閱讀材料

重慶中考材料閱讀題分類講練（含答案）

類型1代數型新定義問題

例1【2017·重慶A】對任意一個三位數n，如果n滿足各數位上的數字互不相同，

且都不為零，那么稱這個數為“相異數”．將一個“相異數”任意兩個數位上的

數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記

為F(n)．例如n＝123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的

數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213＋

321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6.

(1)計算：F(243)，F(617)；

(2)若s，t都是“相異數”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，

x，y都是正整數)，規定：k＝

F

()s

F

()t

.當F(s)＋F(t)＝18時，求k的最大值．

針對訓練

1．對于一個兩位正整數xy(0≤y≤x≤9，且x、y為正整數)，我們把十位上的數

與個位上的數的平方和叫做t的“平方和數”，把十位上的數與個位上的數的平

方差叫做t的“平方差數”．例如：對數62來說，62＋22＝40，62－22＝32，所以

40和32就分別是62的“平方和數”與“平方差數”．

(1)75的“平方和數”是________，5可以是________的“平方差數”；若一個數

的“平方和數”為10，它的“平方差數”為8，則這個數是________．

(2)求證：當x≤9，y≤8時，t的2倍減去t的“平方差數”再減去99所得結果

也是另一個數的“平方差數”．

(3)將數t的十位上的數與個位上的數交換得到數t′，若t與t的“平方和數”

之和等于t′與t′的“平方差數”之和，求t.

2．將一個三位正整數n各數位上的數字重新排列后(含n本身)．得到新三位數

abc(a＜c)，在所有重新排列中，當

||a＋c－2b

最小時，我們稱abc是n的“調和

優選數”，并規定F(n)＝b2－ac.例如215可以重新排列為125、152、215，因為

||1＋5－2×2

＝2，

||1＋2－2×5

＝7，

||2＋5－2×1

＝5，且2＜5＜7，所以125

是215的“調和優選數”，F(215)＝22－1×5＝－1.

(1)F(236)＝________；

(2)如果在正整數n三個數位上的數字中，有一個數是另外兩個數的平均數，求證：

F(n)是一個完全平方數；

(3)設三位自然數t＝100x＋60＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y為自然數)，交換其

個位上的數字與百位上的數字得到數t′.若t－t′＝693，那么我們稱t為“和

順數”．求所有“和順數”中F(t)的最大值．

3．進制也就是進位制，是人們規定的一種進位方法．對于任何一種進制——X進

制，就表示某一位置上的數運算時是逢X進一位．十進制是逢十進一，十六進制

是逢十六進一，二進制就是逢二進一，以此類推，X進制就是逢X進一．為與十進

制進行區分，我們常把用X進制表示的數a寫成(a)

X

.

類比于十進制，我們可以知道：X進制表示的數(1111)

X

中，右起第一位上的1表

示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示

1×X3.故(1111)

X

＝1×X3＋1×X2＋1×X1＋1×X0，即：(1111)

X

轉化為十進制表示的

數為X3＋X2＋X1＋X0.如：(1111)

2

＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝15，(1111)

5

＝

1×53＋1×52＋1×51＋1×50＝156.根據材料，完成以下問題：

(1)把下列進制表示的數轉化為十進制表示的數：

(101011)

2

＝________；(302)

4

＝________；(257)

7

＝________

(2)若一個五進制三位數(a4b)

5

與八進制三位數(ba4)

8

之和能被13整除(1≤a≤5，

1≤b≤5，且a、b均為整數)，求a的值；

(3)若一個六進制數與一個八進制數之和為666，則稱這兩個數互為“如意數”，

試判斷(mm1)

6

與(nn5)

8

是否互為“如意數”？若是，求出這兩個數；若不是，說明

理由．

4.我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n＝p×q(p，q是正整數，

且p≤q)，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就

稱p×q是n的最佳分解．并規定：F(n)＝

p

q

.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，

因為12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝

3

4

.

(1)如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數．

求證：對任意一個完全平方數m，總有F(m)＝1.

