RS編碼

2024年2月15日發(fā)(作者：趕作業(yè))

RS編碼

5RS(255,249) 碼的生成多項(xiàng)式為G（x）=?(x?a)，其中a為本原元，是本原多項(xiàng)式p（x）i?0i=x?x84?x3?x2?1的根。RS系統(tǒng)編碼器可看作是一個(gè)多項(xiàng)式除法器，首先用xn?kn?k乘以消息多項(xiàng)式m（x），，即在信息碼后附加（n-k）個(gè)“0”， ，將得到的結(jié)果x余式，b（x）=b0?b1x?b2x為c（x）=xRS譯碼

n?k2m（x）除以g（x），得到?...?bn?k?1xn?k?1

為所求的校驗(yàn)位，從而，可將碼字多項(xiàng)式表示m（x）+b（x）。

由于RS 碼是一種循環(huán)碼，令碼字多項(xiàng)式為c（x），錯(cuò)誤多項(xiàng)式為e（x），則接收多項(xiàng)式可表示為r（x）= c（x）+ e（x）。存在校驗(yàn)矩陣H，使c*HjT=0，!，定義接收矢量的伴隨式S= r*HjT=（s1,s2,...,s2t）。。可得伴隨式：sj?r(a)?e(a)j=1,2,3,…n

可知伴隨式完全由噪聲E決定，充分反映了信道干擾的情況。

循環(huán)碼編碼

循環(huán)碼通常采用碼多項(xiàng)式描述, 假設(shè)(7, 4)循環(huán)碼的碼字為(1001000), 就可用T(x)=1+x3 表示。特別是用g(x)表示前k- 1 位皆為0 的碼組, 稱為生成多項(xiàng)式。由循環(huán)碼的性質(zhì)可知, 循環(huán)碼對(duì)生成矩陣可由碼對(duì)生成多項(xiàng)式g( x) 及其循環(huán)移位構(gòu)成, (7, 4)循環(huán)碼生成多項(xiàng)式g(x)=1+x+x3(1011)或g(x)=1+x2+x3(1101),

以選1011 為(7, 4)CRC 碼的生成多項(xiàng)式, 用矩陣表示如下式2- 1。

根據(jù)生成矩陣, 就可利用上面介紹的方法設(shè)計(jì)編碼器了。還可以利用循環(huán)碼自身的循環(huán)性, 更方便地實(shí)現(xiàn)編碼器。(7, 4)循環(huán)碼為例, 若輸入信息碼元為u(x)=1+x3, 則:

x3622n?ku（x）n?k=x?x=x+xmod(1?x?x)因此, 碼多項(xiàng)式為:o（x）=r（x）+xu（x）=x+x2?x3?x其6中r(x)=x+x2 為信息碼元置為高位后整除生成多項(xiàng)式的余式, 它正好對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)序列。因此對(duì)應(yīng)的輸出碼字為: c=(0111001), 其中最右邊的4 位是信息元。循環(huán)碼編碼器的結(jié)構(gòu)可用圖1 所示的框圖表示。

漢明碼編碼

最簡單的校驗(yàn)碼是奇偶校驗(yàn)碼，其基本思想是無論信息位有多少位，校驗(yàn)位只有一位。以偶校驗(yàn)為例，在

分組數(shù)據(jù)后面附加一位校驗(yàn)位，使得信息位連同校驗(yàn)位在內(nèi)的碼組中的“l(fā)”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，在接收端按同樣的規(guī)律檢查，如果不符說明出現(xiàn)了差錯(cuò)。奇偶校驗(yàn)碼的最小碼距d血=2，可以檢測奇數(shù)(2H1)個(gè)錯(cuò)誤。漢明碼的基本思想是在k個(gè)信息位后增加r個(gè)監(jiān)督位，總碼長n=k 4-r位，希望能用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出的r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來指示rt位碼中一位錯(cuò)碼的可能位置，r個(gè)監(jiān)督位有27種可能，其中1種表示無錯(cuò)，剩下2’一1種表示一位錯(cuò)碼的扎種可能位置，因此要求27—1≥n或27≥后+r+1上式當(dāng)?shù)扔谔?hào)成立時(shí)即為漢明碼，一般常見的有(7，4)、(15，11)漢明碼等。以(7，4)漢明碼為例，監(jiān)督碼位r=n—k=3，用a6，a5，?，ao表示這7個(gè)碼元，用S1S2S3表示3個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，按照S1S2S3=000時(shí)表示無錯(cuò)，S1S2S3為其他值時(shí)表示7個(gè)可能的錯(cuò)碼位置。

根據(jù)漢明碼編譯碼的基本原理，在FPGA中實(shí)現(xiàn)的漢明碼編譯碼系統(tǒng)如圖l所示。系統(tǒng)用Verilog語言進(jìn)行設(shè)計(jì)，由3個(gè)模塊組成，編碼模塊：hamming_coder．v，噪聲模擬模塊：add—noi．v，譯碼模塊：hamming_decoder．v。三個(gè)模塊再通過一個(gè)頂層綜合模塊hamming_top綜合在一起，其中，data_in為輸

入數(shù)據(jù)，ret為復(fù)位端，noi為模擬加入的噪聲，data_out為譯碼后輸出的數(shù)據(jù)，err為譯碼輸出錯(cuò)誤指示

BCH(23，1 2)的編碼

BCH (23，12)碼就是糾正3位錯(cuò)誤的二元BCH 碼， 由本原多項(xiàng)式以及生成多項(xiàng)式計(jì)算式g（x）=

LCM{Q1(x),Q3(x),Q5(x),....,Q2t?1(x)}，得到碼的生成多項(xiàng)式g利用多項(xiàng)式的除法電路很容易得到BCH

(23，12)碼的編碼．其編碼電路圖如圖l所示．

圖1 BCH (28．12)的編碼電路圖

BCH(23．1 2)的譯碼

BCH碼譯碼的一般步驟分4步：(1)根據(jù)接收多項(xiàng)式矢量R(x)計(jì)算伴隨式 ，( =l，2?，2 f)；(2)用伯

利坎普迭代算法，從sj求出差錯(cuò)定位多項(xiàng)式o(x)：(3)用錢~(Chien)搜索法(試探法)，求 ( )的根，其倒

數(shù)為差錯(cuò)位置數(shù)；(4)接收多項(xiàng)式減差錯(cuò)多項(xiàng)式，完成糾錯(cuò)．多項(xiàng)式口( )的迭代算法實(shí)現(xiàn)起來很麻煩，直

接以伴隨式S】，S3為出發(fā)點(diǎn)，來尋找錯(cuò)誤位置，并予以糾正來完成譯碼．由于該碼的本原域次數(shù)很高，采

用以上的譯碼方法比較復(fù)雜．相對(duì)來說，采用修正捕錯(cuò)譯碼比較簡單，譯碼電路圖如圖2所示：