高中數學必修二

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第一章：空間幾何體

1.1.1柱、錐、臺、球的結構特征

一、教學目標

1?知識與技能

(1)通過實物操作，增強學生的直觀感知。

(2)能根據幾何結構特征對空間物體進行分類。

(3)會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結構特征。

(4)會表示有關于幾何體以及柱、錐、臺的分類。

2.過程與方法

(1)讓學生通過直觀感受空間物體，從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特征。

(2)讓學生觀察、討論、歸納、概括所學的知識。

3?情感態度與價值觀

(1)使學生感受空間幾何體存在于現實生活周圍，增強學生學習的積極性，同時提高學生的觀察能力。

(2)培養學生的空間想象能力和抽象括能力。

二、教學重點、難點

重點：讓學生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結構特征。

難點：柱、錐、臺、球的結構特征的概括。

三、教學用具

(1)學法：觀察、思考、交流、討論、概括。

(2)實物模型、投影儀

四、教學思路

(一)創設情景，揭示課題

1?教師提出問題：在我們生活周圍中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？

這些建筑的幾何結構特征如何？引導學生回憶，舉例和相互交流。教師對學生的活動及時給

予評價。

2?所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的，(展示具有柱、錐、臺、球結構

特征的空間物體)，你能通過觀察。根據某種標準對這些空間物體進行分類嗎？這是我們所要學習的容。

(二)、研探新知

1?引導學生觀察物體、思考、交流、討論，對物體進行分類，分辯棱柱、圓柱、棱錐。

2?觀察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片，它們各自的特點是什么？它們的共

同特點是什么?

3?組織學生分組討論，每小組選出一名同學發表本組討論結果。在此基礎上得出棱

柱的主要結構特征。（1）有兩個面互相平行；（2）其余各面都是平行四邊形；（3）每相鄰

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兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。

4?教師與學生結合圖形共同得出棱柱相關概念以及棱柱的表示。

5?提出問題：各種這樣的棱柱，主要有什么不同？可不可以根據不同對棱柱分類？

請列舉身邊具有已學過的幾何結構特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結構特征？它們由哪些基

本幾何體組成的？

6?以類似的方法，讓學生思考、討論、概括出棱錐、棱臺的結構特征，并得出相關的概念，分類以

及表示。

7?讓學生觀察圓柱，并實物模型演示，如何得到圓柱，從而概括出圓標的概念以及相關的概念及圓

柱的表示。

8?弓I導學生以類似的方法思考圓錐、圓臺、球的結構特征，以及相關概念和表示，借助實物模型

演示引導學生思考、討論、概括。

（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維，教師提出問題，讓學生思考。

1?有兩個面互相平行，其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱（舉反例說明，如圖）

2?棱柱的何兩個平面都可以作為棱柱的底面嗎？

3.課本P8，習題1.1A組第1題。

4?圓柱可以由矩形旋轉得到，圓錐可以由直角三角形旋轉得到，圓臺可以由什么圖形旋轉得到？如

何旋轉？

5?棱臺與棱柱、棱錐有什么關系？圓臺與圓柱、圓錐呢？

四、鞏固深化

練習：課本P7練習1、2（1）（2）

課本P8習題1.1第2、3、4題

五、歸納整理

由學生整理學習了哪些容

六、布置作業

課本P8練習題1.1B組第1題

課外練習課本P8習題1.1B組第2題

教學反思：

1.2.1空間幾何體的三視圖（1課時）

、教學目標

1?知識與技能

（1）掌握畫三視圖的基本技能

（2）豐富學生的空間想象力

2.過程與方法

主要通過學生自己的親身實踐，動手作圖，體會三視圖的作用。

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3.情感態度與價值觀

（1）提高學生空間想象力

（2）體會三視圖的作用

二、教學重點、難點

重點：畫出簡單組合體的三視圖

難點：識別三視圖所表示的空間幾何體

三、學法與教學用具

1.學法：觀察、動手實踐、討論、類比

2.教學用具：實物模型、三角板

四、教學思路

（一）創設情景，揭開課題

“橫看成嶺側看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，真實反映出

物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖。

在初中，我們已經學習了體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖），你能

畫出空間幾何體的三視圖嗎？

（二）實踐動手作圖

1.講臺上放球、長方體實物，要求學生畫出它們的三視圖，教師巡視，學生畫完后可交流結果并討

論；

2.教師引導學生用類比方法畫出簡單組合體的三視圖

（1）畫出球放在長方體上的三視圖

（2）畫出礦泉水瓶（實物放在桌面上）的三視圖

學生畫完后，可把自己的作品展示并與同學交流，總結自己的作圖心得。

作三視圖之前應當細心觀察，認識了它的基本結構特征后，再動手作圖。

3.三視圖與幾何體之間的相互轉化。

（1）投影出示圖片（課本P10,圖1.2-3）

請同學們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？

（2）你能畫出圓臺的三視圖嗎？

（3）三視圖對于認識空間幾何體有何作用？你有何體會？

教師巡視指導，解答學生在學習中遇到的困難，然后讓學生發表對上述問題的看法。

4?請同學們畫出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學交流。

（三）鞏固練習

課本P12練習1、2P18習題1.2A組1

要比較

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（四）歸納整理

請學生回顧發表如何作好空間幾何體的三視圖

（五）課外練習

1.自己動手制作一個底面是形，側面是全等的三角形的

棱錐模型，并畫出它的三視圖。

2.自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的

三視圖

教學反思：

1.2.2空間幾何體的直觀圖（1課時）

、教學目標

1?知識與技能

(1)掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖。

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(2)采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點。

2.過程與方法

學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。

3.情感態度與價值觀

(1)提高空間想象力與直觀感受。

(2)體會對比在學習中的作用。

(3)感受幾何作圖在生產活動中的應用。

二、教學重點、難點

重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

三、學法與教學用具

1.學法：學生通過作圖感受圖形直觀感，并自然采用

斜二測畫法畫空間幾何體的過程。

2.教學用具：三角板、圓規

四、教學思路

(一)創設情景，揭示課題

1.我們都學過畫畫，這節課我們畫一物體：圓柱

把實物圓柱放在講臺上讓學生畫。

2.學生畫完后展示自己的結果并與同學交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫

好物體的直觀圖呢？這是我們這節主要學習的容。

(二)研探新知

1.例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學生閱讀理解，并思考斜二測畫法的關鍵

步驟，學生發表自己的見解，教師及時給予點評。

畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置

一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫

法可以歸結為確定點的位置的畫法。強調斜二測畫法的步驟。

練習反饋

根據斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，讓學生獨立完成后，教師檢查。

2.例2,用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖

教師引導學生與例1進行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓

的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點，由于不能像多邊那樣直接以頂點為代表點，因

此需要自己構造出一些點。

教師組織學生思考、討論和交流，如何構造出需要的一些點，與學生共同完成例2并詳細板書畫法。

3?探求空間幾何體的直觀圖的畫法

(1)例3,用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀

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圖。

教師引導學生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了

事。

(2)投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體？并

用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同

學解疑，引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關系。

4?平行投影與中心投影

投影出示課本P17圖1.2-12，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖

形的各自特點。

5.鞏固練習，課本P16練習1(1),2,3,4

三、歸納整理

學生回顧斜二測畫法的關鍵與步驟

四、作業

1.書畫作業，課本P17練習第5題

2.課外思考課本P16，探究(1)(2)

教學反思：

1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積

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一、教學目標

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法。

（2）能運用公式求解，柱體、錐體和臺全的全積，并且熟悉臺體與術體和錐體之間的轉換關

系。

（3）培養學生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

（1）讓學生經歷幾何全的側面展一過程，感知幾何體的形狀。

（2）讓學生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的面積和體積的關系。

3、情感與價值

通過學習，使學生感受到幾何體面積和體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強學習的

積極性。

二、教學重點、難點

重點：柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算

難點：臺體體積公式的推導

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過閱讀教材，自主學習、思考、交流、討論和概括，通過剖析實物幾何體感受幾何

體的特征，從而更好地完成本節課的教學目標。

2、教學用具：實物幾何體，投影儀

四、教學設想

1、創設情境

（1）教師提出問題：在過去的學習中，我們已經接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公

式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？引導學生回憶，互相交流，教師歸類。

（2）教師設疑：幾何體的表面積等于它的展開圈的面積，那么，柱體，錐體，臺體的側面展開

圖是怎樣的？你能否計算？引入本節容。

2、探究新知

（1）利用多媒體設備向學生投放正棱柱、正三棱錐和正三棱臺的側面展開圖

（3）教師對學生討論歸納的結果進行點評。

3、質疑答辯、排難解惑、發展思維

（1）教師引導學生探究圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖的結構，并歸納出其表面積的計算公式：

Si臺表面積(r'2r2r'lrl)

1

r為上底半徑r為下底半徑I為母線長

（2）組織學生思考圓臺的表面積公式與圓柱及圓錐表面積公式之間的變化關系。

（2）組織學生分組討

論：這三個圖形的表面由哪些

平面圖形構成？表面積如何

求？

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（3）教師引導學生探究：如何把一個三棱柱分割成三個等體積的棱錐？由此加深學生對等底、等高

的錐體與柱體體積之間的關系的了解。如圖：

（4）教師指導學生思考，比較柱體、錐體，臺體的體積公式之間存在的關系。

（s',s分別我上下底面面積,

4、例題分析講解

（課本）例1、例2、例3

5、鞏固深化、反饋矯正教師投影練習

a怦，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直

21

（答案：——:3am）3

2、棱臺的兩個底面面積分別是245c怦和80ctf,截得這個棱臺的棱錐的高為35cm,

3

求這個棱臺的體積。（答案：2325cm）

6、課堂小結

本節課學習了柱體、錐體與臺體的表面積和體積的結構和求解方法及公式。用聯系

的關點看待三者之間的關系，更加方便于我們對空間幾何體的了解和掌握。

7、評價設計

習題1.3A組1.3

徑為

1、已知圓錐的表面積為

。

h為臺柱高）

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教學反思：

第二章直線與平面的位置關系

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§2.1.1平面

一、教學目標：

1、知識與技能

（1）利用生活中的實物對平面進行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖；

（3）掌握平面的基本性質及作用；（4）培養學生的空間想象能力。

2、過程與方法

（1）通過師生的共同討論，使學生對平面有了感性認識；

（2）讓學生歸納整理本節所學知識。

3、情感與價值

使用學生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學習的興趣。

二、教學重點、難點

重點：1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性質，注意他們的條件、結論、作用、圖形語言及符號語言。