(2)如果一個兩位正整數t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y為自然數)，交換其個

位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我

們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”；

(3)在(2)所得的“吉祥數”中，求F(t)的最大值．

類型2函數型新定義問題

例2已知一個大于1的正整數t可以分解成t＝ac＋b2的形式(其中a≤c，a，b，

c均為正整數)，在t的所有表示結果中，當bc－ba取得最小值時，稱“ac＋b2”

是t的“等比中項分解”，此時規定：P(t)＝

b＋c

2（a＋b）

，例如：7＝1×6＋12＝2×3

＋12＝1×3＋22，1×6－1×1＞2×3－2×1＞1×3－1×2，所以2×3＋12是7的“等

比中項分解”，P(7)＝

2

3

.

(1)若一個正整數q＝m2＋n2，其中m、n為正整數，則稱q為“偽完全平方數”，

證明：對任意一個“偽完全平方數”q都有Ρ(q)＝

1

2

.

(2)若一個兩位數s＝10x＋y(1≤y≤x≤5，且x，y均為自然數)，交換原數十位上

的數字和個位上的數字得到的新數的兩倍再加上原數的14倍，結果被8除余4，

稱這樣的數s為“幸福數”，求所有“幸福數”的P(s)的最大值．

針對訓練

1.如果關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數根，且其中一個根為另

一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于倍根方程的說法：

①方程x2－x－2＝0是倍根方程；

②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，則4m2＋5mn＋n2＝0；

③若點(p，q)在反比例函數y＝

2

x

的圖象上，則關于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍

根方程．

其中正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)

2.先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

解：將“x＋y”看成整體，令x＋y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.

再將“A”還原，得原式＝(x＋y＋1)2.

上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，

請你解答下列問題：

(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝________；

(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4＝________；

(3)證明：若n為正整數，則式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一個整

數的平方．

3.若三個非零實數x，y，z滿足：只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數

的和，則稱這三個實數x，y，z構成“和諧三數組”．

(1)實數1，2，3可以構成“和諧三數組”嗎？請說明理由；

(2)若M(t，y

1

)，N(t＋1，y

2

)，R(t＋3，y

3

)三點均在函數y＝

k

x

(k為常數，k≠0)

的圖象上，且這三點的縱坐標y

1

，y

2

，y

3

構成“和諧三數組”，求實數t的值；

(3)若直線y＝2bx＋2c(bc≠0)與x軸交于點A(x

1

，0)，與拋物線y＝ax2＋3bx＋

3c(a≠0)交于B(x

2

，y

2

)，C(x

3

，y

3

)兩點．

①求證：A，B，C三點的橫坐標x

1

，x

2

，x

3

構成“和諧三數組”；

②若a＞2b＞3c，x

2

＝1，求點P(

c

a

，

b

a

)與原點O的距離OP的取值范圍．

4．若一個整數能表示成a2＋b2(a，b是整數)的形式，則稱這個數為“完美數”．例

如，5是“完美數”，因為5＝22＋12.再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2(x，y

是整數)，所以M也是“完美數”．

(1)請你再寫一個小于10的“完美數”，并判斷29是否為“完美數”．

(2)已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k(x，y是整數，k是常數)，要使S為“完美數”，

試求出符合條件的一個k值，并說明理由．

(3)如果數m，n都是“完美數”，試說明mn也是“完美數”．

5.若將自然數中能被3整除的數，在數軸上的對應點稱為“3倍點”P，取任意的

一個“3倍點”P，到點P距離為1的點所對應的數分別記為a，b.定義：若數K

＝a2＋b2－ab，則稱數K為“尼爾數”．例如：若P所表示的數為3，則a＝2，b

＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的數為12，則a＝11，b＝13，那么

K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼爾數”．

(1)請直接判斷6和39是不是“尼爾數”，并且證明所有“尼爾數”一定被9除

余3；

(2)已知兩個“尼爾數”的差是189，求這兩個“尼爾數”．

類型3整除問題

例3我們知道，任意一個大于1的正整數n都可以進行這樣的分解：n＝p＋q(p、

q是正整數，且p≤q)，在n的所有這種分解中，如果p、q兩數的乘積最大，我

們就稱p＋q是n的最佳分解．并規定在最佳分解時：F(n)＝pq.例如6可以分解

成1＋5或2＋4或3＋3，因為1×5<2×4<3×3，所以3＋3是6的最佳分解，所

以F(6)＝3×3＝9.

