2024年3月19日發(作者：豬肉丸子湯的做法)
試卷
絕密★啟用前
涇縣中學2021~2022高三年級質量檢測卷數學
（理科）
注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2、請將答
案正確填寫在答題卡上
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符
合題目要求的．
1．已知集合
A?x2x?5x?3?0
，
B?x2?log
2
4
，則
A?
A．
?
x?3?x?
?
2
??
x
?
?
R
B
?
?
（）
?
?
1?
?
2
?
B．
x1?x?3
??
C．
x2?x?3
??
D．
?
x?
?
?
1?
?x?3
?
2
?
1?i?i
2
?i
3
?i
4
??i
2021
?i
2022
2．已知復數
z?
（i為虛數單位），則
z
的值為（）
1?i
A．1 B．
1
2
C．
2
2
D．
1
3
3．已知命題
p:?x
0
?(0,
?
)
，
sinx
0
?0
，命題
q:?x?1
，
log
2
x?0
，則下列命題為真命題的是
（）
A．
p?q
B．
p??q
C．
?(p?q)
D．
?p?q
4．如圖為一幾何體的三視圖（圖中小方格的邊長為1），則該幾何體的體積為（）
A．9 B．18 C．24 D．36
2
5．已知點
(a,4)
為拋物線
C:y?4ax(a?0)
上一點，則C的焦點到直線
l:2x?y?1?0
的距離
gm
試卷
為（）
A．
5
B．
35
5
C．
3
D．
2
6．2021年元旦期間，某高速公路收費站的四個高速收費口每天通過的小汽車數
X
i
(i?1,2,3,4)
（單
位：輛）均服從正態分布
N600,
?
2
，若
P
?
500?X
i
?700
?
?
??
1
(i?1,2,3,4)
，假設四個收費
3
口均能正常工作，則這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率為（）
A．
8
9
B．
8
27
C．
16
27
D．
65
81
7．已知角
?
?
A．
?4
9
?
的終邊經過點
(?2,4)
，則
3sin
2
?
?sin(
?
?
?
)cos
?
?
（）
4
B．
?2
C．3 D．9
8．方程
lg|x|?3?
?
|x|?2020
??
|x|?2022
?
的解的個數為（）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知函數
f(x)?3cos(
?
x?
?
)
（
A?0
，
?
?0
，
|
?
|?
點向右平移
?
2
）的圖象如圖，將
f(x)
的圖象上各
?
個單位長度后得到函數
g(x)
的圖象，則（）
6
A．
g(x)
在區間
?
?
?
??
?
,
?
上單調遞增
64
??
B．
g(x)
的圖象的最小正周期為
?
2
C．
g(x)
的圖象關于點
?
?
?
?
,0
?
對稱
3
??
D．
g(x)
的圖象關于直線
x?
?
對稱
22
10．已知圓
C:x?y?2x?0
與直線
l:mx?y?2m?0(m?0)
，過l上任意一點P向圓C引切
線，切點為A，B，若線段
AB
長度的最小值為
3
，則實數m的值為（）
gm
試卷
A．
3
2
B．
22
3
C．
33
4
D．
25
5
11．已知偶函數
f(x)
在
(??,0)
上單調遞減，若
a?fe
0,6
，
b?f(ln2)
，
c?flog
0,5
e
，則
a，b，c的大小關系是（）（參考數據：
2?1.414
，
e?2.71828
）
A．
a?b?c
B．
b?c?a
C．
c?b?a
D．
b?a?c
??
??
x
2
y
2
2222
12．已知雙曲線
C
1
:
2
?
2
?1
（
a?0
，
b?0
），圓
C
2
:(x?b)?(y?a)?ab
．下列判斷正
ab
確的是（）
A．點
C
2
在雙曲線
C
1
上
B．若雙曲線
C
1
的焦距為4，則圓
C
2
的半徑大于2
C．雙曲線
C
1
的頂點與點
C
2
構成的三角形的面積為
ab
D．若圓
C
2
與x軸和雙曲線
C
1
的過第一象限的漸近線都相切，則雙曲線
C
1
的離心率為2
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知菱形
ABCD
的邊長為2，E是
BC
的中點，則
AE?ED?
__________．
2
??
14．
?
3
x?
．
?
的展開式中的常數項為__________（用數字作答）
x
??
15．已知銳角
△ABC
的面積為9，
AB?AC
，點D在邊
AC
上，且
CD?2DA?10
，則
BD
的
長為__________．
16．已知正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的各條棱長均為1，則以點A為球心、1為半徑的球與正三棱柱各
個面的交線的長度之和為__________．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個
試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（本小題滿分12分）
2
已知數列
?
a
n
?