難點：平面基本性質的掌握與運用。

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過閱讀教材，聯系身邊的實物思考、交流，師生共同討論等，從而較好地完成本節課的教

學目標。

2、教學用具：投影儀、投影片、正（長）方形模型、三角板

四、教學思想

（一）實物引入、揭示課題

師：生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，

你們能舉出更多例子嗎？引導學生觀察、思考、舉例和互相交流。與此同時，教師對學生的

活動給予評價。

師：那么，平面的含義是什么呢？這就是我們這節課所要學習的容。

（二）研探新知

1、平面含義

師：以上實物都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出

來的，但是，幾何里的平面是無限延展的。

2、平面的畫法及表示

師：在平面幾何中，怎樣畫直線？（一學生上黑板畫）之后教師加以肯定，解說、類比，將知識遷移，得出

平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點

或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

如果幾個平面畫在一起，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應畫成虛線或不畫（打

出投影片）

課本P41圖

平面有無數個點，

-A

-B

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點A在平面a,記作：A€a點B在平面a外，記作：B

2.1-4

3、平面的基本性質

教師引導學生思考教材P41的思考題，讓學生充分發表自己的見解。

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面，那么這條直線在此平面

(教師引導學生閱讀教材P42前幾行相關容，并加以解析)

符號表示為

A€L

B€L

A€a

B€a

=>La

公理1作用：判斷直線是否在平面

公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：

A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,使A€a、B€a、C€a。

公理2作用：確定一個平面的依據。

公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號

表示為：P€aA3=>aAj=L，且P€L

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據

4、教材P43例1

通過例子，讓學生掌握圖形中點、線、面的位置關系及符號

5、課堂練習：課本P44練習1、2、3、4

6、課時小結：(師生互動，共同歸納)

(1)本節課我們學習了哪些知識容？(2)三個公理的容及作用是什么?

7、作業布置

(1)復習本節課容;

(2)預習：同一平面的兩條直線有幾種位置關系?

教學反思:

層.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

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一、教學目標：

1、知識與技能

（1）了解空間中兩條直線的位置關系；

（2）理解異面直線的概念、畫法，培養學生的空間想象能力；

（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；

（5）異面直線所成角的定義、圍及應用。

2、過程與方法

（1）師生的共同討論與講授法相結合；

（2）讓學生在學習過程不斷歸納整理所學知識。

3、情感與價值

讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣。

二、教學重點、難點

重點：1、異面直線的概念；2、公理4及等角定理。難點：異面直線所成角的計算。

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過閱讀教材、思考與教師交流、概括，從而較好地完成本節課的教學目標。

2、教學用具：投影儀、投影片、長方體模型、三角板

四、教學思想

（一）創設情景、導入課題

1、通過身邊諸多實物，引導學生思考、舉例和相互交流得出異面直線的概念：不同在任何一個平面的兩條

直線叫做異面直線。

2、師：那么，空間兩條直線有多少種位置關系？（板書課題）

（二）講授新課

1、教師給出長方體模型，引導學生得出空間的兩條直線有如下三種關系：

共面直線彳

?'

L平行直線：同一平面，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面，沒有公共點。

教師再次強調異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如下圖:

再聯系其他相應實例歸納出公理4

公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線

平行的依據。

例2的講解讓學生掌握了公理4的運用

（3）教材P47探究

讓學生在思考和交流中提升了對公理4的運用能力。

3、組織學生思考教材P47的思考題

（投影）教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。教師強調：并非所有關于平

面圖形的結論都可以推廣到空間中來。

相交直線:

同一平面，有且只有一個公共點;

a//b

c//

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4、以教師講授為主，師生共同交流，導出異面直線所成的角的概念。

(1)師：如圖，已知異面直線a、b，經過空間中任一點0作直線a'//a、b'//b，我們把

a'與b'所成的銳角(或直角)叫異面直線a與b所成的角(夾角)。

(2)強調：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關，為了簡便，點0一般取在兩直

線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角9€(0,J；

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b;

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

(三)課堂練習

教材P49練習1、2

充分調動學生動手的積極性，教師適時給予肯定。

(四)課堂小結

在師生互動中讓學生了解：

(1)本節課學習了哪些知識容？

(2)計算異面直線所成的角應注意什么？

(五)課后作業

1、判斷題：

(1)a/bc丄a=>c丄b()

(1)a丄cb丄c=>a丄b()

2、填空題：

在體ABCD-A'B'C'D'中，與BD'成異面直線的有________________。

教學反思：

平面與平面之間的位置關系

一、教學目標：

1、知識與技能

(1)了解空間中直線與平面的位置關系;

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（2）了解空間中平面與平面的位置關系；

（3）培養學生的空間想象能力。

2、過程與方法

（1）學生通過觀察與類比加深了對這些位置關系的理解、掌握；

（2）讓學生利用已有的知識與經驗歸納整理本節所學知識。

二、教學重點、難點

重點：空間直線與平面、平面與平面之間的位置關系。

難點：用圖形表達直線與平面、平面與平面的位置關系。

三、學法與教學用具

1、學法：學生借助實物，通過觀察、類比、思考等，較好地完成本節課的教學目標。

2、教學用具：投影儀、投影片、長方體模型

四、教學思想

（一）創設情景、導入課題

教師以生活中的實例以及課本P49的思考題為載體，提出了：空間中直線與平面有多少種

位置關系？（板書課題）

例4（投影）

師生共同完成例4

例4的給出加深了學生對這幾種位置關系的理解。

2、引導學生對生活實例以及對長方體模型的觀察、思考，準確歸納出兩個平面之間有兩種

/亠護￥方

位置關糸：

（1）兩個平面平行——沒有公共點

（2）兩個平面相交一一有且只有一條公共直線

用類比的方法，學生很快地理解與掌握了新容，這兩種位置關系用圖形表示為

教師指出：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行。教材P51探究

讓學生獨立思考，稍后教師作指導，加深學生對這兩種位置關系的理解教材P51練習

學生獨立完成后教師檢查、指導

（三）歸納整理、整體認識

教師引導學生歸納，整理本節課的知識脈絡，提升他們掌握知識的層次。

（四）作業

1、讓學生回去整理這三節課的容，理清脈絡。

2、教材P52習題2.1A組第5題

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教學反思：

幺2.1直線與平面平行的判定

一、教學目標：

1、知識與技能

（1）理解并掌握直線與平面平行的判定定理;

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（2）進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力；

2、過程與方法

學生通過觀察圖形，借助已有知識，掌握直線與平面平行的判定定理。

3、情感、態度與價值觀

（1）讓學生在發現中學習，增強學習的積極性；

（2）讓學生了解空間與平面互相轉換的數學思想。

二、教學重點、難點

重點、難點：直線與平面平行的判定定理及應用。

三、學法與教學用具

1、學法：學生借助實例，通過觀察、思考、交流、討論等，理解判定定理。

2、教學用具：投影儀（片）

四、教學思想

（一）創設情景、揭示課題

引導學生觀察身邊的實物，如教材第55頁觀察題：封面所在直線與桌面所在平面具有什么

樣的位置關系？如何去確定這種關系呢？這就是我們本節課所要學習的容。

2、例1引導學生思考后，師生共同完成

該例是判定定理的應用，讓學生掌握將空間問題轉化為平面問題的化歸思想。

（三）自主學習、發展思維

練習：教材第57頁1、2題

讓學生獨立完成，教師檢查、指導、講評。

（四）歸納整理

1、同學們在運用該判定定理時應注意什么？

直線a與平面a平行嗎?

若a有直線b與a平行，

那么a與a的位置關系如何？

是否可以保證直線a與平面a平行?

學生思考后，師生共同探討，得出以下結論

直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面的一條直線平行,平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：

則該直線與此平面

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2、在解決空間幾何問題時，常將之轉換為平面幾何問題。

（五）作業

1、教材第64頁習題2.2A組第3題；

2、預習：如何判定兩個平面平行？

教學反思:

§.2.2平面與平面平行的判定

、教學目標:

1、知識與技能：理解并掌握兩平面平行的判定定理。

2、過程與方法：讓學生通過觀察實物及模型，得出兩平面平行的判定。

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3、情感、態度與價值觀：進一步培養學生空間問題平面化的思想。

二、教學重點、難點

重點：兩個平面平行的判定。

難點：判定定理、例題的證明。

三、學法與教學用具

1、學法：學生借助實物，通過觀察、類比、思考、探討，教師予以啟發，得出兩平面平行的判定。

2、教學用具：投影儀、投影片、長方體模型

四、教學思想

（一）創設情景、引入課題

引導學生觀察、思考教材第57頁的觀察題，導入本節課所學主題。

（二）研探新知

1、問題：

（1）平面B有一條直線與平面a平行，a、B平行嗎？

（2）平面B有兩條直線與平面a平行，a、B平行嗎？

通過長方體模型，引導學生觀察、思考、交流，得出結論。

兩個平面平行的判定定理：一個平面的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

a3

b3

aAb=P3〃a?