(1)求F(11)的值；

(2)一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前

兩位數被2除余1，前三位數被3除余2，前四位數被4除余3，…，一直到前N

位數被N除余(N－1)，我們稱這樣的數為“多余數”．如：236的第一位數“2”

能被1整除，前兩位數“23”被2除余1，“236”被3除余2，則236是一個“多

余數”．若把一個小于200的三位“多余數”記為t，它的各位數字之和再加1

為一個完全平方數，請求出所有“多余數”中F(t)的最大值．

針對訓練

1.一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數可以被1整除，它的

前兩位數可以被2整除，前三位數可以被3整除，…，一直到前N位數可以被N

整除，則這樣的數叫做“精巧數”．如：123的第一位數“1”可以被1整除，前

兩位數“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則123是一個“精巧數”．

(1)若四位數123k是一個“精巧數”，求k的值；

(2)若一個三位“精巧數”2ab各位數字之和為一個完全平方數，請求出所有滿足

條件的三位“精巧數”．

2.人和人之間講友情，有趣的是，數與數之間也有相類似的關系．若兩個不同的

自然數的所有真因數(即除了自身以外的正因數)之和相等，我們稱這兩個數為

“親和數”．例如：18的正因數有1、2、3、6、9、18，它的真因數之和為1＋2

＋3＋6＋9＝21；51的正因數有1、3、17、51，它的真因數之和為1＋3＋17＝21，

所以稱18和51為“親和數”．數還可以與動物形象地聯系起來，我們稱一個兩

頭(首位與末位)都是1的數為“兩頭蛇數”．例如：121、1351等．

(1)8的真因數之和為________；求證：一個四位的“兩頭蛇數”與它去掉兩頭后

得到的兩位數的3倍的差，能被7整除；

(2)一個百位上的數為4的五位“兩頭蛇數”能被16的“親和數”整除，若這個

五位“兩頭蛇數”的千位上的數字小于十位上的數字，求滿足條件的五位“兩頭

蛇數”．

3.材料1：將分式

x2－x＋3

x＋1

拆分成一個整式與一個分式(分子為整數)的和的形式．

解：

x2－x＋3

x＋1

＝

x（x＋1）－2（x＋1）＋5

x＋1

＝

x（x＋1）

x＋1

－

2（x＋1）

x＋1

＋

5

x＋1

＝x－2

＋

5

x＋1

，

這樣，分式

x2－x＋3

x＋1

就拆分成一個整式x－2與一個分式

5

x＋1

的和的形式．

材料2：已知一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數100x＋10y＋x，且

1≤x≤4，求y與x的函數關系式．

解：∵

101x＋10y

11

＝

99x＋11y＋2x－y

11

＝9x＋y＋

2x－y

11

，

又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴－7≤2x－y≤8，還要使

2x－y

11

為整數，

∴2x－y＝0.

(1)將分式

x2＋6x－3

x－1

拆分成一個整式與一個分子為整數的分式的和的形式，則結果

為___________________；

(2)已知整數x使分式

2x2＋5x－20

x－3

的值為整數，則滿足條件的整數x＝

_________________；

(3)已知一個六位整數20xy17能被33整除，求滿足條件的x，y的值．

4.在任意n(n>1且n為整數)位正整數K的首位后添加6得到的新數叫做K的“順

數”，在K的末位前添加6得到的新數叫做K的“逆數”．若K的“順數”與“逆

數”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔數”．比如1324的“順數”為16324，

1324的“逆數”為13264，1324的“順數”與“逆數”之差為16324－13264＝

3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍檔數”．

(1)請根據以上方法判斷31568________(填“是”或“不是”)“最佳拍檔數”；若

一個首位是5的四位“最佳拍檔數”N，其個位數字與十位數字之和為8，且百位

數字不小于十位數字，求所有符合條件的N的值；

(2)證明：任意三位或三位以上的正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30

整除．

5.若整數a能被整數b整除，則一定存在整數n，使得

a

b

＝n，即a＝bn.例如：若

整數a能被整數7整除，則一定存在整數n，使得a＝7n.

(1)將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的

兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數一定能被7整除．例如：將數字

1078分解為8和107，107－8×2＝91，因為91能被7整除，所以1078能被7整

除，請你證明任意一個三位數都滿足上述規律．

(2)若將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數加上個位數

的k(k為正整數，1≤k≤5)倍，所得之和能被13整除，求當k為何值時使得原多

位自然數一定能被13整除．

參考答案

例1.解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9，

F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14.

