雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

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課題:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

[教學(xué)目標(biāo)]:

掌握雙曲線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,并會根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教材通過具體實例類比橢圓的定義,引出雙曲線的定義,通過類比推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)我們類比推理的能力,激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生思考問

題、分析問題、解決問題的能力.

[教學(xué)重點]:雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用

[教學(xué)難點]:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

[授課類型]：新授課

[課時安排]：1課時

[教具]：多媒體、實物投影儀

[教學(xué)過程]:

(1)復(fù)習(xí)提問：

(由一位學(xué)生口答，教師利用多媒體投影)

問題1：橢圓的定義是什么？

問題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？

問題3：如果把上述橢圓定義中的“距離的和〞改為“距離的差〞，那么點的軌跡

會發(fā)生什么變化？它的方程又是怎樣的呢？

(2)探究新知:

(1)演示：引導(dǎo)學(xué)生用《幾何畫板》作出雙曲線的圖象，并利用課件進(jìn)行雙曲線的模擬

實驗，思考以下問題。

(2)設(shè)問：①|(zhì)MF1|與|MF2|哪個大？

②點M到F1與F2兩點的距離的差怎樣表示？

③||MF1|-|MF2||與|F1F2|有何關(guān)系？

〔請學(xué)生回答：應(yīng)小于|F1F2|且大于零，當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩

條射線；當(dāng)常數(shù)大于|F1F2|時，無軌跡〕

引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義：

定義:平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)〔小于<|F1F2|〕的點軌跡叫做

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雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。〔投影〕

概念中幾個關(guān)鍵詞：“平面內(nèi)〞、“距離的差的絕對值〞、“常數(shù)小于

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FF〞

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在我們可以用類似求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，請學(xué)生思考、回

憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)〔教師使用多媒體演

示〕

〔1〕建系

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。

(2)設(shè)點

設(shè)M〔x,y〕為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c〔c>0〕，那么F1〔－c，0〕、

F2〔c，0〕，又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a〔2a<2c〕.

〔3〕列式

由定義可知,雙曲線上點的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.

即:

〔4〕化簡方程

由一位學(xué)生板演，教師巡視。化簡，整理得：

移項兩邊平方得

兩邊再平方后整理得

由雙曲線定義知

這個方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的雙曲線的焦點在x軸上，焦點是F1〔-c，

0〕、F2〔c，0〕，

思考:雙曲線的焦點F1〔0,－c〕、F2〔0,c〕在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?

????,22

2

2

2aycxycx??????

????aycxycx22

2

2

2???????

??2

2

2ycxaacx?????

????22222222acayaxac????

)0,0(1

)0(,0,22

2

2

2

2

22222

????

????????

ba

b

y

a

x

bbacacacac

代入上式整理得

設(shè)即

y

Ox

M

F

1

F

2

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學(xué)生得到:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:)0(,1

2

2

2

2

????ba

b

x

a

y

.

注:

(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：

①雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：

焦點在

x

軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

(0?a,0?b)；

焦點在y軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1

2

2

2

2

??

b

x

a

y

(0?a,0?b)

②cba,,有關(guān)系式222bac??成立，且0,0,0???cba

其中a與b的大小關(guān)系:可以為bababa???,,

(2).焦點的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母2x、2y項

的分母的大小來確定，分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點所在的軸而雙曲線是根據(jù)

項的正負(fù)來判斷焦點所在的位置，即2x項的系數(shù)是正的，那么焦點在

x

軸上；2y項的系數(shù)

是正的，那么焦點在y軸上

例1雙曲線兩個焦點的坐標(biāo)為)0,5()0,5(

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FF，?，雙曲線上一點P到

21

FF，的距離之差的

絕對值等于8，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

解：因為雙曲線的焦點在

x

軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

(0?a,0?b)

∵102,82??ca∴5,4??ca∴1645222???b

所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1

169

22

??

yx

變式1:假設(shè)|PF1|-|PF2|=6呢？

變式2:假設(shè)||PF1|-|PF2||=8呢？

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變式3:假設(shè)||PF1|-|PF2||=10呢？

四.課堂小結(jié):

雙曲線的兩類標(biāo)準(zhǔn)方程是)0,0(1

2

2

2

2

????ba

b

y

a

x

焦點在

x

軸上，

)0,0(1

2

2

2

2

????ba

b

x

a

y

焦點在y軸上,cba,,有關(guān)系式222bac??成立，且

0,0,0???cba其中a與b的大小關(guān)系:可以為bababa???,,