a//a

b//a-

教師指出：判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2、例2引導學生思考后，教師講授。

例子的給出，有利于學生掌握該定理的應用。

（三）自主學習、加深認識

練習：教材第59頁1、2、3題。

學生先獨立完成后，教師指導講評。

（四）歸納整理、整體認識

1、判定定理中的線與線、線與面應具備什么條件？

2、在本節課的學習過程中，還有哪些不明白的地方，請向老師提出。

（五）作業布置

第65頁習題2.2A組第7題。

教學反思：

§2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質

一、教學目標：

1、知識與技能

（1）掌握直線與平面平行的性質定理及其應用；

Word文檔

（2）掌握兩個平面平行的性質定理及其應用。

2、過程與方法

學生通過觀察與類比，借助實物模型理解性質及應用。

3、情感、態度與價值觀

（1）進一步提高學生空間想象能力、思維能力；

（2）進一步體會類比的作用；

（3）進一步滲透等價轉化的思想。

二、教學重點、難點

重點：兩個性質定理。

難點：（1）性質定理的證明；

（2）性質定理的正確運用。

三、學法與教學用具

1、學法：學生借助實物，通過類比、交流等，得出性質及基本應用。

2、教學用具：投影儀、投影片、長方體模型

四、教學思想

（一）創設情景、引入新課

1、思考題：教材第60頁，思考（1）（2）

學生思考、交流，得出

（1）一條直線與平面平行，并不能保證這個平面的所有直線都與這個直線平行；

（2）直線a與平面a平行，過直線a的某一平面，若與平面a相交，則直線a就平行于這條交線。

在教師的啟發下，師生共同完成該結論的證明過程。

于是，得到直線與平面平行的性質定理。

定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a//a■

a3a/b

aQ歲b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、例3培養學生思維，動手能力，激發學習興趣。

例4性質定理的直接應用，它滲透著化歸思想，教師應多做引導。

3、思考：如果兩個平面平行，那么一個平面的直線與另一個平面的直線具有什么樣的位置關系？

學生借助長方體模型思考、交流得出結論：異面或平行。

再問：平面AC哪些直線與B'D'平行？怎么找？

在教師的啟發下，師生

Word文檔

共同完成該結論及證明過程，于是得到兩個平面平行的性質定理。

定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示:

a〃BaAYa

3H=b

教師指出：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

4、例5

以講授為主，引導學生共同完成，逐步培養學生應用定理解題的能力。

（三）自主學習、鞏固知識

練習：課本第63頁學生獨立完成，教師進行糾正。

（四）歸納整理、整體認識

1、通過對兩個性質定理的學習，大家應注意些什么？

2、本節課涉及到哪些主要的數學思想方法？

（五）布置作業

課本第65頁習題2.2A組第6題。

教學反思:

S.3.1直線與平面垂直的判定

、教學目標

Word文檔

1、知識與技能

（1）使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；

（2）使學生掌握判定直線和平面垂直的方法；

（3）培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論。

2、過程與方法

（1）通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；

（2）探究判定直線與平面垂直的方法。

3、情態與價值

培養學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知。

二、教學重點、難點

直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。

三、教學設計

（一）創設情景，揭示課題

1、教師首先提出問題：在現實生活中，我們經常看到一些直線與平面垂直的現象，例如：“旗桿與地

面，大橋的橋柱和水面等的位置關系”，你能舉出一些類似的例子嗎？然后讓學生回憶、思考、討論、教師

對學生的活動給予評價。

2、接著教師指出：一條直線與一個平面垂直的意義是什么？并通過分析旗桿與它在地

面上的射影的位置關系引出課題容。

（二）研探新知

1?如果直線L與平面a的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作

L丄a,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖2.3-1，直線與平面垂直時它們唯一公共

點P叫做垂足。并對畫示表示進行說明。

圖2-3-1

2、老師提出問題，讓學生思考：

（1）問題：雖然可以根據定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可

行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

（2）師生活動：請同學們準備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖

△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（

BD、DC與

2.3-2試驗：過

L

Word文檔

桌面接觸），問如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？

圖2.3-2

（3）歸納結論：引導學生根據直觀感知及已有經驗（兩條相交直線確定一個平面），進

行合情推理，獲得判定定理：

一條直線與一個平面的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

老師特別強調：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b）定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

（三）實際應用，鞏固深化

（1）課本P69例1教學（2）課本P69例2教學

（四）歸納小結，課后思考

小結：采用師生對話形式，完成下列問題：

①請歸納一下獲得直線與平面垂直的判定定理的基本過程。②直線與平面垂直的判定

定理，體現的教學思想方法是什么？

課后作業：

①課本P70練習2

②求證：如果一條直線平行于一個平面，那么這個平面的任何垂線都和這條直線垂直。

思考題：如果一條直線垂直于平面的無數條直線，那么這條直線就和這個平面垂直，這

個結論對嗎？為什么？

教學反思：

§2.3.2平面與平面垂直的判定

一、教學目標

1、知識與技能

（1）使學生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個平面互相垂

Word文檔

直”的概念;

（2）使學生掌握兩個平面垂直的判定定理及其簡單的應用；

（3）使學生理會“類比歸納”思想在數學問題解決上的作用。

2、過程與方法

（1）通過實例讓學生直觀感知“二面角”概念的形成過程；

（2）類比已學知識，歸納“二面角”的度量方法及兩個平面垂直的判定定理。

3、情態與價值

通過揭示概念的形成、發展和應用過程，使學生理會教學存在于觀實生活周圍，從中

激發學生積極思維，培養學生的觀察、分析、解決問題能力。

二、教學重點、難點。

重點：平面與平面垂直的判定；難點：如何度量二面角的大小。

三、學法與教學用具。

1、學法：實物觀察，類比歸納，語言表達。2、教學用具：二面角模型（兩塊硬紙板）

四、教學設計

（一）創設情景，揭示課題

問題1:平面幾何中“角”是怎樣定義的？

問題2:在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的?它們有什么

共同的特征？

（二）研探新知

1、二面角的有關概念

老師展示一紙面，并對折讓學生觀察其狀，然后引導學生用數學思維思考，并對以上

問題類比，歸納出二面角的概念及記法表示（如下表所示）

角二面角

圖形

頂點0邊B

A

梭l

BM

定義

從平面一點出發的兩條射線（半直

線）所組成的圖形

從空間一直線出發的兩個半平面所組

成的圖形

構成射線一點（頂點）一一射線半平面一線（棱）一半平面

Word文檔

表示/AOB二面角a-l-B或aAB-3

2、二面角的度量

面角定理地反映了兩個平面相交的位置關系，如我們常說“把門開大一些”，是指二面

角大一些，那我們應如何度量二兩角的大小呢？師生活動：師生共同做一個小實驗（預先準

備好的二面角的模型）在其棱上位取一點為頂點，在兩個半平面各作一射線（如圖2.3-3），

通過實驗操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教師特別指出：

（1）在表示二面角的平面角時，要求“OA丄L”,0B丄L;

（2）/AOB的大小與點0在L上位置無關；

（3）當二面角的平面角是直角時，這兩個平面的位置關系怎樣？

承上啟下，引導學生觀察，類比、自主探究，

獲得兩個平面互相垂直的判定定理：

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

（三）應用舉例，強化所學

例題：課本P.72例3

做法：教師引導學生分析題意，先讓學生自己動手推理證明，然后抽檢學生掌握情況,教師最后講評并

板書證明過程。

（四）運用反饋，深化鞏固

問題：課本P.73的探究問題

（五）小結歸納，整體認識（1）二面角以及平面角的有關概念；

（2）兩個平面垂直的判定定理的容，它與直線與平面垂直的判定定理有何關系?

教學反思：

§、3.3直線與平面垂直的性質

§、3.4平面與平面垂直的性質

一、教學目標

1、知識與技能

做法：學生思考（或分組討論），老師與學生對話完成。

Word文檔

（1）使學生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理；

（2）能運用性質定理解決一些簡單問題；

（3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯系。

2、過程與方法

（1）讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；

（2）性質定理的推理論證。

3、情態與價值

通過“直觀感知、操作確認，推理證明”，培養學生空間概念、空間想象能力以及邏輯

推理能力。

二、教學重點、難點

兩個性質定理的證明。

三、學法與用具

（1）學法：直觀感知、操作確認，猜想與證明。

（2）用具：長方體模型。

四、教學設計

（一）創設情景，揭示課題

問題：若一條直線與一個平面垂直，則可得到什么結論？若兩條直線與同一個平面垂

直呢？

讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們

一起來觀察、研探。（自然進入課題容）

（二）研探新知

1、操作確認

觀察長方體模型中四條側棱與同一個底面的位置關系。如圖2.3—4，在長方體ABCD—

11111111

ABCD中，棱AA、BB、CC、DD所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間是有什么位置關系？（顯然互相平

行）然后進一步遷移活動：已知直線a丄a、b丄a、那么直線a、b一

定平行嗎？（一定）我們能否證明這一事實的正確性呢？

2、推理證明

引導學生分析性質定理成立的條件，介紹證明性質定理成立的特殊方法一一反證法,

Word文檔

然后師生互動共同完成該推理過程，最后歸納得出:

垂直于同一個平面的兩條直線平行。

（三）應用鞏固

例子：課本P.74例4

做法：教師給出問題，學生思考探究、判斷并說理由，教師最后評議。

（四）類比拓展，研探新知

類比上面定理：若在兩個平面互相垂直的條件下，又會得出怎樣的結論呢？例如：如何在黑板面上畫一

條與地面垂直的直線？

引導學生觀察教室相鄰兩面墻的交線，容易發現該交線與地面垂直，這時，只要在黑

板上畫出一條與這交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直。然后師生互動，共同完成性

質定理的確認與證明，并歸納性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

（五）鞏固深化、發展思維

思考1、設平面a丄平面點P在平面a,過點P作平面B的垂線a,直線a與平面a具有什么位置關系？

（答：直線a必在平面a）

思考2、已知平面a、B和直線a,若a丄B,a丄B,aa,則直線a與平面a具有什么位置關系？

（六）歸納小結課后鞏固

小結：（1）請歸納一下本節學習了什么性質定理，其容各是什么？

（2）類比兩個性質定理，你發現它們之間有何聯系？

作業：（1）求證：兩條異面直線不能同時和一個平面垂直；

（2）求證：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

教學反思:

第三章直線與方程

3.1.1直線的傾斜角和斜率

教學目標：知識與技能

(1)正確理解直線的傾斜角和斜率的概念.

Word文檔

(2)理解直線的傾斜角的唯一性.

(3)理解直線的斜率的存在性.

(4)斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.情感態度與價值觀

(1)通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生

觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

(2)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，

培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精

神.

重點與難點：直線的傾斜角、斜率的概念和公式?

教學用具：計算機

教學方法：啟發、引導、討論?

教學過程：

(一)直線的傾斜角的概念

我們知道，經過兩點有且只有(確定)一條直線?那么，經過一點P的直線I的位置能確定嗎？如圖，過一

點P可以作無數多條直線a,b,c,…易見，答案是否定的?這些直線有什么聯系呢？

(1)它們都經過點P.(2)它們的’傾斜程度’不同怎樣描述這種’傾斜程度’的不同？引入直線的傾斜角的概

念：

當直線I與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線I向上方向之間所成的角a叫做直線I的傾

斜角?特別地，當直線I與X軸平行或重合時，規定a=0°

冋：傾斜角a的取值圍是什么？0°WaV「

當直線I與X軸垂直時，a=90°

因為平面直角坐標系的每一條直線都有確定的傾斜程度，引入直線的傾斜角之后，我

們就可以用傾斜角a來表示平面直角坐標系的每一條直線的傾斜程度

如圖，直線a//b//c,那么它們

的傾斜角a相等嗎？答案是肯定的?所以一個傾斜角a不能確定一條直線.