(2)∵s，t都是“相異數”，

∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，

F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6，

∵F(s)＋F(t)＝18，∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，∴x＋y＝7，∵1≤x≤9，1≤

y≤9，x，y都是正整數，∴

?

?

?x＝1，

y＝6

或

?

?

?x＝2，

y＝5

或

?

?

?x＝3，

y＝4

或

?

?

?x＝4，

y＝3

或

?

?

?x＝5，

y＝2

或

?

?

?x＝6，

y＝1.

（2）∵s是“相異數”，∴x≠2，x≠3，∵t是“相異數”，

∴y≠1，y≠5，∴

?

?

?x＝1，

y＝6

或

?

?

?x＝4，

y＝3

或

?

?

?x＝5，

y＝2.

∴

?

?

?

?

?

F

()s

＝6，

F

()t

＝12

或

?

?

?

?

?

F

()s

＝9，

F

()t

＝9

或

?

?

?

?

?

F

()s

＝10，

F

()t

＝8.

∴k＝

F

()s

F

()t

＝

1

2

或k＝

F

()s

F

()t

＝1或k＝

F

()s

F

()t

＝

5

4

，

∴k的最大值為

5

4

.

針對訓練

1解：（1）74；32；31

(2)證明：令t＝10x＋y，

2(10x＋y)－(x2－y2)－99

＝20x＋2y－x2＋y2－99＝(y2＋2y＋1)－(x2－20x＋100)＝(y＋1)2－(x－10)2，

∴t的2倍減去t的“平方差數”再減去99所得結果是另一個數的“平方差”數．

(3)令t＝xy，t′＝yx，

由題意知：10x＋y＋x2＋y2＝10y＋x＋y2－x2，

所以9x－9y＋2x2＝0，9(x－y)＋2x2＝0，

∵x－y≥0，2x2≥0，∴x＝y＝0.

故t＝0.

2.解：(1)F(236)＝－3

(2)證明：設這個正整數n三個數位上的數字分別為：

x，

x＋y

2

，y.

∵|a＋c－2b|最小時，我們稱abc是n的“調和優選數”，∴F(n)＝b2－ac＝

?

?

?

?

?

?x＋y

2

2

－xy＝

x2＋y2

4

－

xy

2

＝

?

?

?

?

?

?x－y

2

2

；

∴F(n)為一個完全平方數；

(3)t＝100x＋60＋y，t′＝100y＋60＋x，

∵t－t′＝99x－99y＝693，∴99(x－y)＝693，x－y＝7，x＝y＋7，

∴1≤x≤9，1≤y≤9，∴1≤y＋7≤9，∴1≤y≤2，

∴

?

?

?y＝1，

x＝8

或

?

?

?y＝2，

x＝9，

∴t＝861或t＝962，

當t＝861時，可以重新排列為168，186，618.

∵|1＋8－2×6|＝3，|1＋6－2×8|＝9，|6＋8－2×1|＝12，∴168為861的“調

和優選數”，

∴F(861)＝6×6－1×8＝28；當t＝962時，可以重新排列為269，296，629，∵

|2＋9－2×6|＝1，|2＋6－2×9|＝10，|6＋9－2×2|＝11，∴269為962的“調

和優選數”，∴F(962)＝6×6－2×9＝18.

∴所有“和順數”中F(t)的最大值為28.

3.解：（1）43；50；140

(2)b＋4×51＋a×52＋4＋a×8＋b×82＝33a＋65b＋24＝13(2a＋5b＋1)＋7a＋11，

∴13整除7a＋11，

而1≤a≤5，1≤b≤5，∴18≤7a＋11≤46，∴7a＋11＝26或39.解得a＝

15

7

(舍去)

或4，∴a＝4.

(3)(mm1)

6

＋(nn5)

8

＝1＋6m＋36m＋5＋8n＋64n

＝6＋42m＋72n.

若互為“如意數”，則6＋42m＋72n＝666，

∴7m＋12n＝110，此時m必為偶數，

經檢驗，當m＝2，n＝8時，7m＋12n＝110，

∴這兩個數為85和581.

