應(yīng)用統(tǒng)計概念

2023年12月29日發(fā)(作者：北宋年號)

▲統(tǒng)計學(xué)是在質(zhì)與量的辯證統(tǒng)一中，通過大量觀察和平均方法，對客觀總合現(xiàn)象的數(shù)量特征進(jìn)行研究的方法論科學(xué)。

是研究怎樣搜集、整理、描述、分析、傳送、發(fā)布、存儲客觀總和現(xiàn)象綜合數(shù)量特征的科學(xué)。通過對事物數(shù)量變化程度、方向、趨勢的研究，可以掌握其變化規(guī)律，從而提高決策的科學(xué)性。

統(tǒng)計資料：反映一定時間、空間條件下客觀總和現(xiàn)象數(shù)量特征的數(shù)據(jù)型資料（numerical data）。統(tǒng)計數(shù)據(jù)的特點：數(shù)量性(可以量化)、總合性（顯示共性）、客觀性（計劃數(shù)、預(yù)測數(shù)不是統(tǒng)計資料）、具體性（有特定的時間、空間、計量單位）

▲統(tǒng)計研究的基本方法是大量觀察法和平均法。

大量觀察法：大量觀察可以消除個體之間的差異，揭示事物的數(shù)量變化規(guī)律。數(shù)量依據(jù)：

平均法：是統(tǒng)計學(xué)的基本分析方法，總體的同質(zhì)性、變異性和大量性是平均法的應(yīng)用前提。

通過對平均數(shù)的觀察，分析個別與一般、必然與偶然、隨機(jī)與確定現(xiàn)象的區(qū)別與聯(lián)系。

▲統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容包括描述統(tǒng)計學(xué)和推斷統(tǒng)計學(xué)。

▲總體：作為大量觀察的實施對象的同質(zhì)個體集團(tuán)。

特征：同質(zhì)性、變異性、大量性。

▲總體單位：構(gòu)成總體的個體。

▲樣本：總體中被觀察的總體單位。

▲變量：反映總體單位屬性或特征的名稱。

— 品質(zhì)型變量(qualitative Variable /attribute)：用文字表示的標(biāo)志。

— 數(shù)量型變量(quantitative Variable /attribute)：用數(shù)值表現(xiàn)的標(biāo)志。

數(shù)量型變量的種類：離散型變量、連續(xù)型變量

▲指標(biāo)：說明客觀總合現(xiàn)象數(shù)量特征的范疇

指標(biāo)的特征：可量性：指標(biāo)一定能用數(shù)值表示。總體性：說明總體數(shù)量特征的范疇

具體性：與數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)值不同。科學(xué)性、可銜接性：

標(biāo)志和指標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系：

區(qū)別：1.標(biāo)志說明總體單位特征， 指標(biāo)說明總體的特征。

2.標(biāo)志既有文字型的也有數(shù)值型的，指標(biāo)只能是數(shù)值型的。

聯(lián)系：指標(biāo)可以由數(shù)量標(biāo)志匯總而來。

▲標(biāo)志：表示總體單位屬性的名詞。

表現(xiàn)為數(shù)量上不等的為數(shù)量標(biāo)志，表現(xiàn)為狀態(tài)上差異的為品質(zhì)標(biāo)志。

統(tǒng)計數(shù)據(jù)的類別

▲ 原始數(shù)據(jù)：又稱初級數(shù)據(jù)、第一手?jǐn)?shù)據(jù)。指直接從被調(diào)查單位采集的、尚待匯總整理、需要由個體過渡到總體的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。對原始數(shù)據(jù)的采集稱為統(tǒng)計調(diào)查。

▲ 次級數(shù)據(jù)：又稱間接數(shù)據(jù)、第二手?jǐn)?shù)據(jù)。指已經(jīng)經(jīng)過加工整理、由個體過渡到總體，能夠在一定程度上說明總體數(shù)量特征的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。便于取得，但可靠性差。

統(tǒng)計調(diào)查方式

▲普查：專門組織的、一次性的全面調(diào)查 。主要用于搜集某一時點狀態(tài)上的社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總量，為國家制定相關(guān)經(jīng)濟(jì)政策或措施提供數(shù)量依據(jù)。