Word文檔

確定平面直角坐標系的一條直線位置的幾何要素：一個點P和一個傾斜角a..

(二)直線的斜率：

一條直線的傾斜角a(a^90。)的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示,

也就是

k=tana

⑴當直線I與x軸平行或重合時，a=0°,k=tanO°=0;

⑵當直線I與x軸垂直時，a=90°,k不存在.

由此可知，一條直線I的傾斜角a—定存在，但是斜率k不一定存在.

例如，a=45°時k=tan45°=1;

a=135°時k=tan135°tan(。一45°)=-tan45°-1.

學習了斜率之后，我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.

(三)直線的斜率公式：

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1豐x2,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率？

可用計算機作動畫演示：直線P1P2的四種情況，并引導學生如何作輔助線，

共同完成斜率公式的推導.(略)

斜率公式：

對于上面的斜率公式要注意下面四點：

(1)當X仁x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角a=90°,直線與x軸垂直；

(2)k與P1、P2的順序無關，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換，但分

子與分母不能交換；

(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；

⑷當y仁y2時，斜率k=0,直線的傾斜角a=0°，直線與x軸平行或重合.

(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到.

(四)例題:

例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是

銳角.(用計算機作直線,圖略)

分析：已知兩點坐標，而且x1工x2,由斜率公式代入即可求得k的值；

而當k=tana<0時，傾斜角a是鈍角；

而當k=tana>0時，傾斜角a是銳角；

而當k=tana=0時，傾斜角a是0°

略解：直線AB的斜率k1=1/7>0,所以它的傾斜角a是銳角；

直線BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的傾斜角a是鈍角；

直線CA的斜率k3=1>0,所以它的傾斜角a是銳角.

例2在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1,-1,2,及-3的直線a,b,c,l.分析:要畫出

經過原點的直線a,只要再找出a上的另外一點M.而M的坐標可以根據直線a的斜率確定；或者k=tan

a=1是特殊值，所以也可以以原點為角的頂點,x軸的正半軸為角的一邊，在x軸的上方作45°的角再

把所作的這一邊反向延長成直線即可.

略解：設直線a上的另外一點M的坐標為（x,y）,根據斜率公式有

仁（y-0）/（x—0）

所以x=y

可令x=1,則y=1,于是點M的坐標為（1,1）.此時過原點和點

Word文檔

M（1,1）,可作直線a.

同理，可作直線b,c,l.（用計算機作動畫演示畫直線過程）

（五）練習：P911.2.3.4.

（六）小結：

（1）直線的傾斜角和斜率的概念.

（2）直線的斜率公式.

（七）課后作業：P94習題3.11.3.

（八）板書設計：

§3.1.1……

1?直線傾斜角的概念3.例1..練習1練習3

2.直線的斜率

4.例2……練習2練習4

3.1.2兩條直線的平行與垂直（）

教學目標

（一）知識教學

理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直

（二）能力訓練

通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用已有知識解決新問題的能力，以及數形結

合能力.

（三）學科滲透

通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，合作交流的學習方式激發學生的學習興

趣.

重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點，要求學生能熟練掌握，并靈活運用.

Word文檔

難點：啟發學生，把研究兩條直線的平行或垂直問題問題.

注意：對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況決好這

個問題.

教學過程

（一）先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直

上一節課，我們已經學習了直線的傾斜角和斜率的概念

表示直線相對于x軸的傾斜程度，并推導出了斜率的坐標計算公

式

?現在，我們來研究能否通過

兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直.

討論：兩條直線中有一條直線沒有斜率，（1）當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜

角都為90。，它們互相平行；（2）當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°,另

一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直.

（二）兩條直線的斜率都存在時，兩直線的平行與垂直

設直線L1和L2的斜率分別為k1和k2.我們知道，兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的，而兩

條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的.所以我們下面要研究的

問題是：兩條互相平行或垂直的直線，它們的斜率有什么關系？

首先研究兩條直線互相平行（不重合）的情形.如果L1//L2（圖1-29）,那么它們的傾斜角相等：

a1=邊.（借助計算機，讓學生通過度量，感知al，a的關系）

tgai=tga.

即k仁k2.

反過來，如果兩條直線的斜率相等：即k1=k2，那么tga仁tga.

由于0°WaV°,0°WaV°,

--a1=a2.

又???兩條直線不重合，

???L1//L2.

結論：兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那

么它們平行，即

注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立.即如果

k仁k2，那么一定有L1/L2;反之則不一定.

下面我們研究兩條直線垂直的情形.

如果L1丄L2,這時a1^a2，否則兩直線平行.

設a2Va1（圖1-30），甲圖的特征是L1與L2的交點在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點在x軸下

方；丙圖的特征是L1與L2的交點在x軸上，無論哪種情況下都有

a1=90°+a2.

因為L1、L2的斜率分別是k1、k2，即a1M90°，所以代工0°.

反謎來，文哮;k]=-—,即kj*=-1,不失一般性.設0,

可以推出：a仁90°邊.L1丄L2.

結論：兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒

數，那么它們互相垂直，即

,轉化為研究兩條直線的斜率的關系

,在課堂上老師應提醒學生注意解

,而且知道，可以用傾斜角和斜率來

Word文檔

注意：結論成立的條件?即如果k1k2=-1,那么一定有L1丄L2;反之則不一定.

(借助計算機，讓學生通過度量，感知k1,k2的關系，并使L1(或L2)轉動起來，但仍保持L1丄L2,觀察k1,

k2的關系，得到猜想，再加以驗證?轉動時，可使al為銳角，鈍角等).

例題

例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2)，試判斷直線BA與PQ的位置關系，并證明你的

結論?

分析：借助計算機作圖，通過觀察猜想：BA//PQ,再通過計算加以驗證?(圖略)

解：直線BA的斜率k仁(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

因為k仁k2=0.5,所以直線BA/PQ.

例2已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形

ABCD的形狀，并給出證明?(借助計算機作圖，通過觀察猜想：四邊形ABCD是平行四邊形，再通過計算加以驗

證)

解同上?

例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),試判斷直線AB與PQ的位置關系?解：直線AB的斜率k仁

(6-0)/(3-(-6))=2/3,

直線PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,因為k1k2=-1所以AB丄PQ.

例4已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),試判斷三角形ABC的形狀?

分析：借助計算機作圖，通過觀察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB丄BC,再通過計算加以驗

證?(圖略)

課堂練習

P94練習1.2.

課后小結

(1)兩條直線平行或垂直的真實等價條件；(2)應用條件，判定兩

條直線平行或垂直.

(3)應用直線平行的條件，判定三點共線.布置作業

P94習題3.15.8.

板書設計

Word文檔

§1-9兩條宜繼旳平疔占垂宜

兩育犠平fT

兩肓抵幸育

例1

PU3

例2例4

321直線的點斜式方程

一、教學目標

1、知識與技能

（1）理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用圍；

（2）能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程。

（3）體會直線的斜截式方程與一次函數的關系?

2、過程與方法

在已知直角坐標系確定一條直線的幾何要素——直線上的一點和直線的傾斜角的基礎上，通過師生探

討，得出直線的點斜式方程；學生通過對比理解“截距”與“距離”的區別。

3、情態與價值觀

通過讓學生體會直線的斜截式方程與一次函數的關系，進一步培養學生數形結合的思想，滲透數學中普

遍存在相互聯系、相互轉化等觀點，使學生能用聯系的觀點看問題。

二、教學重點、難點：

（1）重點：直線的點斜式方程和斜截式方程。

（2）難點：直線的點斜式方程和斜截式方程的應用。

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

1、在直線坐標系確疋條直線，使學生在已有學生回顧，并回答。然后教師指

應知道哪些條件？

知識和經驗的基礎

上，探索新知。

出，直線的方程，就是直線上任意一點

的坐標（x,y）滿足的關系式。

2、直線l經過點P0（xo,y。），且

培養學生自主學生根據斜率公式，可以得到，

探索的能力，并體

yV。

當xX。時，kyy，即

斜率為k。設點P（x,y）是直線1

會直線的方程，就

是直線上任意一XX。

上的任意一點，請建立x,y與

點的坐標（x,y）yy。k（xx。）（1）

k,x0,y0

之間的關系。

滿足的關系式，從教師對基礎薄弱的學生給予關

而掌握根據條件注、引導，使每個學生都能推導出

求直線方程的方法。

這個方程。

3、（1）過點Po（Xo,y。），斜率

是

k的直線1上的點，其坐標都滿足

使學生了解方程為

直線方程必須滿兩個

條件。

學生驗證，教師引導。

Word文檔

方程（1）嗎？

問題設計意圖師生活動

（2）坐標滿足方程（1）的點都在

經過Po（Xo,yo）,斜率為k的直線

l上嗎？

使學生了解方程為

直線方程必須滿兩個

條件。

學生驗證，教師引導。然后教師指出

方程（1）由直線上一定點及其斜率確

定，所以叫做直線的點斜式方程，簡稱

點斜式（pointslopeform）.

4、直線的點斜式方程能否表示坐標平

面上的所有直線呢？

使學生理解直線的點

斜式方程的適用圍。

學生分組互相討論，然后說明理由。

5、（1）X軸所在直線的方程是什

么？y軸所在直線的方程是什么？

（2）經過點F0（Xo,y。）且平行于

x軸（即垂直于y軸）的直線方程是什

么？

（3）經過點Po（Xo,yo）且平行于

y軸（即垂直于x軸）的直線方程是什

么？

進一步使學生理解

直線的點斜式方程的

適用圍，掌握特殊直

線方程的表示形式。

教師學生引導通過畫圖分析，求得問

題的解決。

6、例1的教學。

學會運用點斜式方程

解決問題，清楚用點斜

式公式求直線方程必

須具備的兩個條件：

（1）一個定點；

（2）有斜率。同

時掌握已知直線方程

畫直線的方法。

教師引導學生分析要用點斜式求直

線方程應已知那些條件？題目那些條件

已經直接給予，那些條件還有待已去

求。在坐標平面，要畫一條直線可以怎

樣去畫。

7、已知直線l的斜率為k，且與

y軸的交點為（0,b），求直線l的方

程。

引入斜截式方程，

讓學生懂得斜截式方

程源于點斜式方程，

是點斜式方程的一種

特殊情形。

學生獨立求岀直線1的方程：

ykxb（2）

再此基礎上，教師給出截距的概

念，引導學生分析方程（2）由哪兩個條

件確定，讓學生理解斜截式方程概念的

涵。

8、觀察方程ykxb，它的

形式具有什么特點？

深入理解和掌握

斜截式方程的特點？

學生討論，教師及時給予評價。

Word文檔

問

題設計意圖師生活動

9、直線y

kxb在x軸上的

使學生理解

“截距”與“距離”

兩

學生思考回答，教師評價。

截距是什么？

個概念的區別。

10、你如何從直線方程的角度認

體會直線的斜

學生思考、討論，教師評價、歸納

識一次函數ykxb?一次函

截式方程與一次函數

的關系?