4.(1)證明：對任意一個完全平方數m，設m＝a2(a為正整數)，

∵|a－a|＝0，∴a×a是m的最佳分解，

∴對任意一個完全平方數m，總有F(m)＝

a

a

＝1.

(2)設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為t′，則t′＝10y＋x，∵t

是“吉祥數”，

∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36，

∴y＝x＋4，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數，

∴滿足“吉祥數”的有15，26，37，48，59.

(3)F(15)＝

3

5

，F(26)＝

2

13

，F(37)＝

1

37

，F(48)＝

6

8

＝

3

4

，F(59)＝

1

59

.∵

3

4

>

3

5

>

2

13

>

1

37

>

1

59

，

∴所有“吉祥數”中，F(t)的最大值是

3

4

.

類型二

例2解：(1)證明：∵a≤c，a，b，c為正整數，

∴bc－ba＝b(c－a)≥0.

又q＝m2＋n2＝m·m＋n2，

令n＝b，m＝a＝c，

則此時bc－ba最小為0，

故m·m＋n2是q的“等比中項分解”，

∴P(q)＝

n＋m

2（m＋n）

＝

1

2

.

(2)由題意，得2(10y＋x)＋14(10x＋y)＝8k＋4(k為整數)，

即：142x＋34y＝8k＋4.∴8(18x＋4y)＋2y－2x－4＝8k，

∴2(y－x－2)是8的倍數，∴y－x－2是4的倍數．

又∵1≤y≤x≤5且x，y均為自然數，

∴－6≤y－x－2≤－2，∴y－x－2＝－4，

∴x＝y＋2，∴s＝31，42，53.

∵bc－ba＝b(c－a)，且a，b，c為正整數，a≤c，

∴當b越小，c－a的差越小，b(c－a)越?。?/p>

∴當s＝31時，31＝5×6＋12，則P(31)＝

1＋6

2×（5＋1）

＝

7

12

；當s＝42時，42＝2×3

＋62，則P(42)＝

6＋3

2×（6＋2）

＝

9

16

；

當s＝53時，53＝7×7＋22或53＝2×2＋72，

則P(53)＝

1

2

.∵

9

16

>

7

12

>

1

2

，∴P(s)max＝

9

16

.

針對訓練

1.②③

2.解：(1)1＋2(x－y)＋(x－y)2＝(x－y＋1)2；

(2)令A＝a＋b，則原式變為A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2，

故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2；

(3)證明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1

＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1

＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1

＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1

＝(n2＋3n＋1)2，

∵n為正整數，

∴n2＋3n＋1也為正整數，

∴代數式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一個整數的平方．

3.解：(1)∵1，2，3的倒數分別為1，

1

2

，

1

3

，且1>

1

2

>

1

3

.

∵

1

2

＋

1

3

≠1，∴1，2，3不可以構成“和諧三數組”．

(2)M(t，

k

t

)，N(t＋1，

k

t＋1

)，R(t＋3，

k

t＋3

)，且

k

t

，

k

t＋1

，

k

t＋3

構成“和諧三數

組”．

①若

t

k

＝

t＋1

k

＋

t＋3

k

，得2t＋4＝t，得t＝－4；

②若

t＋1

k

＝

t

k

＋

t＋3

k

，得2t＋3＝t＋1，得t＝－2；

③若

t＋3

k

＝

t

k

＋

t＋1

k

，得2t＋1＝t＋3，得t＝2.

綜上，t的值為－4或－2或2.

(3)①證明：∵a，b，c均不為0，∴x1

，x2

，x3

都不為0，令y＝2bx＋2c＝0，則

x1

＝－

c

b

，

聯立

?

?

?y＝2bx＋2c，

y＝ax2＋3bx＋3c，

整理得：ax2＋bx＋c＝0.

∵x2

＋x3

＝－

b

a

，x2

·x3

＝

c

a

，

∴

1

x2

＋

1

x3

＝

x2

＋x3

x2

·x3

＝－

b

a

·

a

c

＝－

b

c

＝

1

x1

，

∴A，B，C三點的橫坐標x1

，x2

，x3

構成“和諧三數組”．

②∵x2

＝1，∴a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.

∵a>2b>3c，∴a>2b>3(－a－b)，且a>0，整理得

?

?