普查的特點：需要規(guī)定統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)時間，以避免數(shù)據(jù)的重復(fù)和遺漏。

數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確、細(xì)致、全面，標(biāo)準(zhǔn)化程度較高

調(diào)查單位多，涉及面廣，人、物、財力耗費大

調(diào)查項目不宜太多

▲抽樣調(diào)查：從調(diào)查對象中抽取部分單位作為樣本進(jìn)行觀察，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體數(shù)量特征做出具有一定可靠程度的估計。

抽樣調(diào)查的兩種類型：隨機(jī)抽樣、非隨機(jī)抽樣

隨機(jī)抽樣調(diào)查：按隨機(jī)原則抽取樣本的方法。

隨機(jī)原則，指每個總體單位有同等的被抽中的可能性。

▲重點調(diào)查：在應(yīng)該調(diào)查的全部對象中，選擇部分重點單位進(jìn)行的非全面調(diào)查。

重點單位指量別標(biāo)志值在全部調(diào)查對象中所占比重較大的單位。

▲統(tǒng)計報表調(diào)查：有定期、不定期，全面、非全面等多種形式，是中國特色的一種搜集資料的方式。

最常用的全面調(diào)查是統(tǒng)計報表，最常用的非全面調(diào)查為抽樣調(diào)查。

▲統(tǒng)計調(diào)查方案的設(shè)計內(nèi)容：

1．確定調(diào)查目的和對象

2．確定調(diào)查單位和報告單位

3．確定調(diào)查項目（標(biāo)志）和調(diào)查表

4．確定調(diào)查時間和地點

5．確定調(diào)查方式和方法

6．確定調(diào)查的組織方式

撰寫統(tǒng)計調(diào)查方案首先必須明確的是調(diào)查目的

▲問卷和調(diào)查表是調(diào)查者根據(jù)調(diào)查目的和調(diào)查要求而設(shè)計的搜集數(shù)據(jù)的工具。

▲統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理的程序：①對資料的完整性、準(zhǔn)確性審核②統(tǒng)計分組③匯總數(shù)據(jù)④列出統(tǒng)計表

統(tǒng)計分組：根據(jù)研究目的，結(jié)合具體情況，選擇本質(zhì)性的標(biāo)志或主要標(biāo)志作為分組的依據(jù)。

原則：窮盡、互斥

依據(jù)標(biāo)志的性質(zhì)不同：

質(zhì)別分組：按照客觀事物的某種屬性加以分組

量別分組：按總體單位的變量總體單位的變量（分為單項式分組和組距式分組）

最適用于反映質(zhì)別數(shù)據(jù)的圖形有條形圖和餅圖。

最適用于反映量別數(shù)據(jù)分布特征的圖形有直方圖、莖葉圖、箱索圖

▲組距式分組步驟：1、 確定組數(shù)：n = 1+3.322㏒N

2、計算全距、組距

全距=最大標(biāo)志值- 最小標(biāo)志值

組距=全距/組數(shù)( 取5、10的倍數(shù) )

3、組限：上限不在組內(nèi)

組中值=(上限+下限)/2

▲時間數(shù)列：按時間順序?qū)⑼恢笜?biāo)在不同時間的數(shù)值進(jìn)行排列的結(jié)果

▲截面數(shù)列：對同一時期總體中各單位的，某以標(biāo)志表現(xiàn)進(jìn)行整理的結(jié)果。

兩個要素：數(shù)據(jù)分組后的標(biāo)志表現(xiàn)、各組的頻數(shù)

集中趨勢指標(biāo)