概括。

數中k和b的幾何意義是什么？你

能說出一次函數

y2x1,y3x,yx3

圖象的特點嗎？

11、例2的教學。掌握從直線方

教師引導學生分析：用斜率判斷

程的角度判斷兩兩條直線平行、垂直結論。思考（1）

條直線相互平行，或

相互垂直；進一

11//12

時，k1,k2;b1,b2

有何關

步理解斜截式方

系？（2）hI2時，匕*2山1山2

程中k,b的幾何

有何關系？在此由學生得出結論：

意義。

11//12k1k2,且b1b2

；

1112k1k21

12、課堂練習第100頁練習第1，鞏固本節課所學學生獨立完成，教師檢查反饋。

2，3，4題。過的知識。

13、小結使學生對本節課教師引導學生概括：（1）本節課我

所學的知識有一們學過那些知識點；（2）直線方程

個整體性的認識，的點斜式、斜截式的形式特點和適

了解知識的來龍用圍是什么？（3）求一條直線的

去脈。方程，要知道多少個條件？

14、布置作業:第106頁第1題鞏固深化學生課后獨立完成。

的（1）、（2）、

（3）和第3、5題

322直線的兩點式方程

一、教學目標

1、知識與技能

（1）掌握直線方程的兩點的形式特點及適用圍；

（2）了解直線方程截距式的形式特點及適用圍。

2、過程與方法

讓學生在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論，并通過新舊知識的比較、分析、應用獲得新知識的特

點。

3、情態與價值觀

Word文檔

(1)認識事物之間的普遍聯系與相互轉化;

(2)培養學生用聯系的觀點看問題。

二、教學重點、難點：

1、重點：直線方程兩點式。

2、難點：兩點式推導過程的理解。

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

1、利用點斜式解答如下問遵循由淺及教師引導學生：根據已有的知識，要求

題：深，由特殊直線方程，應知道什么條件？能不能把問

到一般的認題轉化為已經解決的問題呢？在此基礎

(1)已知直線1經過兩點

知規律。使上，學生根據已知兩點的坐標，先判斷是

學生在已有否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而

R(1,2),P2(3,5),求直線1的方

的知識基礎可求出直線方程：

程?上獲得新結3

(2)已知兩點論，達到溫

(1)y2-(X1)

故知新的目2

P1(

X1,X2),P2(X2,y2)其中

的。

y2y1

y*-——(x)

(X1X2,%丫2)，求通過這

X2X1

兩點的直線方程。

教師指出：當yy時，方程可以寫成

yy1X

------------------(X1hy2)

y2y1X2X1

由于這個直線方程由兩點確定，所以我們

把它叫直線的兩點式方程，簡稱兩點式

(two-pointform).

使學生懂得教師引導學生通過畫圖、觀察和分析，

2、右點P|(X1,X2),P2(X2,y2)兩占式的話

六V、丄JHJ發現當X1X2

時，直線與X軸垂直，所

中有X

1

X

2

，或y1y2

，此

知的兩點不

以直線方程為：XX

1

；當y1y2

時，

時這兩點的直線方程是什么？滿足兩點式

的條件時它

的方程形

直線與y軸垂直，直線方程為：yy1

。

式。

問題設計意圖師生活動

3、例3教學使學生學會教師引導學生分析題目中所給的條件有什

已知直線l與X軸的交點為

用兩點式求

直線方程；

么特點？可以用多少方法來求直線l的方

理解截距式程？那種方法更為簡捷？然后由求出直線

A(a,0),與y軸的交點為

源于兩點方程：

式，是兩點

B(0,b)，其中a0,b0,

式的特殊情

八1

形。

ab

Word文檔

求直線1的方程。

教師指出：a,b的幾何意義和截距式方程的概

念。

4、例4教學

已知三角形的三個頂點A（-5，

0），B（3，-3），C（0，2），求

BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線

所在直線的方程。

讓學生學會

根據題目中所

給的條件，選

擇恰當的直線

方程解決問

題。

教師給出中點坐標公式，學生根據自己的理解，

選擇恰當方法求出邊BC所在的

直線方程和該邊上中線所在直線方程。在此基礎

上，學生交流各自的作法，并進行比較。

5、課堂練習

第102頁第1、2、3題。

學生獨立完成，教師檢查、反饋。

6、小結

增強學生對直

線方種四種形

式（點斜式、

斜截式、兩點

式、截距式）

互相之間的聯

系的理解。

教師提出：（1）到目前為止，我們所學過的直線

方程的表達形式有多少種？它們之間有什么關

系？

（2）要求一條直線的方程，必須知道多少個條

件？

7、布置作業

鞏固深化，培

養學生的獨立

解決問題的能

力。

學生課后完成

323直線的一般式方程

一、教學目標

1、知識與技能

（1）明確直線方程一般式的形式特征；

（2）會把直線方程的一般式化為斜截式，進而求斜率和截距；

（3）會把直線方程的點斜式、兩點式化為一般式。

2、過程與方法

學會用分類討論的思想方法解決問題。

3、情態與價值觀

（1）認識事物之間的普遍聯系與相互轉化；

（2）用聯系的觀點看問題。

二、教學重點、難點：

1、重點：直線方程的一般式。

2、難點：對直線方程一般式的理解與應用。

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

Word文檔

1、（1）平面直角坐標系中的每一

使學生理解直線和

二元一次

教師引導學生用分類討論的方法思考探究問題

（1），即直線存在斜率和直

Word文檔

條直線都可以用一個關于x,y

方程的關系。

線不存在斜率時求出的直線方程是否都為二元

一次方程。對于問題(2)，教

的二兀一次方程表示嗎？師引導學生理解要判斷某一個方程是

(2)每一個關于x,y的二元一

否表示一條直線，只需看這個方程是否可以轉

化為直線方程的某種形式。為此

次方程AxByC0(A，

要對B分類討論，即當B0時和當

B不冋時為0)都表示條直線B=0時兩種情形進行變形。然后由學生

嗎？去變形判斷，得出結論：

關于x,y的二兀一次方程，它都表

示條直線。

教師概括指出：由于任何一條直線都

可以用一個關于x,y的二兀一次方程

表示；同時，任何一個關于x,y的二

兀次方程都表示條直線。

我1們于把關于關」￡y的J—丿元

次方程AxByC0(A,B不

冋時為o)叫做直線的一般式方程，簡稱一般

式(generalform).

2、直線方程的一般式與其他幾種使學生理解直學生通過對比、討論，發現直線方程

形式的直線方程相比，它有什么線方程的一般的一般式與其他形式的直線方程的一

優點？式的與其他形個不同點是：

問題設計意圖師生活動

式的不同點。

直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直

線，而點斜式、斜截式、兩點式方程，都不能

表示與x軸垂直的直線。

3、在方程AxByC0

使學生理解二

元一次方程的

系數和常數項

教師引導學生回顧前面所學過的與

中，A,B,C為何值時，方程表

x軸平行和重合、與y軸平行和重合的

示的直線對直線的位置直線方程的形式。然后由學生自主探索

(1)平行于x軸；(2)平行于y

的影響。得到問題的答案。

軸；(3)與x軸重合；(4)與y

重合。

4、例5的教學使學生體會學生獨立完成。然后教師檢查、評價、

已知直線經過點A(6,-4),把直線方程的反饋。指出：對于直線方程的一般式，

點斜式轉化為一般

式，把握直

一般作如下約定：一般按含x項、含y

Word文檔

4

斜率為一，求直線的點斜式和

3

一般式方程。

線方程一般式的特

點。

項、常數項順序排列；X項的系數為正；x,

y的系數和常數項一般不出現分數；無特加要

時，求直線方程的結果寫成一般式。

5、例6的教學使學生體會直先由學生思考解答，并讓一個學生上

把直線|的一般式方程

線方程的一般黑板板書。然后教師引導學生歸納出由

式化為斜截式，直線方程的一般式，求直線的斜率和截

x2y60化成斜截式，

和已知直線方距的方法：把一般式轉化為斜截式可求

求出直線l的斜率以及它在x軸

程的一般式求直線

的斜率和

出直線的斜率的和直線在y軸上的截

與y軸上的截距，并畫出圖形。

截距的方法。

距。求直線與X軸的截距，即求直線與X軸

交點的橫坐標，為此可在方程中令

y=0，解出x值，即為與直線與x軸

的截距。

在直角坐標系中畫直線時，通常找出直

線下兩個坐標軸的交點。

6、二兀一次方程的每一個解與坐使學生進一步學生閱讀教材第105頁，從中獲得對

標平面中點的有什么關系？直線理解二元一次問題的理解。

與二兀一次方程的解之間有什么方程與直線的

關系？

關系，體會直解坐

標系把直線與方程

聯系起來。

7、課堂練習鞏固所學知識學生獨立完成，教師檢查、評價。

第105練習第2題和第3(2)和方法。

問題設計意圖師生活動

&小結使學生對直線(1)請學生寫出直線方程常見的幾

方程的理解有種形式，并說明它們之間的關系。

一個整體的認(2)比較各種直線方程的形式特點

識。

和適用圍。

(3)求直線方程應具有多少個條件？

(4)學習本節用到了哪些數學思想方法？

9、布置作業鞏固課堂上所學生課后獨立思考完成。

第106頁習題3.2第10題和學的知識和方

第11題。法。

3.3-1兩直線的交點坐標

三維目標

知識與技能：1。直線和直線的交點

Word文檔

2.二元一次方程組的解

過程和方法：1。學習兩直線交點坐標的求法，以及判斷兩直線位置的方法。

2?掌握數形結合的學習法。

3?組成學習小組，分別對直線和直線的位置進行判斷，歸納過定點的

直線系方程。

情態和價值：1。通過兩直線交點和二元一次方程組的聯系，從而認識事物之間的

的聯系。

2?能夠用辯證的觀點看問題。

教學重點，難點

重點：判斷兩直線是否相交，求交點坐標。

難點：兩直線相交與二元一次方程的關系。

教學方法：啟發引導式

在學生認識直線方程的基礎上，啟發學生理解兩直線交點與二元一次方程組的的相互關系。引導

學生將兩直線交點的求解問題轉化為相應的直線方程構成的二元一次方程組解的問題。由此體會“形”的問題

由“數”的運算來解決。

教具：用POWERPOINT課件的輔助式教學

教學過程：

一?情境設置，導入新課

用大屏幕打出直角坐標系中兩直線，移動直線，讓學生觀察這兩直線的位置關系。

課堂設問一：由直線方程的概念，我們知道直線上的一點與二元一次方程的解的

關系，那如果兩直線相交于一點，這一點與這兩條直線的方程有何關系？

二?講授新課

1.分析任務，分組討論，判斷兩直線的位置關系

已知兩直線L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0

如何判斷這兩條直線的關系？

教師引導學生先從點與直線的位置關系入手，看表一，并填空。

幾何兀素及關系代數表示

點AA(a,b)