的前n項和為
S
n
，且
2S
n
?n?3n
，
10
（1）求
?
a
n
?
的通項公式；
?
1
?
（2）若
b
n
?
??
?
4
?
n?2
?a
n
，求數列
?
b
n
?
的前n項和
T
n
．
18．（本小題滿分12分）
gm
試卷
已知正方形
ABCD
的面積為36，如圖，
PA?
平面
ABCD
，
BE?2EC
，
3DF?DP
，
PD
與
底面
ABCD
所成角的正切值為
1
．
2
（1）求證：
EF∥
平面
PAB
；
（2）求二面角
A?EF?B
的余弦值．
19．（本小題滿分12分）
為了解社區居民的業余活動，某社區對100名居民業余活動是參加文藝活動還是參加體育活動進行
問卷調查，數據如下表所示：
男性
女性
文藝活動
10
30
體育活動
40
20
（1）是否有99.9%的把握認為參加文藝活動還是體育活動與性別有關？
（2）用頻率估計概率，從社區全體居民中隨機抽取3人，記X是所抽3人中參加文藝活動的人數，
求隨機變量X的分布列與期望
E(X)
．
附：
P
?
K
2
?k
?
k
2
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
n(ad?bc)
2
K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
20．（本小題滿分12分）
x
2
y
2
1
已知橢圓
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的離心率為，以其左頂點、上頂點及左焦點為頂點的三角形
ab
2
的面積為
3
．
2
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于A，B兩點，且
OA?OB?0
，證明：存在定點P，使得點P到直線l的
距離為定值．
21．（本小題滿分12分）
已知函數
f(x)?lnx?2x?
1
．
?a
（a為常數）
x
gm
試卷
（1）若
f(x)
的極大值是3，求a的值；
（2）當
a?ln2
時，對任意
x?0
，
f(x)?
k1
?x?(k?Z)
恒成立，求整數k的最小值．
e
x
x
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題
計分．
22．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程
?
3
x?3?t
?
?
2
（t為參數）在平面直角坐標系
xOy
中，直線l的參數方程為：
?
，以坐標原點O為極
?
y?
1
t
?
?2
2
點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
?
sin
?
?4cos
?
?0
．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）已知
P
0
(3,0)
，直線l與曲線C交于
P
1
，
P
2
兩點．求
P
0
P
1
?P
0
P
2
的值．
23．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
y
?1
．
4
（1）若
|7?y|?2x?3
，求x的取值范圍；
設實數x，y滿足
x?
（2）若
x?0
，
y?0
，求證：
xy?xy
．
涇縣中學2021~022高三年級質量檢測卷·數學（理科）
參考答案、提示及評分細則
1．B由題意得
A?
?
x?
?
?
1?
?x?3
?
，
B?
?
xx?1
?
，所以
A?
?
R
B
?
?
?
x1?x?3
?
．故選B．
2
?
1?i?i
2
?i
3
?i
4
??i
2021
?i
2022
i11
???i
，所以2．C因為
1?i?i?i?0
，所以
z?
1?i1?i22
23
2
?
1
??
1
?
．故選C．
|z|?
??
?
??
?
222
????
3．D因為對
?x?(0,
?
)
，
sinx?0
，故p為假命題，因為
y?log
2
x
在
(0,??)
上單調遞增，所以
22
log
2
x?log
2
1?0
，當
x?1
時，故q為真命題，所以
p?q
、
p??q
、
?(p?q)
為假命題，
?p?q
為真命題．故選D．
4．B依題意，該幾何體是正方體中的一個三棱錐
D?ABC
，如圖，
gm
試卷
由已知得三棱錐
D?ABC
的底面
ABC
的面積為
為
?9?6?18
．故選B．
22
5．A由題意，得
16?4a(a?0)
，所以
a??2
，故C的方程為
y??8x
，故其焦點F的坐標為
1
?6?3?9
，高
BD?6
，所以該幾何體的體積
2
1
3
(?2,0)
，所以F到直線l的距離
d?
|2?(?2)?0?1|
?5
．故選A．
5
6．D根據正態曲線的對稱性，每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率
P
?
X
i
?700
?
?
11
?
1
?
1
1?P500?X?700?
??
??
?
?
1?
?
?(i?1,2,3,4)
，所以這四個收費口每天
i
?
22
?
3
?
3
4
?
1
?
