三角模糊數的猶豫模糊多屬性決策方法

更新時間:2024-03-08 05:57:49 閱讀：評論：0

2024年3月8日發(作者：政務大廳)

三角模糊數的猶豫模糊多屬性決策方法

談靜;陳子春;朱小強

【摘要】將三角模拓展到猶豫模糊集,用T-模表示該猶豫模糊集的悲觀取值,用S-模表示其樂觀取值.借助于猶豫模糊集的悲觀值和樂觀值提出一種新的偏好度,給出了猶豫模糊集的排序方法并將其應用于猶豫模糊集多屬性決策,并以實例驗證了這種可能度的可行性和有效性.

【期刊名稱】《宜賓學院學報》

【年(卷),期】2019(019)006

【總頁數】5頁(P81-85)

【關鍵詞】多屬性決策;猶豫模糊集;T-模;S-模;可能度

【作者】談靜;陳子春;朱小強

【作者單位】西華大學無線電管理技術研究中心,四川成都610039;西華大學無線電管理技術研究中心,四川成都610039;西華大學無線電管理技術研究中心,四川成都610039

【正文語種】中文

【中圖分類】O159

自美國控制論專家Zadeh于1965年首次提出模糊集[1]這一概念以來，模糊集合理論將人們研究的對象由確定性現象擴展到模糊性現象，并成功應用于管理決策[2]、資源分配[3]、軍事應用[4]等領域.利用模糊集理論能夠合理解決不準確、不

完全信息問題.在刻畫模糊信息時，確定一個元素的隸屬度往往會在幾個值或幾個區間之間猶豫不定，無法給出一個確定的值或者區間.基于此，Torra于2010年提出了猶豫模糊集[5]這一概念，主要用這些值或者區間組成的集合來表示這個元素的隸屬度.由于猶豫模糊集中隸屬度的數值可能是猶豫的，所以猶豫模糊集比模糊集的推廣形式更能全面地表達模糊信息.

Farhadinia[6-7]提出一系列猶豫模糊數的得分函數及其相應的猶豫模糊數排序方法.在采用得分函數排序時，當得分函數相等，則無法得出最優方案.2013年，Xu[8]等給出了區間猶豫模糊集概念，并以此為基礎定義了區間猶豫模糊數的基本運算.在此定義中，當區間猶豫模糊的區間個數不同時，則增加最小區間值將其區間個數補充相同，再進一步計算.此方法不能有效考慮到猶豫模糊集的一個重要指標—猶豫性.為此，Li等[9]在2018年提出將三角模糊數應用到猶豫模糊語言術語集中，用T-模和S-模表示猶豫模糊語言集的上下端點，增加了猶豫模糊語言集猶豫性，增強了決策的有效性.在此基礎上，本文通過分析猶豫模糊集和T-模和S-模的相關概念，采用T-模和S-模分別表示猶豫模糊集的悲觀值和樂觀值，然后借助于猶豫模糊數的悲觀值和樂觀值提出了一種新的偏好度，得出一個偏好矩陣對方案進行排序，并將其應用于猶豫模糊集多屬性決策.最后，將該方法的排序結果與文獻[10]進行對比，驗證方法的合理性.

1 預備知識

定義1[5] 設X是一個給定的集合（論域），X上的猶豫模糊集的一個映射，它把X中的每一個元對應于[0,1]區間的一個子集.用數學語言詮釋猶豫模糊集的概念如下：E={( x ,hE(x))|x∈X}，其中h E(x)是[0,1]區間中一些數值組成的集合，它們代表x∈X的隸屬程度，把h=hE(x)稱為一個猶豫模糊元.

例 1：假設論域 X={x 1,x 2,x 3}，對 x i(i=1,2,3)屬于一個集合E的猶豫模糊元分別是h(x 1)={0 .8,0.5,0.3}，h(x 2)={0 .6,0.4}和h(x 3)={0 .6,0.3,0.2}，E是一個

猶豫模糊集，表示為E={(x 1,{0.8,0.5,0.3}),(x 2,{0.6,0.4}),(x 3,{0.6,0.3,0.2})}.

猶豫模糊集在進行各種運算的過程中都是通過相應的猶豫模糊元來進行計算的，相應的猶豫模糊元之間的運算如下：

定義2[10]設h為任意的猶豫模糊元素，則h的得分函數為模糊元素h中的元素個數.

設h1、h2為兩個猶豫模糊元素，若其得分函數分別為S(h1)、S(h2)，則：

①當S(h1)＞ S(h2)時，h1＞ h2；

②當S(h1)=S(h2)時，h1=h2.

2 關于T-模和S-模理論

特別地，當猶豫模糊集中的元素唯一時，猶豫模糊集會退化為模糊集.值得注意的是，不同猶豫模糊中元素個數可能不同，所以為了便于不同猶豫模糊元的比較和運算，文獻[8][10]中所采用的方法是取大取小定義區間的上下端點，然后比較大小.本文為了度量猶豫模糊集中每個猶豫模糊元的信息，首先引進T-模和S-模的概念.