?a＞2b，

5b＞－3a，

∴－

3

5

<

b

a

<

1

2

且

b

a

≠0.∵P(

c

a

，

b

a

)，

∴OP2＝(

c

a

)2＋(

b

a

)2＝(

－a－b

a

)2＋(

b

a

)2＝2(

b

a

＋

1

2

)2＋

1

2

，

令m＝

b

a

，則－

3

5

1

2

且m≠0，則OP2＝2(m＋

1

2

)2＋

1

2

，∵2>0，

∴當－

3

5

1

2

時，OP2隨m的增大而減小，當m＝－

3

5

時，OP2有最大值

13

25

，當m＝

－

1

2

時，OP2有最小值

1

2

；

當－

1

2

1

2

且m≠0時，OP2隨m的增大而增大，當m＝－

1

2

時，OP2有最小值

1

2

，當m

＝

1

2

時，OP2有最大值

5

2

，

∴

1

2

≤OP2<

5

2

且OP2≠1，∴

2

2

≤OP<

10

2

且OP≠1.

4.解：(1)(答案不唯一)0，1，2，4，8，9均可．因為29＝52＋22，所以29是“完

美數”；

(2)當k＝13時，S＝x2＋4y2＋4x－12y＋13＝x2＋4x＋4＋4y2－12y＋9＝(x＋2)2＋

(2y－3)2，∵x，y是整數，∴x＋2，2y－3也是整數，∴S是一個“完美數”．

(3)∵m與n都是“完美數”，∴設m＝a2＋b2，n＝c2＋d2(a，b，c，d都是整數)，

則

mn＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2

＝a2c2＋2abcd＋b2d2＋b2c2－2abcd＋a2d2

＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2.

∵a，b，c，d是整數，

∴ac＋bd與bc－ad都是整數，

∴mn也是“完美數”．

5.解：(1)6不是“尼爾數”；39是“尼爾數”；

設a＝3n＋1，b＝3n－1(其中n為自然數)，

K＝(3n＋1)2＋(3n－1)2－(3n＋1)(3n－1)

＝2×9n2＋2×1－(9n2－1)＝9n2＋3，

∴所有“尼爾數”一定被9除余3.

(2)設這兩個“尼爾數”分別為9m2＋3，9n2＋3，

其中m，n為整數，則(9m2＋3)－(9n2＋3)＝189，

m2－n2＝21.(m＋n)(m－n)＝1×21或3×7.

∴

?

?

?m＋n＝21，

m－n＝1

或

?

?

?m＋n＝7，

m－n＝3.

解得

?

?

?m＝11，

n＝10

或

?

?

?m＝5，

n＝2.

當m＝11，n＝10時，9m2＋3＝9×112＋3＝1092，

9n2＋3＝9×102＋3＝903.

當m＝5，n＝2時，9m2＋3＝9×52＋3＝228，

9n2＋3＝9×22＋3＝39.

答：這兩個“尼爾數”分別是1092和903或228和39.

類型3.整除問題

例3.解：(1)11＝1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，

且1×10<2×9<3×8<4×7<5×6，所以F(11)＝5×6＝30.

(2)設此數為1bc，由題可得

10＋b＝2m＋1①，由①得：10＋b為奇數，所以b為奇數；

100＋10b＋c＝3n＋2②，由②得：1＋b＋c＋1是3的倍數；

1＋b＋c＋1＝k2③.(其中m，n，k為整數)

又因為1≤b≤9，1≤c≤9，所以4≤1＋b＋c＋1≤20，

所以1＋b＋c＋1只能等于9，即b＋c＝7.

所以當b＝1時，c＝6，此數為116.

當b＝3時，c＝4，此數為134；

當b＝5時，c＝2，此數為152；

當b＝7時，c＝0，此數為170；

當b＝9時，舍去；

所以F(t)

max

＝F(170)＝85×85＝7225.

針對訓練

1.解：(1)∵四位數123k是一個“精巧數”，

∴1230＋k是4的倍數；

即1230＋k＝4n，

當n＝308時，k＝2；當n＝309時，k＝6，

∴k＝2或6；

(2)∵2ab是“精巧數”，∴a為偶數，且2＋a＋b是3的倍數，

∵a＜10，b＜10，∴2＋a＋b＜22，

∵各位數字之和為一個完全平方數，

∴2＋a＋b＝32＝9，

∴當a＝0時，b＝7；當a＝2時，b＝5；當a＝4時，b＝3；當a＝6時，b＝1，

∴所有滿足條件的三位“精巧數”有：207，225，243，261.