1、 算術(shù)平均數(shù)：一變量數(shù)列中觀察值之和除以數(shù)列的項數(shù)所得之商。

簡單算術(shù)平均數(shù)

x

?x?x????x?x/n12n

xff加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

x?x1f1?x2f2???xnfn??xf1?f2????fnff

n簡單調(diào)和平均數(shù)

xh?1

x

2、中位數(shù)：將變量數(shù)列的各觀察值按自小到大的順序排列，處于中間位置的數(shù)值。

n為奇數(shù)，中位數(shù)位置 = (n+1)/2

n為偶數(shù)，n/2項與n/2+1項的平均值

組距式頻數(shù)分布中位數(shù)確定：

f?Fmd?12

md?lmd?*imdfmd

???????中位數(shù)=中位數(shù)組下限+[（各組頻數(shù)之和/2﹣中位數(shù)組前一組的累計頻數(shù)）/中位數(shù)組的頻數(shù)]*組距

平均數(shù)與中位數(shù)的比較：平均數(shù)全面，但不穩(wěn)健，易受變量值波動影響，有時用變通平均數(shù)（切尾均值）消除極值（奇異值）影響。中位數(shù)最公允，由位次確定的量數(shù)，不受異常值影響，抗干擾性較強(qiáng)。

3、 眾數(shù)：數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。

n?14、 四分位數(shù)：

Q1?

4

2(n?1)Q2?

4

3(n?1)Q3?

4離散趨勢指標(biāo)

1、全距=最大值-最小值

x?x2、平均絕對差

M.A.D?n

x?xf

or?

f3、方差：變量數(shù)列所有觀察值的離差二次冪的平均數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根。

22

f?x?????fx???22??????

?ff

2fx2?2fx2???

????ff

22

fx?x?fx?x2S?S?

S??f?1f?1

???????????f?fx??(f?1??f??22?x)2??f(?fx?f?1?f?x)2

4、標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)：表明一個觀察值比其平均數(shù)高出（或低出）幾個標(biāo)準(zhǔn)差。

x?xz?

?

5、變異系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差對平均數(shù)的比值

S?

V? 或V=

?x

集中趨勢指標(biāo)與離中趨勢指標(biāo)的關(guān)系

離散程度指標(biāo)大，說明總體分散或者說總體中各標(biāo)志值離集中趨勢指標(biāo)遠(yuǎn)，那么集中趨勢指標(biāo)代表性就小。

離散程度指標(biāo)小，說明總體集中或者說總體中各標(biāo)志值離集中趨勢指標(biāo)近，那么集中趨勢指標(biāo)代表性就大。

▲偏態(tài)：指分布不對稱的方向和程度

x?m0皮爾遜偏斜系數(shù):S?K

? ※

(x?x)3?偏斜系數(shù):??

n?3

▲峰度：指分布集中趨勢高峰的形狀。一組數(shù)據(jù)在眾數(shù)周圍的集中程度很高，其分布圖形就會比較陡峭， 一組數(shù)據(jù)在眾數(shù)周圍的集中程低，其分布比較平坦。

(x?x)4峰度系數(shù)

??n?4

??正態(tài)分布：

?= 3 ，尖頂分布：

?> 3，平頂分布：? < 3

▲抽樣調(diào)查的優(yōu)越性和必要性：經(jīng)濟(jì)性、時效性、必須性、靈活性、科學(xué)性

樣本的代表性：樣本容量足夠多、取樣合理

抽樣誤差：指隨機(jī)抽取限于總體中的一部分樣本中的一部分樣本而引起的誤差，是可控誤差。

非抽樣誤差：是指在調(diào)查過程中出現(xiàn)的所有人為的差錯。

又稱偏差或系統(tǒng)誤差，人為因素、測量工具等等所致。

▲ 簡單隨機(jī)抽樣：如果是按照總體中每一個單位都具有同等的互相獨立地位被選中機(jī)會的方式進(jìn)行抽樣，則稱為簡單隨機(jī)抽樣。

▲ 系統(tǒng)抽樣：又叫等距抽樣，機(jī)械抽樣。在總體單位按某一標(biāo)志排列的前提下，依固定的

間隔抽取樣本。抽樣間距 K=N/n

▲ 分層抽樣：根據(jù)對總體的了解將其分成若干組 ——稱為層，使同一層內(nèi)元素差異較少，

不同層之間的差異較大，從每層中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，每層所抽取單位個數(shù)按各層單位數(shù)量的總體容量中的比例進(jìn)行分配。