定義3[11-12]一般地，T-模是一個映射運算T:[0,1]×[0,1]→[0,1]，對任意

x,y,z∈[0,1]，滿足：

①T(x,y)=T(y,x)；

②T(T (x,y),z)=T(x ,T(y,z))；

③ y ≤ z? T(x,y)≤ T(x,z)；

④T(x,1)=x.

同樣，S-模也是一個映射運算，S:[0,1]×[0,1]→[0,1]，對任意的x,y,z ∈[0,1]，滿足：

①S(x,y)=S(y,x)；

②S(S (x,y),z)=S(x ,S(y,z))；

③ y ≤ z? S(x,y)≤ S(x,z)；

④S(x,0)=x.

表1給出了幾組常見的T-模和S-模，其中T∧和S∨被稱為最小值和最大值，T·和S·被稱為代數積和代數和，T E和SE被稱為Einstein積和Einstein和，T L和SL被稱為有界積和有界和.

表1 常見的幾組T-模和S-模T∧T∧( )a,b=a∧b T·T?( )a,b=a?b T E T E( )a,b=a?b

1+( )1-a( )1-b T-模T L T L( )a,b=0∨( )a+b-1 T n T n( )a,b=T W a∧b,a+b?1 0,其它T w( )a,b=a∧b,a∨b=1 0,其它S∨=a∨b S?( )a,b=a+b-ab SE( )a,b=S∨S·SE

S-模SL a+b 1+ab SL( )a,b=1∧( )a+b Sn Sn( )a,b=Sw a∨b,a+b?1 1,其它Sw( )a,b=a∨b,a∧b=0 1,其它

在給定的幾個猶豫模糊集中，可由表1中任意選取一對T-模和S-模確定猶豫模糊集的上下端點，然后在所求區間中根據可能度比較大小，得出偏好矩陣，按行求和選出最優方案.

定義4 設h={γ1,γ2,…γk}是一猶豫模糊元，則h上的T-模和S-模運算定義為：

性質 1 設 h1={γ1,γ2,…,γi}，h2={γ1,γ2,…,γi-1,γi,γi+1,…,γj}，j＞ i，即h2比h1具有更多的可能隸屬度值，則T(h1)≥T(h2),S(h1)≤S(h2).

證明：根據猶豫模糊集的性質有：

因為T(a,1)=a，?a ∈[0,1]，所以

因為對 ?a,b,c∈[0,1]，若 a≤ b，有 T(a,c)≤T(b,c).則

即T(h1)≥ T(h2)得證.

因為S(a,0)=a，?a ∈[0,1]，所以

又因為對 ?a,b,c∈[0,1]，若 a≤b，有S(a,c)≤S(b,c).則

即證出S(h1)≤S(h2).

定義5 對于任意的T-模和S-模，設h={γ1,γ2,…γk}是一猶豫模糊元，γi∈[0,1]，定義h(TS)=[T (h),S(h)].

例2：設X是一個給定的集合，稱為論域.定義在X上的兩個猶豫模糊集h1和h2分別表示為h1={0 .1,0.2}、h2={0 .1,0.2,0.3}，則h1上的T-模和S-模運算分別為T(h1)=T(0.1,0.2)=0.1×0.2=0.02，S(h1)=S(0.1,0.2)=0.1+0.2-0.1×0.2=0.28；h2上的T-模和S-模運算分別為T(h2)=T(T (0.1,0.2),0.3) 0.1×0.2×0.3=0.006，S(h1)=S(S (0.1,0.2),0.3)=0.496.則顯然可以得出T(h1)＞ T(h2)，S(h1)＜ S(h2).

3 基于可能度的猶豫模糊集的多屬性決策算法

3.1 基于三角模構造猶豫模糊集的可能度

類似于區間可能度[13]，下面應用猶豫模糊元的T-模和S-模聚合結果構造猶豫模糊元之間的廣義可能度.

定義6 設h1和h2為X上兩個猶豫模糊集，定義h1≥h2的可能度

其中l 1=S(h1)-T(h1)，l 2=S(h2)-T(h2).

性質2 由于：①0≤P(h 1(TS)≥h2(TS))≤1； ② P(h 1(TS)≥

h2(TS))+P(h1(TS)≤h2(TS))=1，根據區間可能度得到判斷矩陣P=(pij)n×n，對矩陣P按行求和得

按pi大小對區間排序，即得最優方案.

例3：設X是一個給定的集合，稱為論域.定義在X上的三個猶豫模糊集h1、h2和h3分別為：

根據文獻[10]可以分別計算出得分函數S(h1)、S(h2)和S(h3)，即S(h1)=S(h2)=S(h3)=0.4，對對象x 1、x 2和x 3難以排序.