2.解：(1)證明：設這個四位“兩頭蛇數”為1ab1，由題意，得

1ab1－3ab＝1001＋100a＋10b－30a－3b＝1001＋70a＋7b

＝7(143＋10a＋b)．

∵a、b為整數，∴143＋10a＋b為整數，

∴一個四位的“兩頭蛇數”與它去掉兩頭后得到的兩位數的3倍能被7整除．

(2)∵16的真因數有：1，2，4，8，∴1＋2＋4＋8＝15.

∵15＝1＋3＋11，∴16的“親和數”為33.

設這個五位“兩頭蛇數”為1x4y1，由題意，得

1x4y1

33

為整數，

∴315＋30x＋

10x＋10y＋6

33

為整數，故10x＋10y＋6＝66，

∴x＋y＝6.∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x，y為整數，x

∴

?

?

?x＝0，

y＝6

或

?

?

?x＝1，

y＝5

或

?

?

?x＝2，

y＝4，

∴這個五位“兩頭蛇數”為：10461或11451或12441.

3.解：(3)

20xy17

33

＝

200017＋100xy

33

＝6061＋3xy＋

xy＋4

33

，

故xy＋4為33的倍數，因為10≤xy≤99，所以14≤xy＋4≤103，即xy＋4＝33，

66，99，

所以xy＝29，62，95，即

?

?

?

?

?x＝2，

y＝9

或

?

?

?

?

?x＝6，

y＝2

或

?

?

?

?

?x＝9，

y＝5.

4.解：(1)是；

設N＝5xy(8－y)，其中0≤y≤x≤9，y≤8，x，y為整數，

則N的“順數”為：56xy(8－y)，N的“逆數”為：5xy6(8－y)，

由題意，得

56xy（8－y）－5xy6（8－y）

17

為整數，

∴

7＋x－5y

17

為整數，∵0≤y≤x≤9，y≤8，，

∴－33≤7＋x－5y≤16，∴7＋x－5y＝－17或0，

解得

?

?

?x＝6，

y＝6

或

?

?

?x＝3，

y＝2

或

?

?

?x＝8，

y＝3.

∴N的值為5835，5326，5662.

(2)證明：設正整數K＝xAy，其中A為m位正整數，m≥1，1≤x≤9，0≤y≤9，x，

y為整數，

則K的“順數”為：x6Ay＝10m＋2x＋6×10m＋1＋10A＋y，

K的“逆數”為：xA6y＝10m＋2x＋100A＋60＋y，

x6Ay－xA6y＝60(10m－1)－90A，

∴x6Ay－xA6y能被30整除，即結論成立．

5.解：(1)證明：設某三位數百位、十位、個位上的數字分別是x、y、z，

則原三位數為：100x＋10y＋z，

根據題意，存在整數n，使得10x＋y－2z＝7n，

∴10x＋y＝2z＋7n，

∴100x＋10y＋z＝10(10x＋y)＋z＝10(2z＋7n)＋z＝21z＋70n，

∴

100x＋10y＋z

7

＝

21z＋70n

7

＝3z＋10n，

∵z、n都為整數，∴(3z＋10n)為整數，

∴原數能被7整除．

(2)設將一個多位自然數按題意分解后得到的個位數是B，個位之前的數是A，則

原數為(10A＋B)．

根據題意，存在整數m，使得A＝13m－kB，

∴10A＋B＝10(13m－kB)＋B＝130m＋(1－10k)B＝130m－13kB＋(1＋3k)B，

∴

10A＋B

13

＝

130m－13kB＋（1＋3k）B

13

＝10m－kB＋

1＋3k

13

B，

∵k為正整數，1≤k≤5，∴k＝1或2或3或4或5，

∵

1＋3×1

13

＝

4

13

，

1＋3×2

13

＝

7

13

，

1＋3×3

13

＝

10

13

，

1＋3×4

13

＝1，

1＋3×5

13

＝

16

13

.又∵m，

B為整數，

∴當k＝4時，10m－kB＋

1＋3k

13

B為整數，

此時原多位自然數能被13整除．