直線LL:Ax+By+C=0

點A在直線上

直線L1與L2的交點A

課堂設問二：如果兩條直線相交，怎樣求交點坐標？交點坐標與二元一次方程組有什關系？

學生進行分組討論，教師引導學生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組有何關系？

(1)若二元一次方程組有唯一解，L1與L2相交。

(2)若二元一次方程組無解，則L1與L2平行。

(3)若二元一次方程組有無數解，則L1與L2重合。

課后探究：兩直線是否相交與其方程組成的方程組的系數有何關系？

2.例題講解，規表示，解決問題

例題1:求下列兩直線交點坐標

Word文檔

得x=-2,y=2

所

以

L1

與

L2

的

交

點

坐

標

為

教師可以讓學生自己動手解方程組，看解題是否規，條理是否清楚，表達是否簡潔，然后才進行

講解。

同類練習：書本110頁第1，2題。

例2判斷下列各對直線的位置關系。如果相交，求出交點坐標。

(1)L1:x-y=0，L2：3x+3y-10=0

(2)L1:3x-y=0，L2：6x-2y=0

(3)L1:3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0

這道題可以作為練習以鞏固判斷兩直線位置關系。三?啟發拓展，靈活應用。

課堂設問一。當變化時，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示何圖形，圖

形

有何特點？求出圖形的交點坐標。

(1)可以一用信息技術，當取不同值時，通過各種圖形，經過觀察，讓

學生從直觀上得出結論，同時發現這些直線的共同特點是經過同一點。

(2)找出或猜想這個點的坐標，代入方程，得出結論。

L1:3x+4y-2=0

L1:2x+y+2=0

解：解方程組

3x4y20

2x2y20

M(-2,2),如圖3。3。1。

Word文檔

(3)結論，方程表示經過這兩條直線L1與L2的交點的直線的集合。

例2已知a為實數，兩直線h：axy10,「:xya0相交于一點,

求證交點不可能在第一象限及x軸上.

分析：先通過聯立方程組將交點坐標解出，再判斷交點橫縱坐標的圍

Word文檔

又因為a為任意實數時，都有a211>0,故-——1豐0

a1

因為a工1(否則兩直線平行，無交點)，所以，交點不可能在x軸上-，得交點(—

a1a21

a1，a1)

四?小結：直線與直線的位置關系，求兩直線的交點坐標，能將幾何問題轉化為代數問題來解決，并能

進行應用。

五.練習及作業：

1.光線從M(-2,3)射到x軸上的一點P(1,0)后被x軸反射，求反射光線所在的直線方

程。

2.求滿足下列條件的直線方程。

經過兩直線2x-3y+10=0與3x+4y-2=0的交點，且和直線3x-2y+4=0垂直。

板書設計：略

3.3.2直線與直線之間的位置關系-兩點間距離

三維目標

知識與技能：掌握直角坐標系兩點間距離，用坐標法證明簡單的幾何問題。

過程和方法：通過兩點間距離公式的推導，能更充分體會數形結合的優越性。

情態和價值：體會事物之間的在聯系，，能用代數方法解決幾何問題

教學重點，難點：重點，兩點間距離公式的推導。難點，應用兩點間距離公式證明幾何問題。

教學方式：啟發引導式。

教學用具：用多媒體輔助教學。

教學過程：

一，情境設置，導入新課

課堂設問一：回憶數軸上兩點間的距離公式,

____2

平面直角坐標系中兩點RP2X2X2

分別為M0,*,M2X2,0

直線PN1與F2N2相交于點Q。

222

在直角VABC中，IPP2IRQ||QP|，為了計算其長度，過點R向x軸作垂線，垂足

為M1為,0過點向y軸作垂線，垂足為N0,y2，于是有

222222

PQM2M1x2x,QP?N1N2y2y1

解：解方程組若

a21

FT>0，

則a>1.當a>1時,

㈠<0，此時交點在第二象限

同學們能否用以前所學的知識來解決以下問題

y2y1i.7，分別向x軸和y軸作垂線，垂足

Word文檔

2|22|2

所以，RP2RQQF2=X2Xiy2

由此得到兩點間的距離公式

在教學過程中，可以提出問題讓學生自己思考，教師提示，根據勾股定理，不難得到。

，例題解答，細心演算，規表達。例1:以知點A（-1，2），B（2,J7），在x軸上求一點，使

PAPB,并求PA的值。

解：設所求點P（X，0），于是有

.x12022,x220.72

由|PA|PB得

22

x2x5x4x11解得x=1o

所以，所求點P（1,0）且|PA1120222近通過例題，使學生對兩

點間距離公式理解。應用。

12+0

解法二：由已知得，線段AB的中點為M—,-,直線AB的斜率為

22

k=—=―?

x

_1

322—宀2

2+031

線段AB的垂直平分線的方程是y-=------=?x—-

22-宀2

在上述式子中，令y=0,解得x=1o

所以所求點P的坐標為（1,0）o因此

PA=、1+22+0—22=2,2

同步練習：書本112頁第1,2題

三.鞏固反思，靈活應用。（用兩點間距離公式來證明幾何問題。）

例2證明平行四邊行四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。

分析：首先要建立直角坐標系，用坐標表示有關量，然后用代數進行運算，最后把代數運算

“翻譯”成幾何關系。

這一道題可以讓學生討論解決，讓學生深刻體會數形之間的關系和轉化，并從中歸納出應用

代數問題解決幾何問題的基本步驟。

證明：如圖所示，以頂點A為坐標原點，AE邊所在的直線為x軸，建立直角坐標

系，有A（0,0）o

設B（a,0）,D（b,c），由平行四邊形的性質的點C的坐標為（a+b,c），因為

22222222

2

yi

/22

、_X2X2y2yi

PA

Word文檔

ABa2,CD|a2,ADb2c2|BC

2$?22?

ACab+c，ED=b—a+c

2222

999

所以，AB+CD|+AD+BC=2a+b+c2

AC+BD=2a+b+c所以，

222222AB+CD|+AD|+BC|=AC+BD

因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。

上述解決問題的基本步驟可以讓學生歸納如下：第一步：建立直角坐標系，用坐標表示有關的量。第二

步：進行有關代數運算。

第三步；把代數結果“翻譯”成幾何關系。

思考：同學們是否還有其它的解決辦法？還可用綜合幾何的方法證明這道題。

課堂小結：主要講述了兩點間距離公式的推導，以及應用，要懂得用代數的方法解決幾何問

題，建立直角坐標系的重要性。

課后練習1.：證明直角三角形斜邊上的中點到三個頂點的距離相等

2?在直線x-3y-2=0上求兩點，使它與（-2，2）構成一個等邊三角形。

3.（1994全國高考）點（0，5）到直線y=2x的距離是一一

。

板書設計：略。

3.3.3兩條直線的位置關系

—點到直線的距離公式

三維目標：

知識與技能：1.理解點到直線距離公式的推導，熟練掌握點到直線的距離公式；能力和方法：會用點

到直線距離公式求解兩平行線距離-

情感和價值：1。認識事物之間在一定條件下的轉化。用聯系的觀點看問題-

教學重點：點到直線的距離公式-

教學難點：點到直線距離公式的理解與應用.

教學方法：學導式

教具：多媒體、實物投影儀-

教學過程

一、情境設置，導入新課：

前面幾節課，我們一起研究學習了兩直線的平行或垂直的充要條件，兩直線的夾角

公式，兩直線的交點問題，兩點間的距離公式。逐步熟悉了利用代數方法研究幾何問題的思想方法.

這一節，我們將研究怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線I的距

離。

用POWERPOINT打出平面直角坐標系中兩直線，進行移動，使學生回顧兩直線

Word文檔

的位置關系，且在直線上取兩點，讓學生指出兩點間的距離公式,思

考一直線上的計算？能否用兩點間距離公式進行推導？

復習前面所學。要求學生

兩條直線方程如下：

A1x

RyC0

A2x

B?yC20

、講解新課：

1?點到直線距離公式：

點P(x0,y°)到直線I

:AxBy

|Ax°By°C

C0的距離為：d1

O口J3八.M,-----

—

(1)提出問題

在平面直角坐標系中，如果已知某點P的坐標為(xo,y°)，直線=0或B=0時，以上

公式l:AxByC0,怎樣用點的坐標和直線的方程直接求點P到直線I的距離呢？

學生可自由討論。

(2)數行結合，分析問題，提出解決方案

學生已有了點到直線的距離的概念，即由點P到直線I的距離d是點P到直線I的垂線

段的長?

這里體現了“畫歸”思想方法，把一個新問題轉化為

熟悉的問題。

畫出圖形，分析任務，理清思路，解決問題。

方案一：

設點P到直線I的垂線段為PQ,垂足為Q,由PQ

B

丄I可知，直線PQ的斜率為一(AM0),根據點斜式

A

寫出直線PQ的方程，并由I與PQ的方程求出點Q的坐標；由此根據兩點距離公式求出丨PQI,得到點

P到直線I的距離為d-

此方法雖思路自然，但運算較繁?下面我們探討別

一種方法-

一個曾今解決過的問題，一個自己

Q

P(xo，

yo)

方案二：設AM0,BM0，這時I與x軸、y軸都相交，過點P作x軸的平行線，交I于

點R(x「y°);作y軸的平行線，交I于點S(x°,y2),

由AX1By0C0

得x!