65
至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率
p?1?
?
1?
?
?
．故選D．
?
3
?
81
7．C因為角
?
?
9
?
1
?
9
??
?
的終邊經過點
(?2,4)
，所以
tan
?
?
?
?
?
??2
．即
tan
?
?
?
?
?
??2
，即
4
?
4
?
4
??
tan
?
?1
??2
，解得
tan
?
?3
，所以
3sin
2
?
?sin(
?
?
?
)cos
?
?3sin
2
?
?sin
?
cos
?
1?tan
?
3sin
2
?
?sin
?
cos
?
3tan
2
?
?tan
?
3?9?3
????3
．故選C．
222
sin
?
?cos
?
tan
?
?19?1
8．C方程
lg|x|?3?
?
|x|?2020
??
|x|?2022
?
解的個數等價于函數
y?lg|x|
的圖象與函數
畫出它們的圖象，易得其公共點的個數為6．故
y?3?
?
|x|?2020
??
|x|?2022
?
的圖象交點個數，
選C．
9．A依題意函數
f(x)
的圖象的最小正周期為
4
?
?
??
?
?
?
?
?
，所以
?
?2
，所以
312
??
?
?
?
?
??
2
?
?
?
?
?
?0
，因為
|
?
|?
，所以
?
??
，所以
f(x)?3cos(2x?
?
)
．由
f
??
?0
得
cos
?
26
?
3
?
?
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f(x)?3cos
?
2x?
?
，由題意，得
g(x)?3cos
?
2
?
x?
?
?
?
?3cos
?
2x?
?
?3sin2x
，
6
?
6
?
6
?
2
?
?
?
?
?
故A正確，B、C、D錯誤．故選A．
gm
試卷
22
10．D圓
C:(x?1)?y?1
，設
?ACP?
?
?
0?
?
?
?
?
?
?
則
|AB|?2sin
?
，因為
|AB|
min
?3
，
?
，
2
?
所以
(sin
?
)
min
?
3
?
??
1
1
，又
0?
?
?
，所以
?
?
?
，又
|CP|?
，所以
|CP|
min
??2
，
?
2
232cos
?
cos
3
25
．故選D．
5
即
|m?2m|
m
2
?1
?2
，又
m?0
，所以
m?
11．B根據偶函數性質，
f(x)
在
(0,??)
上單調遞增，
c?f
?
log
0.5
e
?
?f
?
?log
2
e
?
?f
?
log
2
e
?
，
0?ln2?lne?1
，
e
0.6
?1
，
log
2
e?1
，又
log
2
e?log
2
22?
3
3
?
9
?
0.6
，
e?e?
??
?
，故
2
2
?
4
?
1
2
1
2
ln2?log
2
e?e
0.6
，故
f(ln2)?f
?
log
0.5
e
?
?fe
0.6
，即
b?c?a
，故選B．
??
b
2
a
2
12．D對于A，由已知得點
C
2
(b,a)
，代入雙曲線得
2
?
2
?1
，不恒成立，故A錯誤；對于B，
ab
因為若雙曲線
C
1
的焦距為4，所以
a
2
?b
2
?4
，所以
ab?2
，當且僅當
a?b?2
時取等號，即
圓
C
2
的半徑不超過2，故B錯誤；對于C，由已知可得
C
1
的頂點與點
C
2
構成的三角形的面積為
x
2
y
2
1
2
?2a?a?a
，故C錯誤；對于D，雙曲線
2
?
2
?1
（
a?0
，
b?0
）的過第一象限的漸近
ab
2
線方程為
bx?ay?0
，所以
b
2
?a
2
a
2
?b
2
?ab
，因為
a
2
?b
2
?c
2
，所以
b
2
?a
2
?abc
，由圓與x
1
，所以雙曲線的離心率
3
軸相切可得
a?ab
，即
b?1
，所以
1?a
2
?ac
且
a
2
?1?c
2
，解得
a
2
?
b
2
e?1?
2
?1?3?2
．所以D正確．
a
1111
BC?AB?AD
，
ED?EC?CD?BC?BA??AB?AD
,
2222
22
11
因為菱形
ABCD
的邊長為2．所以
AE?ED?AD?AB??2
2
?2
2
??3
．
44
13．
?3
依題意
AE?AB?
14．3360
T
r?1
?C
10
?
r
?
x
?
3
10?r
20?5r
20?5r
?
2
?
rr
6
?
?
??(?2)?C?x
，令
?0
得
r?4
，所以展開式
10
?
6
x
??
r
gm
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