增根（數學概念）

增根（數學概念）

增根 （數學概念） 次瀏覽 | 2022.09.19 13:53:40 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 增根數學概念

增根，是指方程求解后得到的不滿足題設條件的根。在分式方程化為整式方程的過程中，分式方程解的條件是使原方程分母不為零。若整式方程的根使最簡公分母為0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0）那么這個根叫做原分式方程的增根。一元二次方程與分式方程和其它產生多解的方程在一定題設條件下都可能有增根。

拆字解釋：

增：加多，添：增加。增多。增添。增益。增生（ａ．同“增殖”；ｂ．古代科舉制度中生員名目之一）。增產。增長（zhǎng ）。增援。增殖。增輝。增減。增刪。刪損減

中文名

增根

拼音

zeng gen

領域

數學

解釋

整式方程的根使最簡公分母為0

非函數

兩非函數方程增根

在兩非函數方程（如圓錐曲線）聯立求解的過程中，增根的出現主要表現在定義域的變化上。

例如：若已知橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O為原點坐標，A為橢圓右頂點，若橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的范圍。

存在一種解法：

橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，即是以OA為直徑畫圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程：

(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0

→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*）

因為有兩個根，所以△>0

∴△=(2b^2-a^2)>0

∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根號二）

而正解卻是

由（*）得 x1=a x2=a·b^2/c^2

∴0

∴（1/2）^(1/2)<1

然而問題出在，無論怎么取，只要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永遠都>0

于是我們取e=1/2

假設 a^2=4 b^2=3 c^2=1

即可得橢圓(x^2)/4+(y^2)/3=1···①

與圓x^2+y^2-2x=0···②

聯立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)

有十字相乘 x1=2 x2=6

顯然 此時 x2=6是增根

將x2=6 帶入①式 y^2= -24

將x2=6 帶入②式 y^2= -24

將x2=6 帶入(*)式 y^2=2x-x^2= -24

可知這里的的確確是產生了一個增根，而且在解題過程中不能通過任何方式排除，這說明多個非函數方程聯立求解時，方程本身無法限制x的取值。一般來說，直線與圓錐曲線的聯立并沒有出現過算出兩個解，還需要帶回去驗根的情況，大概是因為圓錐曲線不是函數，而直線是函數的原因。

不過值得注意的是：

①不是任何的兩個非函數方程聯立都會產生增根。例如圓不是函數，但求兩個圓的交點，不會產生增根。

②增根的產生和定義域有關系，但沒有絕對的關系。不能說聯立方程時，將x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中，①式定義域（-2，2） ②式定義域（0，2）大多數人是在②式中，用x表示y，寫成y=ax-x^2，再帶入①式，產生了增根。但是如果我們在①式中用x表示y，寫成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再帶入②式，我們依然會得到增根。

下面列出兩種必然會出現增根的一般式：

橢圓與拋物線增根

橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得

b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0

可知，若x1>0，則x2<0，出現原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。（另外我們還知道|x1|<|x2|）

雙曲線與拋物線增根

雙曲線(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得

b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0

可知，若x1>0，則x2<0，出現原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。（另外我們還知道|x1|>|x2|）

無理數

√ （2X^2+X-30）=X

解：兩邊平方得2X^2+X-30=X^2

得X^2+X-30=0

得X=5或X=-6（增根）

出現增根的原因是由于兩邊平方忽略了上式的X>0且根號內的值大于等于0。

由于同樣的粗心大意，錯誤還會在無理不等式中體現。

參考資料