線，然后隱藏射線，構造線段EH、ED和EI.

圖7 短幅擺線和長幅擺線

3、用幾何畫板作內擺線生成過程動畫

[實例效果]

(1) 通過滑塊工具改變參數大圓半徑R，滾動圓的半徑r，滾動圓半徑所在射線上一點到滾動圓圓心的距離d和滾動圓滾動的圈數n，可得到如表1中各圖所示不同類型的內擺線，如表2中各圖所示不同類型的短幅內擺線和表3中各圖所示不同類型的長幅內擺線；

(2) 如表4中各圖所示，單擊隱藏內擺線按鈕，隱藏內擺線；單擊滾動按鈕，動態演示表中各圖所示的小圓在大圓中滾動的過程中內擺線的生成過程；

(3) 在顯示菜單中單擊擦除追蹤蹤跡，擦除內擺線蹤跡；

(4) 單擊顯示內擺線按鈕，將擺線顯示出來.

m=r/R的取值

圖形

m=r/R的取值

圖形

1/2 1/4

1/3 3/4

2/3 1/5

表1 不同類型的內擺線

R/ r/d

的取值

圖形

R/ r/d

的取值

圖形

3/2/1 4/2/1

4/3/1 4/3/2

表2 不同類型的短幅內擺線

R/ r/d

的取值

圖形

R/ r/d

的取值

圖形

2/1/2

3/1/3

3/2/3 4/1/2

表3 不同類型的長幅內擺線

表4 內擺線的生成過程示意圖

[創作思路]

(1) 分別利用內擺線和滾動圓圓心的參數方程構造各種擺線和滾動圓圓心的軌跡跡；

(2) 利用幾何畫板的隱藏、追蹤、變換、動畫、軌跡等功能，根據需要生成各種內擺線的展示圖片或制作各種內擺線的演示動畫.

[作圖準備]

用幾何畫板提供的專用滑塊工具分別做出確定以下參數的滑塊如表5所示，以便演示不同參數各種取值的圖像或動畫效果：

參數的意義 參數的可控滑塊及其取值

R：大圓半徑；

r： 滾動圓的半徑；

d： 滾動圓半徑所在射線上一點到滾動圓圓心的距離；

n： 滾動圓滾動的圈數.

圖1 各參數的意義及其可控滑塊

[創作過程]

(1) 用度量→計算計算m=r/R；

RR = 3.00r = 2.00d = 1.00n = 2.00rdn

(2) 在幾何畫板上任取一點E，選中點E，用度量→橫坐標和度量→橫坐標分別度量點D的兩個坐標（xE,yE），

(3) 用度量→計算計算xE+2π；

(4) 以（xE+2π,yE）為坐標通過圖表→繪制點繪制點G；

(5) 連接EG,在EG上任取一點H，選中點E、H, 通過度量→坐標距離度量線段EH的坐標距離，并通過屬性將標簽改為t；

(6) 用度量→橫坐標和度量→橫坐標分別度量原點O的兩個坐標（xO,yO）;

(7) 分別以（xO,R）和（xO,r）為坐標通過圖表→繪制點繪制點R和點P；

(8) 選中原點O和點R，通過圖表→以圓心和圓周上的點繪圓繪制大圓；

(9) 建立如表6所示的內擺線和滾圓圓心的參數方程。

(10) 選中擺線的參數方程，通過圖表→繪制點繪制點L；

(11) 選中滾圓圓心的參數方程，通過圖表→繪制點繪制點M；

(12) 選中點L和點H，通過構造→軌跡構造內擺線的軌跡；

(13) 選中點M和點H，通過構造→軌跡構造滾圓圓心的軌跡。

擺線的參數方程

滾圓圓心的參數方程

?1-m??R?cos?m?t?+d?cos??1-m??t? = -1.12?1-m??R?sin?m?t?-d?sin??1-m??t? = 1.38

?R-r??cos?m?t? = -1.87?R-r??sin?m?t? = 0.71

表6 內擺線和滾圓圓心的參數方程

4、用幾何畫板作外擺線生成過程動畫

[實例效果]

(1) 通過滑塊工具改變參數大圓半徑R，滾動圓的半徑r，滾動圓半徑所在射線上一點到滾動圓圓心的距離d和滾動圓滾動的圈數n，可得到如表1中各圖所示不同類型的外擺線，如表2中各圖所示不同類型的短幅外擺線和表3中各圖所示不同類型的長幅外擺線；

m=r/R的取值

圖形

m=r/R的取值

圖形

1/1 2/1

1/4

3/

表1 不同類型的外擺線

R/ r/d

的取值

圖形

R/ r/d

的取值

圖形

3/2/1 4/3/2

表2 不同類型的短幅外擺線

R/ r/d

的取值

圖形

R/ r/d

的取值

圖形

3/1/2 3/1/3

表3 不同類型的長幅外擺線

[創作思路]

(1) 分別利用外擺線和滾動圓圓心的參數方程構造各種擺線和滾動圓圓心的軌跡跡；

(2) 利用幾何畫板的隱藏、追蹤、變換、動畫、軌跡等功能，根據需要生成各種外擺線的展示圖片或制作各種外擺線的演示動畫.

[作圖準備]

用幾何畫板提供的專用滑塊工具分別做出確定以下參數的滑塊如表5所示，以便演示不同參數各種取值的圖像或動畫效果：

參數的意義

R：大圓半徑；

r： 滾動圓的半徑；

d： 滾動圓半徑所在射線上一點到滾動圓圓心的距離；

R = 3.00r = 2.00d = 1.00n = 2.00參數的可控滑塊及其取值

Rrdn

n： 滾動圓滾動的圈數.

表4 各參數的意義及其可控滑塊

[創作過程]

(1) 用度量→計算計算m=r/R；

(2) 在幾何畫板上任取一點E，選中點E，用度量→橫坐標和度量→橫坐標分別度量點D的兩個坐標（xE,yE），

(3) 用度量→計算計算xE+2π；

(4) 以（xE+2π,yE）為坐標通過圖表→繪制點繪制點G；

(5) 連接EG,在EG上任取一點H，選中點E、H, 通過度量→坐標距離度量線段EH的坐標距離，并通過屬性將標簽改為t；

(6) 用度量→橫坐標和度量→橫坐標分別度量原點O的兩個坐標（xO,yO）;

(7) 分別以（xO,R）和（xO,r）為坐標通過圖表→繪制點繪制點R和點P；

(8) 選中原點O和點R，通過圖表→以圓心和圓周上的點繪圓繪制大圓；

(9) 建立如表6所示的外擺線和滾圓圓心的參數方程。

(10) 選中擺線的參數方程，通過圖表→繪制點繪制點L；

(11) 選中滾圓圓心的參數方程，通過圖表→繪制點繪制點M；

(12) 選中點L和點H，通過構造→軌跡構造外擺線的軌跡；

(13) 選中點M和點H，通過構造→軌跡構造滾圓圓心的軌跡。

?1+m??R?cos?m?t?-d?cos??1+m??t? = -0.93擺線的參數方程

?1+m??R?sin?m?t?-d?sin??1+m??t? = 5.17

滾圓圓心的參數方程

?R+r??cos?m?t? = 0.65?R+r??sin?m?t? = 3.95

表5 外擺線和滾圓圓心的參數方程