圓的知識點總結(jié)(史上最全的)

2024年3月23日發(fā)(作者：最好的生活)

圓的總結(jié)

集合：

圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；

圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；

圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合

軌跡：

1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；

2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；

3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線

點與圓的位置關(guān)系:

點在圓內(nèi) d

A

d

點在圓上 d=r 點B在圓上

r

O

點在此圓外 d>r 點A在圓外

B

d

直線與圓的位置關(guān)系:

C

直線與圓相離 d>r 無交點

直線與圓相切 d=r 有一個交點

d=r

直線與圓相交 d

r

d

r

d

圓與圓的位置關(guān)系:

d

外離（圖1） 無交點 d>R+r

d

r

r

R

外切（圖2） 有一個交點 d=R+r

R

相交（圖3） 有兩個交點 R-r

內(nèi)切（圖4） 有一個交點 d=R-r

圖4

內(nèi)含（圖5） 無交點 d

圖5

d

d

d

r

r

R

R

Rr

圖1

圖2

圖3

垂徑定理:

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：

①AB是直徑 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤

BC?BDAC?AD

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD

..

A

D

C

O

O

E

B

A

C

圓心角定理

B

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對

的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等

此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只

要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個

結(jié)論也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE

③OC=OF ④

BA?ED

圓周角定理

圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半

即：∵∠AOB和∠ACB是 所對的圓心角和圓周角

∴∠AOB=2∠ACB

D

E

F

O

D

A

C

B

C

B

O

A

圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對的圓周角

∴∠C=∠D

B

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑

即：在⊙O中，∵AB是直徑 或∵∠C=90°

∴∠C=90° ∴AB是直徑

B

C

推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角

形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

BA

O

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線

等于斜邊的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夾弧所對的圓周角

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。

即：∵M(jìn)N是切線，AB是弦

∴∠BAM=∠BCA

圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。

即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°

∠DAE=∠C

切線的性質(zhì)與判定定理

（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線

C

D

C

O

A

C

O

A

O

B

N

AM

C

D

B

A

E

..