Ax0By2C0

By。

A

C

,y2

Ax0C

B

所以，|PR|=|x

0

x

1

Ax°By。C

Word文檔

IPSI=IyoAxoBy。C

________AB2

IRSUJPR2PS2---------x|Ax0By0CI由三角形面積公式可知:

|AB|

d?RSI=IPRI?PS|-

Ax0By0C

所以d—0yo-

VAB2

可證明，當A=0時仍適用-

這個過程比較繁瑣，但同時也使學生在知識，能力。意志品質等方面得到了提高。

3?例題應用，解決問題。

例1求點P=(-1,2)到直線3x=2的距離。

例2已知點A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面積。解：設AB邊上的高為h，則

1SVABC=-AB?h

2

ABJ3121322血,

AB邊上的高h就是點C到AB的距離。

AB邊所在直線方程為

y3X1

1331

即x+y-4=0。

點C到X+Y-4=0的距離為h

1045

h=-----

11

因此，SVABC=^2^2孚5

2V2

通過這兩道簡單的例題，使學生能夠進一步對點到直線的距離理解應用,代數運算解

決幾何問題的優越性。

同步練習：114頁第1,2題。

4.拓展延伸，評價反思。

(1)應用推導兩平行線間的距離公式

已知兩條平行線直線h和12的一般式方程為h:AxByC10,

CiC2

I2:AxByC20,則li與12的距離為d

22

-

UA2B2

解:

312

d=—

、、3o2

能逐步體會用

Word文檔

證明：設P

0

(x

0

,y

0

)是直線AxByC

2

0上任一點，則點P。到直線

AxoBy0Ci

AxByCi0的距離為d——._-

JA

2

B

2

又Ax

0

By

0

C

2

0

CiC2

即Ax°By0C2,「?d=--------------

JA2B2

2x3yi00的距離.

解法一：在直線I

i

上取一點P(4,0),因為l

i

//l

2

例3求兩平行線li:2x3y80,l2:,所以點P到l2的距離等于li與J的距離

243010|22l

于是d)1

v'2232

—Vi3

i3

解法

二

二li//l2又Ci8,C2i0.

8(i0)|

2屈

由兩平行線間的距離公式得d

J2232i3

四、課堂練習：

1,已知一直線被兩平行線3x+4y-7=0與3x+4y+8=0所截線段長為3。且該直線

過點(2,3),求該直線方程。-

五、小結：點到直線距離公式的推導過程，點到直線的距離公式，能把求兩平行線的距離轉化為點到

直線的距離公式-

六、課后作業：

13.求點P(2,-i)到直線2x+3y—3=0的距離.

14.已知點A(a,6)到直線3x—4y=2的距離d=4，求a的值：

i5.已知兩條平行線直線li和12的一般式方程為li:AxByCi0,

CiC2

l2:AxByC20,則li與l2的距離為d-----------------------

A2B2

七?板書設計：略

Word文檔

第四章圓與方程

4.1.1圓的標準方程

三維目標：

知識與技能：1、掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程。

2、會用待定系數法求圓的標準方程。

過程與方法：進一步培養學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數形結合思想，通過圓

的標準方程解決實際問題的學習，注意培養學生觀察問題、發現問題和解決問

題的能力。

情感態度與價值觀：通過運用圓的知識解決實際問題的學習，從而激發學生學習數學的熱情

和興趣。

教學重點：圓的標準方程

教學難點：會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程。

教學過程：

1、情境設置:

在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它

的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方

程來表示，那么，原是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？探索研究：

2、探索研究：

確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心坐標為A(a,b)，半徑為r。(其中a、b、r

都是常數，r>0)設M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是(引導學生自己列

出)P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件

(xa)2(yb)2r①

222

Word文檔

化簡可得：(xa)(yb)r②

引導學生自己證明(xa)(yb)r為圓的方程，得出結論。

方程②就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。

3、知識應用與解題研究

例(1):寫出圓心為A(2,3)半徑長等于5的圓的方程，并判斷點MM5,7),M2(5,1)

是否在這個圓上。

分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。

222

探究：點M(xo,y°)與圓(xa)(yb)r的關系的判斷方法：

(1)(X。

a)2

(yo

22

b)>r，點在圓外

(2)(X。a)2(yob)2

=r2

，點在圓上

(3)(Xoa)2(yo

22

b)

例(2)：VABC的三個頂點的坐標是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圓的方程

222

師生共同分析：從圓的標準方程(Xa)(yb)r可知，要確定圓的標準方

程，可用待定系數法確定a、br三個參數?(學生自己運算解決)

例⑶:已知圓心為C的圓l:xy10經過點A(1,1)和B(2,2)且圓心在l:xy10

上,求圓心為C的圓的標準方程.

師生共同分析：如圖確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小?圓心為C的圓經過點A(1,1)

和B(2,2),由于圓心C與A,B兩點的距離相等，所以圓心C在險段AB的垂直平分線m上,又圓心C在直

線I上，因此圓心C是直線I與直線m的交點，半徑長等于CA或CB。

Word文檔

(教師板書解題過程。)

總結歸納：（教師啟發，學生自己比較、歸納）比較例（2）、例⑶可得出VABC外接圓的標

準方程的兩種求法：

①、根據題設條件，列出關于ab、r的方程組，解方程組得到a、br得值，寫出圓的

標準方程.

根據確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準方

程.

練習：課本p

127

第1、3、4題

提煉小結：

1、圓的標準方程。

2、點與圓的位置關系的判斷方法。

3、根據已知條件求圓的標準方程的方法。

作業：課本Pi30習題4.1第2、3、4題

4.1.2圓的一般方程

三維目標：

知識與技能：（1）在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方

程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑?掌握方

22..

程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.

（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方

Word文檔

程.能用待定系數法求圓的方程。

（3）:培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。

22

過程與方法：通過對方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，培養學生探索發現

2

Word文檔

及分析解決問題的實際能力。

情感態度價值觀：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵

學生創新，勇于探索。

教學重點：圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間的互化，根據

已知條件確定方程中的系數，D、E、F.

教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用-

教具：多媒體、實物投影儀-

教學過程：

課題引入：

問題：求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程。

利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那

么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式一一圓的一般方

程。

探索研究：

請同學們寫出圓的標準方程：

222

(x—a)+(y—b)=r，圓心(a,b)，半徑r.

把圓的標準方程展開，并整理：

22222x+y—2ax—2by+a+b—r=0.

222

取D2a,E2b,Fabr得

29

xyDxEyF0①

這個方程是圓的方程.

22

反過來給出一個形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？

把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得

表示圓？

2222

(1)當D+E—4F>0時，方程②表示(1)當DE4F

-—)為圓心，1―E

2

4F為半徑的圓；

22

(xD)2(y|)2

D2E24F

②(配方過程由學生去完成)這個方程是不是

0時，表示以(-號,

—，即只表示一個

2

Word文檔

22一,、D

(2)當DE4F0時，方程只有實數解x

,y

點（-D,-E）；

22

22

（3）當DE4F0時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形-

29

綜上所述，方程xyDxEyF0表示的曲線不一定是圓-

只有當D2E24F0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如

2222

xyDxEyF0的表示圓的方程稱為圓的一般方程-x1y4

我們來看圓的一般方程的特點：（啟發學生歸納）

22

（1）①x和y的系數相同，不等于0.

②沒有xy這樣的二次項.

（2）圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F,因之只要求出這三個系

數，圓的方程就確定了.

（3）、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓

的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。

知識應用與解題研究:

例1:判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓

心及半徑

14x24y24x12y90

24x24y24x12y110

學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的

一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于14x24y24x12y90來說，這

里的

9十“口

D1,E3,F—而不是D=-4,E=12,F=9.

4

例2:求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。

Word文檔

分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數，而

條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程-

22

解：設所求的圓的方程為：xyDxEyF0

Word文檔

?/A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圓上，所以它們的坐標是方程的解?把它們的坐標代入上

面的方程，可以得到關于D,E,F的三元一次方程組,

例3、已知線段AB的端點B的坐標是(4，3)，端點A在圓上

求線段AB的中點M的軌跡方程。

分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程

22

X1y4。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的

條件，求出點M的軌跡方程。

解：設點M的坐標是(x,y),點A的坐標是

X0,y°由于點B的坐標是4,3且M是線段AB的重點，所以

X04y03

x0,y0,-

①

于是有X02x4,y02y3

,22

即X。1y04

把①代入②，得

p

130

即DEF20

0

4D2EF20

解此方程組，可得：D8,E6,F0-

???所求圓的方程為：

A,

x2

2

y

8x6y0-

r1

、D2E24F

5;

DF

4,3-

222

得圓心坐標為(4,

-3)

或將x2y28x

6y

0左邊配方化為圓的標準方程

而求出圓的半徑r5，圓心坐標為(4,-3)-

，(x

4)2(y

3)225,從

a、

y24運動,

..2

因為點A在圓x1y24上運動，所以點A的坐標滿足方程

22x1y4,

2X012y。

歸納得出使用待定系數法的一般步驟:

選擇標準方程或一般方程；

學生討論交流，

①、根據提議，

②、根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；

③、解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。

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4.2.1直線與圓的位置關系

、教學目標

1、知識與技能

(1)理解直線與圓的位置的種類；

(2)禾U用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離;

(3)會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系.

2、過程與方法

設直線l:axbyc0，圓C:x

2

y

2

DxEyF0,圓的半徑為r，圓心

2?與標準方程的互化

22

2x412y3

4,整理，得

323

x--

2

2

1.對方程x

2

yDxEy

F0的討論(什么時候可以表示圓)

課后作業：p

130

習題4.1第2、

3、6題

小結：

Word文檔

(D,E)到直線的距離為d，則判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾點:

22

(1)當蘭dr時,

直線l與圓C相離;

(2)當蘭dr時,

直線l與圓C相切;

(3)當蘭d

r

時，

直線l與圓C相交;

3、情態與價值觀

讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的位置關系，培養學生數形結合的思想.

二、教學重點、難點：

重點：直線與圓的位置關系的幾何圖形及其判斷方法.

難點：用坐標法判直線與圓的位置關系.