本文先求出h1、h2和h3對應區間的上下端點，即任意選取一對T-模S-模：

則有

可以得出h1的猶豫模糊區間表示為[0.042,0.832].同樣，以此類推可分別得出h2和h3的猶豫模糊區間表示（見表2）.

表2 猶豫模糊決策區間h1h2h3(T.,S.)[0.042,0.832][0.06,0.79][0.03,0.98]

由等式（1）可計算出h1、h2和h3之間的偏好可能度：

同樣地，可分別計算出h1、h2和h3彼此之間的可能度，得出偏好矩陣：

采用公式（2），對偏好矩陣P按行求和，并排序得出h3≥h1≥h2.

3.2 基于可能度的猶豫模糊集的多屬性決策方法

根據猶豫模糊元之間的可能度，給出猶豫模糊多屬性決策方法：

設 A={A 1,A 2,…,A m}是方案集，C={c1,c2,…,cn}為屬性集，對每個方案A

i∈A，專家都會針對每一個屬性值cj∈C,給出相應的偏好值aij，設ω=(ω1,ω2,…,ωn)T為屬性C={c1,c2,…,cn}的專家對方案A i給出的關于第j個屬性值的評價信息，這里aij是一個猶豫模糊元，方案的所有偏好值組成了決策矩陣A=(aij)m×n，本文假設權重是已知的，方法涉及步驟如下：

Step 1：任意選取一組T-模和S-模重新確定猶豫模糊集的上下端點；

Step 2：利用加權平均模型計算每個方案的綜合得分區間；

Step 3：根據公式（1）計算對應區間之間的可能度，得出偏好矩陣；

Step 4：利用公式（2）對所得偏好矩陣按行求和，進行排序，即得出最優方案.

4 算例

Xia在2013年利用現有猶豫模糊集標準化處理方法研究了供應商選擇多屬性群決策問題[14].問題描述如下：在一個小型企業中，為了減少供應鏈的風險和不確定性，從而提高顧客的服務性能，庫存水平性能和循環時間效率，達到提高競爭力和盈利能力的要求.專家們被授權考慮下列屬性并評分，分別是①x 1：執行力（例如：交貨時間、質量和價格）；②x 2：技術（例如：制造能力、設計能力和更新能力）；③x 3：機構文化及戰略（例如：供應商的信任度、不同類型功能產品兼容性）.根據市場要求三個屬性權重ω=(0.2,0.3,0.5)'，目前是三家供應商A

i(i=1,2,3)，假定專家們對所有方案A i(i=1,2,3)的各個屬性x j(j=1,2,3)提供所有可能的屬性值，記為猶豫模糊元r ij(i,j=1,2,3)，構選決策矩陣H=(hij)3×3，如表3所示.

表3 猶豫模糊決策區間Hx 1 x 2 x 3 A 1 A 2 A

3{(0.6),(0.2,0.4),(0.5)}{(0.6,0.8),(0.8),(0.7,0.9)}{(0.4,0.5),(0.4),(0.3,0.4)}{(0.7),(0.3,0.5),(0.3,0.4)}{(0.5,0.9),(0.7),(0.8)}{(0.3),(0.3,0.6),(0.4,0.5)}{(0.4,0.5),(0.4),(0.6)}{(0.7),(0.6,0.7),(0.5,0.6)}{(0.6),(0.5,0.7),(0.8)}

通過文獻[10]方法可以得到猶豫模糊多屬性群決策的結果是A 2＞A 3＞A 1.

基于三角模的猶豫模糊多屬性決策算法，具體步驟如下：

Step 1：采用一對T-模和S-模重新確定猶豫模糊集的上下端點，如表4所示.

表4 猶豫模糊決策區間H'x 1x 2x 3[0.096,0.88][0.21,0.964][0.24,0.976]A 1 A 2

A 3[0.06,0.88][0.336,0.996][0.048,0.82][0.063,0.91][0.28,0.994][0.036,0.86]

Step 2：由題意知，方案屬性權重ω=(0.2,0.3,0.5)'，結合上一步所得到的新的猶豫模糊決策矩陣H'，進一步確定每一個方案對應屬性的區間，應用加權平均模型計算每個方案的綜合得分區間，aj=ω1 x 1j+ω2 x 2j+ω3 x 3j(j=1,2,3).其中 x ij為方案A j關于屬性x j的得分區間數，不難計算出這三個方案的綜合得分區間分別為：

Step 3：利用公式（2）計算對應區間的可能度，得出偏好矩陣P：

Step 4：利用公式（3）對矩陣P按行求和，可得出A 2＞A 3＞A 1，即最優方案為A 2，其結果與現有方法得出的決策結果相同.

5 結語

針對現實生活中人類都對復雜決策問題的猶豫模糊性思維分析，本文基于三角模糊數和猶豫模糊集的概念，給出了一種基于三角模糊數的猶豫模糊多屬性決策方法.算例充分證明了本文思路的合理性和決策方法的可行性，為復雜數據環境下的多屬性決策分析開辟了一條新的解決思路.

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