▲ 聚點抽樣：（整群抽樣）把總體分成若干群，使群內(nèi)各單位的差異與總體各單位的差異

相似，群與群之間差異盡量小，根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣從中抽取一群或幾群，對被抽中的群內(nèi)的所有的單位進(jìn)行全面調(diào)查

▲ 多步抽樣：分兩步或多步抽選樣本的抽樣。

▲ 參數(shù)：反映總體分布特征的指標(biāo)

▲ 統(tǒng)計量：反映樣本分布特征的指標(biāo)

▲ 正態(tài)分布再生定理

設(shè)

1

,

2

n是一組隨機(jī)變量，如果它們相互獨立，而且都服從正態(tài)分布N(?,?)；那xx?x?么

x 服從正態(tài)分布

N(n?,n?)

?? 放回抽樣?n

???N?nx

? 不 放回抽樣?N?1n?N?nn?1

當(dāng)N?20n或?0.05,放回抽樣與不放回抽樣誤相差不大,?N?1N??▲ 中心極限定理

設(shè)

x

1,

x

2

?

x

n是一組隨機(jī)變量，如果它們相互獨立，而且服從相同分布；期望

E

(

x

)

?

? ，方?x

~差V

(

x

)

?

?

2

?

0 ，當(dāng)n無限大時，

N

(

?

,

) 或

x~N(n?,n?)n

▲ n>30，大樣本

▲ 小樣本分布定理（t分布）

?x??

s?t?sn??x?x?n?12??(x?x)f?f?12

▲ 比率 P 的抽樣分布

當(dāng)n??5，n(1??)?5時，p 服從正態(tài)分布

E?p???，?p?

?(1??)nor?(1??)N?nn(N?1)

?：指用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量。 ▲估計量?估計值：指用來估計總體參數(shù)時計算出來的估計量的具體數(shù)值。

如果用估計量的單一值作為總體參數(shù)的估計值，這種估計便稱為點估計。

如果使用估計量的一個取值范圍作為總體參數(shù)的估計，那么便稱為區(qū)間估計。

點估計的缺點：沒有提供樣本統(tǒng)計量接近總體參數(shù)的信息。

▲估計量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)

?)?? 1、 無偏性：樣本統(tǒng)計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)E(?2、 有效性：各估計量中，方差最小者更有效，前提是都是無偏估計。

?????)?1。如果樣本容量增大時，估計量可以以3、 一致性：當(dāng)n趨于無窮時P(?較大的概率接近所要估計的總體參數(shù)，則稱其為一致估計量。

▲置信區(qū)間：有95%的把握認(rèn)為這個區(qū)間包含總體平均數(shù)。

區(qū)間估計的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)：置信系數(shù)越大越好；精確度隨機(jī)區(qū)間的平均長度越短越好

影響區(qū)間寬度的因素：觀察值的差異、樣本容量、置信水平

區(qū)間估計的公式：

平均數(shù)區(qū)間估計（大樣本）：x?Z?x

平均數(shù)區(qū)間估計（小樣本）：x?tn?1,?有限總體，無退還抽樣：

兩平均數(shù)之間差異的區(qū)間估計（大樣本）：(x1?x2)?Z比率的區(qū)間估計：p?Z?p

兩個比率之間差異的區(qū)間估計（大樣本）：(p1?p2)?Z*s

n?12n1?2?2n2（常考，P175例題5.5）

p1(1?p1)p2(1?p2)

?n1n2▲e：最大允許抽樣誤差，e越小，區(qū)間估計越精確。x???e，e?Z?x?Z?n

Z2?2平均數(shù)區(qū)間估計的必要樣本容量：n?