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

1.初中學過的平面幾何中，

直線與圓的位置關系有幾類？

啟發學生由圖

形獲取判斷直線與圓

的位置關系的直觀認

知，引入新課.

師：讓學生之間進行討論、交

流，引導學生觀察圖形，導入新課.

生：看圖，并說出自己的看法.

2?直線與圓的位置關系有哪

幾種呢？

得出直線與圓

的位置關系的幾何特

征與種類.

師：引導學生利用類比、歸納的思

想，總結直線與圓的位置關系的種類，進

一步深化“數形結合”的數學思想.

問題設計意圖師生活動

生：觀察圖形，禾U用類比的方

法，歸納直線與圓的位置關系.

3?在初中，我們怎樣判斷直線與圓

的位置關系呢？如何用直線與圓的方程判

斷它們之間的位置關系呢？

使學生回憶

初中的數學知識，培

養抽象概括能力.

師：引導學生回憶初中判斷直線與

圓的位置關系的思想過程.

生：回憶直線與圓的位置關系的判

斷過程.

4?你能說出判斷直線與圓的

位置關系的兩種方法嗎？

抽象判斷直

線與圓的位置關

師：引導學生從幾何的角度說

明判斷方法和通過直線與圓的方程

Word文檔

系的思路與方法.

說明判斷方法.

生：利用圖形，尋找兩種方法

的數學思想.

5.你能兩種判斷直線與圓的體會判斷直師：指導學生閱讀教科書上的

位置關系的數學思想解決例1的問線與圓的位置關例1.

題嗎？系的思想方法，關生：新聞記者教科書上的例1,

注里與里之間的關

系.

并完成教科書第136頁的練習題2.

6?通過學習教科書的例1,你使學生熟悉生：閱讀例1.

能總結一下判斷直線與圓的位置判斷直線與圓的師；分析例1，并展示解答過

關系的步驟嗎？位置關系的基本程；啟發學生概括判斷直線與圓的

步驟.

位置關系的基本步驟，注意給學生留有總

結思考的時間.

生：交流自己總結的步驟.

師：展示解題步驟.

7?通過學習教科書上的例2，進一步深化師：指導學生閱讀并完成教科書上

你能說明例2中體現出來的數學思“數形結合”的數的例2，啟發學生利用“數形結合”

想方法嗎？學思想.

的數學思想解決問題.

生：閱讀教科書上的例2,并完成

第137頁的練習題.

問題設計意圖師生活動

&通過例2的學習，你發現明確弦長的師：引導并啟發學生探索直線

了什么？運算方法.

與圓的相交弦的求法.

生：通過分析、抽象、歸納，

得出相交弦長的運算方法.

9?完成教科書第136頁的練鞏固所學過師：引導學生完成練習題.

習題1、2、3、4.的知識，進一步理生：互相討論、交流，完成練

解和掌握直線與

圓的位置關系.

習題.

10?課堂小結:

Word文檔

教師提出下列問題讓學生思考：

(1)通過直線與圓的位置關系的判斷，你學到了什么？

(2)判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么?

(3)如何求出直線與圓的相交弦長？

作業：習題4.2A組：1、3?

4.2.2圓與圓的位置關系

一、教學目標

1、知識與技能

(1)理解圓與圓的位置的種類；

(2)利用平面直角坐標系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長；

(3)會用連心線長判斷兩圓的位置關系.

2、過程與方法

設兩圓的連心線長為I，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：

(1)當I口「2時，圓C1與圓C?相離；

(2)當Ir

1

r

2

時，圓C

1

與圓C

2

外切；

(3)當|「1遼|IA遼時，圓C1與圓C2相交；

(4)當1Ir1r2|時，圓C1與圓C2切；

(5)當I|「1「2|時，圓G與圓C2含；

3、情態與價值觀

讓學生通過觀察圖形，理解并掌握圓與圓的位置關系，培養學生數形結合的思想.

二、教學重點、難點：

重點與難點：用坐標法判斷圓與圓的位置關系.

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

1.初中學過的平面幾何中，結合學生已教師引導學生回憶、舉例，并

Word文檔

圓與圓的位置關系有幾類？

有知識以驗，啟發學

生思考，激發學生學

習興趣.

對學生活動進行評價；學生回顧知識點

時，可互相交流.

2.判斷兩圓的位置關系，你引導學生明教師引導學生閱讀教科書中的

有什么好的方法嗎？確兩圓的位置關相關容，注意個別輔導，解答學生

系，并發現判斷和疑難，并引導學生自己總結解題的

解決兩圓的位置方法.

問題設計意圖師生活動

關系的方法.

學生觀察圖形并思考，發表自己的解題方

法.

3.例3培養學生“數教師應該關注并發現有多少學

你能根據題目，在同一個直角形結合”的意識.生利用“圖形”求，對這些學生應該

坐標系中畫出兩個方程所表示的給予表揚.同時強調，解析幾何是

圓嗎？你從中發現了什么？一門數與形結合的學科.

4.根據你所畫出的圖形，可進一步培養師：啟發學生利用圖形的特征，

以直觀判斷兩個圓的位置關系.如學生解決問題、分用代數的方法來解決幾何問題.

何把這些直觀的事實轉化為數學析問題的能力.生：觀察圖形，并通過思考，

語言呢？利用判別式指出兩圓的交點，可以轉化為兩個

來探求兩圓的位圓的方程聯立方程組后是否有實數

護￥方

^置^關糸.

根，進而利用判別式求解.

5.從上面你所畫出的圖形，進一步激發師：指導學生利用兩個圓的圓

你能發現解決兩個圓的位置的其學生探求新知的心坐標、半徑長、連心線長的關系

它方法嗎？

精神，培養學生

來判別兩個圓的位置.

生：互相探討、交流，尋找解決問

題的方法，并能通過圖形的直觀性，利用

平面直角坐標系的兩點間距離公式尋求解

題的途徑.

6.如何判斷兩個圓的位置關從具體到一師：對于兩個圓的方程，我們

系呢？般地總結判斷兩應當如何判斷它們的位置關系呢？

Word文檔

個圓的位置關系

的一般方法.

弓1導學生討論、交流，說出各自

的想法，并進行分析、評價，補充完善判

斷兩個圓的位置關系的方法.

7?閱讀例3的兩種解法，解決第

137頁的練習題.

鞏固方法，并

培養學生解決問題的

能力.

師：指導學生完成練習題.

生：閱讀教科書的例3,并完成第

137頁的練習題.

問題設計意圖師生活動

&若將兩個圓的方程相減，

你發現了什么？

得出兩個圓的

相交弦所在直線的方

程.

師：引導并啟發學生相交弦所在直

線的方程的求法.

生：通過判斷、分析，得出相

交弦所在直線的方程.

9?兩個圓的位置關系是否可

以轉化為一條直線與兩個圓中的一個圓的

關系的判定呢？

進一步驗證

相交弦的方程.

師：引導學生驗證結論.

生：互相討論、交流，驗證結

論.

10?課堂小結：

教師提出下列問題讓學生思考：

(1)通過兩個圓的位置關系的判斷，你學到了什么？

(2)判斷兩個圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？

(3)如何利用兩個圓的相交弦來判斷它們的位置關系？

作業：習題4.2A組：4、7?

423直線與圓的方程的應用

一、教學目標

1、知識與技能

(1)理解直線與圓的位置關系的幾何性質；

(2)利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；

(3)會用“數形結合”的數學思想解決問題.

2、過程與方法

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用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾

何問題轉化為代數問題；

第二步：通過代數運算，解決代數問題；

第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論.

3、情態與價值觀

讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應用，培養學生分析問題與解決問

題的能力.

二、教學重點、難點：

重點與難點：直線與圓的方程的應用.

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

1?你能說出直線與圓的位置啟發并引導師：啟發學生回顧直線與圓的

關系嗎？學生回顧直線與位置關系，導入新課.

圓的位置關系，從生：回顧，說出自己的看法.

而引入新課.

2.解決直線與圓的位置關系，理解并掌握師：引導學生通過觀察圖形，

你將采用什么方法？直線與圓的位置回顧所學過的知識，說出解決問題

關系的解決辦法的方法.

與數學思想.生：回顧、思考、討論、交流，

得到解決問題的方法.

問題設計意圖師生活動

3?閱讀并思考教科書上的例指導學生從師：指導學生觀察教科書上的

4，你將選擇什么方法解決例4的直觀認識過渡到圖形特征，利用平面直角坐標系求

問題？數學思想方法的解.

選擇.

生：自學例4，并完成練習題1、

2.

師：分析例4并展示解題過程，

啟發學生利用坐標法求，注意給學

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生留有總結思考的時間.

4?你能分析一下確定一個圓使學生加深教師引導學生分析圓的方程

的方程的要點嗎？對圓的方程的認中，若橫坐標確定，如何求出縱坐

識.標的值.

5?你能利用“坐標法”解決例5鞏固’坐標

師：引導學生建立適當的平面

嗎？法”，培養學生分直角坐標系，用坐標和方程表示相

析問題與解決問應的幾何兀素，將平面幾何問題轉

題的能力.

化為代數問題.

生：建立適當的直角坐標系，

探求解決問題的方法.

6?完成教科書第140頁的練使學生熟悉教師指導學生閱讀教材，并解

習題2、3、4?平面幾何問題與決課本第140頁的練習題2、3、4.教

代數問題的轉化，師要注意引導學生思考平面幾何問

加深“坐標法”的

解題步驟.

題與代數問題相互轉化的依據.

7?你能說出練習題蘊含了什反饋學生掌學生獨立解決第141頁習題

么思想方法嗎？握“坐標法”解決4?2A第8題，教師組織學生討論

問題的情況，鞏固

所學知識.

交流.

&小結：對知識進行師：指導學生完成練習題.

(1)利用“坐標法”解決問歸納概括，體會利生：閱讀教科書的例3，并完成第

問題設計意圖師生活動

題的需要準備什么工作？用“坐標法”解決教師引導學生自己歸納總結所

(2)如何建立直角坐標系，實際問題的作用.學過的知識，組織學生討論、交流、

才能易于解決平面幾何問題？

(3)你認為學好“坐標法”解決問

題的關鍵是什么？

(4)建立不同的平面直角坐

標系，對解決問題有什么直接的影

探究.

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響呢？

作業：習題4.2B組：1、2.

3?用待定系數法求圓的方程4?求與圓有關的點的軌跡。