我們都知道角采用的是60進制

2024年3月29日發(作者：金政權)

我們都知道角采用的是60進制，但是我們數學中的數字都采用的十進制，由于進制

不同，造成計算的困難，因此很有必要引入弧度制。弧度制使用圓的半徑來度量角，由于

半徑具有一定的長度，就可以與實數相對應。規定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫

做1弧度的角，這樣規定出來的角就是確定的。這樣規定以后，為以后學習的三角函數作

了準備，比如正弦函數y=sinx，它的定義域就是全體實數，它的圖像可以在直角坐標系中

表示出來。

弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然后用對應的弧長與圓半徑

之比來度量角度，這一思想的雛型起源于印度。印度著名數學家阿利耶毗陀［476？-550？］

定圓周長為21600分，相度地定圓半徑為3438分［即取圓周率π3.142］，但阿利耶毗陀

沒有明確提出弧度制這個概念。嚴格的弧度概念是由瑞士數學家歐拉［1707-1783］于1748

年引入。歐拉與阿利耶毗陀不同，先定半徑為1個單位，那么半圓的弧長為π，此時的正

弦值為0，就記為sinπ= 0，同理，1/4圓周的弧長為π/2，此時的正弦為1，記為sin(π/2)=1。

從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對的中心角。其它的角也可依此類推。

弧度制的精髓就在于統一了度量弧與半徑的單位，從而大大簡化了有關公式及運算，

尤其在高等數學中，其優點就格外明顯。

關于弧度的一些問題

懸賞分：5 - 解決時間：2008-4-26 01:44

1.解釋一下弧度的概念..

2.弧度的公式是否和角度一樣?

比如說: tanX(弧度)等不等于sinX/cosX(都是弧度)

是不是都一樣呢

3.表示弧度的時候用那種形式呢: arctan(...) tan(-1)(....) -1為角標

謝謝大家

問題補充：我做的一道題

給的弧度沒有給多少多少 π 的 只給了一個小數

...那怎么算啊

提問者： smalllab - 試用期 一級

最佳答案

請仔細閱讀我的回答，絕對新穎，有點深刻。

1:弧度的概念

下面從角度的概念談及弧度。

(1)在角度制中，將圓分為360等份，每份對應1度。一般這樣理解：分成360個相

等的扇形，每個扇形的圓心角稱為1度。(1*)或者說，將以圓心為頂點的一個始邊和終邊

相差一整圈(環繞了一周)的角分為360份，然后其中一份稱為1度。

基于此容易得到:扇形面積=圓面積*扇心角度數/360.事實上這種角度理解是基于面積

的。(2)事實上，你有沒有想過，這時圓周也分成了360等份了呢？這360份圓弧中的每

一份其實也和1度的角對應的啊。此時要真正理解角度，你要想：角度，就是那個彎彎的

弧所投向的一個東西，而不要再局限于圓心，始邊終邊什么的。

此時扇形上的弧長=圓周長*扇心角度數/360.

(3)弧度，就是用圓弧與角的對應關系來定義角的大小，只是將圓分成了2pi等份，噫，

每一份弧的長度等于多少？哦，圓的周長/2pi，那不就是半徑嘛！你可以想象，一個點順

著圓周彎彎地移動，移動的長度等于半徑，這時它相望的角是1個弧度。

于是在單位圓(半徑為1個單位長度的圓)中，長度為1的弧所對應的角度不是1弧度。

定義：弧長為半徑的弧所對的圓心角稱之為1弧度。即:弧長與半徑的比值即是弧度數。

或者說，角的大小用相應的圓弧相對于半徑的大小來量度，

甚至可以這樣"特殊"理解:角具有和半徑一樣的長度單位，而弧度的符號rad不過是表

明"用與弧相望的東西來代表角"這樣一個對應的標記罷了。更進一步引入了負角，于是角

度和半徑一樣，和實數一一對應了，這樣對我們研究數學就方便多了。提示：復數呢？

2.弧度的公式是否和角度一樣?

tanX(弧度)等不等于sinX/cosX(都是弧度)? 相等。是同一個函數。

角度制與弧度制公式的關系：

(0)弧度數=角度數*單位圓每度所對應的弧長的數值=角度數*(單位圓周長數值

/360)=角度數*(2pi/360)

如：(a)扇形面積s=圓面積*角度數/360=pi*rr*角度數/360=0.5rr*角度數

*(2pi/360)=0.5rr*弧度數,

也可視扇形為以r為高度,以弧長(b式)為底的曲邊三角形，直接由三角形面積公式計

算：s=0.5*r*r*弧度數

(b)弧長l=角度數*每度所對應的圓弧長=角度數*圓周長/360=2pi*r*角度數/360=r*

角度數*(2pi/360)=r*弧度數，

也可直接由弧度定義得此式。

簡單地說,s=0.5弧度數*r^2,l=弧度數*r.

高等數學中大部分時候應用弧度制。如果要用角度制，用以上公式(0)可以轉換。

31.表示弧度的時候用那種形式呢: arctan(...) tan(-1)(....) -1為上角標

32問題補充：我做的一道題，給的弧度沒有給多少多少π的,只給了一個小數...那怎么

算啊

參見以上2(c)，也以保證前后單位統一，也可以轉換，轉換要加上單位(度，還是弧度

(rad)).一般rad可省略。

arctan tan(-1)(-1為上角標) 舊作arctg,tg(-1)，反正切函數符號。

32答：給出的是小數，是省略了弧度單位。基于以上對弧度的理解可見，弧度可以是

任一實數，不一定要是多少個pi.

用Windows計算器，在角表示模式"角度 弧度 梯度"中選擇相應選項，計算值可以

達到32位小數值。

另外，手工計算也是有辦法的，利用級數，如arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…，

用它的部分和，當然還要考慮又快又準，暫不提。

注：

(1*)就是360度=周角=2平角=4直角=2pi弧度，為了便于理解才那樣說。另個，注

意不要與"圓周角(頂點在圓周上的角)"混淆。

我們分析一下角度制下度量角的方法，不難看出，在用角度表示的時候，我們總是十

進制、十六進制并用的。例如角α＝66°32′2"，其中66、32、2都是十進制，而度、分秒

之間的關系是六十進（退）位的。于是，為了找出與角對應的實數（我們學的實數都是十

進數），要經過一番計算，這就不太方便了。但在用弧度表示角的時候，我們只用十進制，

所以容易找出與角對應的實數。當然，教科書還指出，弧度制下的弧長公式l＝|α|γ，比角

度制下的弧長公式具有更為簡單的形式。同樣，如果已知圓心角等于α弧度，那么用弧度

制下的扇形面積公式求扇形面積，也比用角度制下的公式更為簡單。