2e有限總體或是無限總體的不放回抽樣,求樣本容量應(yīng)進(jìn)行有限總體校正：

e?Z?n?2N?n，n?2

e?2N?1?z2NZ2P?1?P?Z2比率區(qū)間估計的必要樣本容量：n?，n?2（常考， P181）

e24e

▲一對假設(shè)稱為零假設(shè)和備擇假設(shè)

零假設(shè)是決策者有意推翻的假設(shè)，包含等號。

顯著性水平?：能夠抽到樣本統(tǒng)計量的取值在拒絕域中的概率。

假設(shè)檢驗的步驟：①表述零假設(shè)和備擇假設(shè)；②確定合適的檢驗統(tǒng)計量及相應(yīng)的抽樣分布；③確定拒絕域或接受域；④進(jìn)行一次實際抽樣，計算有關(guān)統(tǒng)計量的值；⑤進(jìn)行統(tǒng)計決策并得出結(jié)論

Ⅰ型錯誤：棄真；Ⅱ型錯誤：取偽

假設(shè)檢驗有雙尾檢驗和單尾檢驗兩種類型。

▲P值檢驗法（一般考概念，不考計算）

P值是H0視為真時，樣本統(tǒng)計量在以其觀察值為端點的某極端值區(qū)域內(nèi)取值的概率。

右單尾檢驗P值=P(Z?x0??0?)

n) 左單尾檢驗P值=P(Z?x0??0?n) 雙尾檢驗P值=2P(Z?x0??0?n若??P,接受H0,x0必在接受域；若??P,拒絕H0,x0必在拒絕域

P值是假設(shè)檢驗中可以導(dǎo)致拒絕原假設(shè)的最小?值，P越小，就越容易拒絕H0，P越大，就越不容易拒絕H0。

▲平均數(shù)假設(shè)檢驗（大樣本）z=x???

n▲平均數(shù)假設(shè)檢驗（小樣本）t?X??Sn，自由度為n-1的t分布。

單尾，顯著性水平?置于t分布曲線的一側(cè)時，按2?查找檢驗臨界值。

▲ 比率的假設(shè)檢驗，只考慮大樣本情況，把比率的抽樣分布視為正態(tài)分布。

▲ 雙樣本：

兩平均數(shù)間差異的假設(shè)檢驗（配對樣本）

兩總體平均數(shù)差異的檢驗（獨立樣本）

兩總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或大樣本的情況（常考，P220）

?(x1?x2)?(?1??2)Z2

??12???2??????

nn1??2??

▲ 方差分析：檢驗多個總體均值是否相等的統(tǒng)計方法，稱為方差分析

單因素方差分析

▲ 散點圖：兩變量間直線型的協(xié)變關(guān)系，或為正向直線關(guān)系，或為負(fù)向直線關(guān)系。

▲ 協(xié)方差：Cov(x.y)??(x?x)(y?y)

nCov(x.y)>0，x,y呈正直線協(xié)變關(guān)系

Cov(x.y)=0，x,y沒有協(xié)變關(guān)系

Cov(x.y)<0，x,y呈負(fù)直線協(xié)變關(guān)系

相關(guān)系數(shù)（評價標(biāo)準(zhǔn)，不考計算）

r?n?xy??x?y?n?x?(?x)??n?y?(?y)?2222

r?1,完全線性相關(guān)

r?0.8,高度相關(guān)

0.5?r?0.8,顯著相關(guān)

0.3?r?0.5,低度相關(guān)

r?0.3,無相關(guān)

r?0,完全無線性關(guān)系

▲回歸方程

yc?a?bxb??(x?x)(y?y)?n?xy??x?y

n?x???x??(x?x)yx??a?y?bx??b222nn斜率b表示，當(dāng)自變量增加或減少一個單位時，因變量平均增加或減少的單位數(shù)。

估計標(biāo)準(zhǔn)誤：Syx???y?y?ic2n?2??e2n?2=?y2i?a?y?b?xy

in?2條件平均數(shù)的區(qū)間估計（必考P265）

?的置信區(qū)間:x?tn?1S

nSyn

Y的置信區(qū)間:y?tn?1YC(x0)的置信區(qū)間:yc(x0)?tn?2Sy.x1?n(x0?x)2

2(x)?2x??n影響條件平均數(shù)置信區(qū)間寬度的因素

置信系數(shù)；樣本容量的大小；yi的變異程度；給定的x0與x的距離

Y(x0)的預(yù)測區(qū)間:y(x0)?tn?2Sy.x11??n(x0?x)2（必考,P265）

2(x)?2x??n