2024年3月9日發(作者：冬至大過年)
習題八
1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態分布
N
,.現在測了5爐鐵水，其
含碳量（%）分別為
問若標準差不改變，總體平均值有無顯著性變化（
?
=）
【解】
H
0
:
?
?
?
0
?4.55;H
1
:
?
?
?
0
?4.55.
n?5,
?
?0.05,Z
?
/2
?Z
0.025
?1.96,
?
?0.108
x?4.364,
x?
?
0
(4.364?4.55)
Z???5??3.851,
0.108
?
/n
Z
?Z
0.025
.
所以拒絕
H
0
，認為總體平均值有顯著性變化.
2. 某種礦砂的5個樣品中的含鎳量（%）經測定為：
設含鎳量服從正態分布，問在
?
=下能否接收假設：這批礦砂的含鎳量為.
【解】設
H
0
:
?
?
?
0
?3.25;H
1
:
?
?
?
0
?3.25.
n?5,
?
?0.01,t
?
/2
(n?1)?t
0.005
(4)?4.6041
x?3.252,s?0.013,
x?
?
0
(3.252?3.25)
t???5?0.344,
0.013
s/n
t
?t
0.005
(4).
所以接受
H
0
，認為這批礦砂的含鎳量為.
3. 在正常狀態下，某種牌子的香煙一支平均1.1克，若從這種香煙堆中任取36支作
為樣本；測得樣本均值為（克），樣本方差
s
2
=(
g
2
).問這堆香煙是否處于正常狀態.已知香煙
（支）的重量（克）近似服從正態分布（取
?
=）.
【解】設
H
0
:
?
?
?
0
?1.1;H
1
:
?
?
?
0
?1.1.
n?36,
?
?0.05,t
?
/2
(n?1)?t
0.025
(35)?2.0301,n?36,
x?1.008,s
2
?0.1,
t?
x?
?
0
(1.008?1.1)
??6?1.7456,
s/n0.1
t
?1.7456?t
0.025
(35)?2.0301.
所以接受
H
0
，認為這堆香煙（支）的重要（克）正常.
4.某公司宣稱由他們生產的某種型號的電池其平均壽命為小時，標準差為小時.在實驗
室測試了該公司生產的6只電池，得到它們的壽命（以小時計）為19，18，20，22，16，
25，問這些結果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱的平均壽命要短設電池壽命近
似地服從正態分布（取
?
=）.
【解】
H
0
:
?
?21.5;H
1
:
?
?21.5.
?
0
?21.5,n?6,
?
?0.05,z
0.05
?1.65,
?
?2.9,x?20,
x?
?
0
(20?21.5)
z???6??1.267,
2.9
?
/n
z??z
0.05
??1.65.
所以接受
H
0
，認為電池的壽命不比該公司宣稱的短.
5.測量某種溶液中的水分，從它的10個測定值得出
x
=(%),
s
=(%).設測定值總體為正
態，
μ
為總體均值，
σ
為總體標準差，試在水平
?
=下檢驗.
（1）
H
0
：
μ
=(%)；
H
1
：
μ
＜(%).
（2）
H
0
:
?
=(%)；
H
1
:
?
＜(%).
?
?
【解】(1)
?
0
?0.5;n?10,
?
?0.05,t
?
(n?1)?t
0.05
(9)?1.8331,
x?0.452,s?0.037,
(0.452?0.5)
?10??4.10241,
0.037
s/n
t??t
0.05
(9)??1.8331.
t??
x?
?
0
所以拒絕
H
0
，接受
H
1
.
(2)
2
?
0
2
?(0.04)
2
,n?10,
?
?0.05,
?
1
2
?
?
?
?
0.95
(9)?3.325,
x?0.452,s?0.037,
?
?
2
(n?1)s
2
?
0
2
9?0.037
2
??7.7006,
0.04
2
2
?
2
?
?
0.95
(9).
所以接受
H
0
，拒絕
H
1
.
6.某種導線的電阻服從正態分布
N
（
μ
，）.今從新生產的一批導線中抽取9根，測其電
阻，得
s
=歐.對于
?
=，能否認為這批導線電阻的標準差仍為
【解】
H
0
:
?
?
?
0
?0.005;H
1
:
?
?
?
0
?0.005.
n?9,
?
?0.05,s?0.008,
2222
?
?
/2
(8)?
?
0.025
(8)?17.535,
?
1?
?
/2
(8)?
?
0.975
(8)?2.088,
?
?
2
(n?1)s
2
?
0
2
8?0.008
2
2
??20.48,
?
2
?
?
0.025
(8).
2
(0.005)
故應拒絕
H
0
，不能認為這批導線的電阻標準差仍為.
7.有兩批棉紗，為比較其斷裂強度，從中各取一個樣本，測試得到：
第一批棉紗樣本：
n
1
=200，
x
=0.532kg,
s
1
=0.218kg；
第二批棉紗樣本：
n
2
=200，
y
=0.57kg,
s
2
=0.176kg.
設兩強度總體服從正態分布，方差未知但相等，兩批強度均值有無顯著差異(
?
=
【解】
H
0
:
?
1
?
?
2
;H
1
:
?
1
?
?
2
.
n
1
?n
2
?200,
?
?0.05,
t
?
/2
(n
1
?n
2
?2)?t
0.025
(398)?z
0.025
?1.96,
2
(n
1
?1)s
1
2
?(n
2
?1)s
2
199?(0.218
2
?0.176
2
)
s
w
???0.1981,
n
1
?n
2
?2398
t?
x?y(0.532?0.57)
???1.918;
1111
s
w
?0.1981??
n
1
n
2
200200
t
?t
0.025
(398).
所以接受
H
0
，認為兩批強度均值無顯著差別.
8.兩位化驗員
A
，
B
對一種礦砂的含鐵量各自獨立地用同一方法做了5次分析，得到
樣本方差分別為(%
2
)與(%
2
).若
A
，
B
所得的測定值的總體都是正態分布，其方差分別為
σ
A
2
，
σ
B
2
，試在水平
?
=下檢驗方差齊性的假設
2222
H
0
:
?
A
?
?
B
;H
1
:
?
A
?
?
B
.
【解】
2
n
1
?n
2
?5,
?
?0.05,s
1
2
?0.4322,s
2
?0.5006,
F
?
/2
(n
1
?1,n
2
?1)?F
0.025
(4,4)?9.6,
F
0.975
(4,4)?
11
??0.1042,
F
0.025
(4.4)9.6
s
1
2
0.4322
F?
2
??0.8634.
s
2
0.5006
那么
F
0.975
(4,4)?F?F
0.025
(4,4).
所以接受
H
0
，拒絕
H
1
.
9~12. 略
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