雙曲線性質

精品文檔1

2．2．2雙曲線的簡單幾何性質

◆知識與技能目標

了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據條件，求出表示曲線的方程；（2）通過方

程，研究曲線的性質．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸

近線的概念；掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究了

解雙曲線的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術進一步見識圓錐曲線的統一定

義．

◆過程與方法目標

（1）復習與引入過程

引導學生復習得到橢圓的簡單的幾何性質的方法，在本節課中不僅要注意通過對雙曲

線的標準方程的討論，研究雙曲線的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的

進一步地培養．①由雙曲線的標準方程和非負實數的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的

性質得到雙曲線的對稱性；③由圓錐曲線頂點的統一定義，容易得出雙曲線的頂點的坐標及

實軸、虛軸的概念；④應用信息技術的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢圓

通過

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P的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．2．2雙曲線的

簡單幾何性質．

（2）新課講授過程

（i）通過復習和預習，對雙曲線的標準方程的討論來研究雙曲線的幾何性質．

提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小

和位置．要從范圍、對稱性、頂點、漸近線及其他特征性質來研究曲線的幾何性質．

（ii）雙曲線的簡單幾何性質

①范圍：由雙曲線的標準方程得，

22

22

10

yx

ba

???，進一步得：xa??，或xa?．這

說明雙曲線在不等式xa??，或xa?所表示的區域；

②對稱性：由以

x?

代

x

，以y?代y和

x?

代

x

，且以y?代y這三個方面來研究雙

曲線的標準方程發生變化沒有，從而得到雙曲線是以

x

軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心；

③頂點：圓錐曲線的頂點的統一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓

錐曲線的頂點．因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱

軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；

④漸近線：直線

b

yx

a

??叫做雙曲線

22

22

1

xy

ab

??的漸近線；

⑤離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比

a

c

e?叫做雙曲線的離心率（1e?）．

（iii）例題講解與引申、擴展

例3求雙曲線22916144yx??的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸

近線方程．

分析：由雙曲線的方程化為標準方程，容易求出,,abc．引導學生用雙曲線的實半軸長、

虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關量或式子，但要注意焦點在y軸上的漸

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近線是

a

yx

b

??．

擴展：求與雙曲線

22

1

169

xy

??共漸近線，且經過??23,3A?點的雙曲線的標準方及離

心率．

解法剖析：雙曲線

22

1

169

xy

??的漸近線方程為

3

4

yx??．①焦點在x軸上時，設所求

的雙曲線為

22

22

1

169

xy

kk

??，∵??23,3A?點在雙曲線上，∴2

1

4

k??，無解；②焦點在

y軸上時，設所求的雙曲線為

22

22

1

169

xy

kk

???，∵??23,3A?點在雙曲線上，∴2

1

4

k?，

因此，所求雙曲線的標準方程為

22

1

9

4

4

yx

??，離心率

5

3

e?．這個要進行分類討論，但只

有一種情形有解，事實上，可直接設所求的雙曲線的方程為??22

,0

169

xy

mmRm????．

例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面如圖（1），

它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試選擇適當的坐標

系，求出雙曲線的方程（各長度量精確到1m）．

解法剖析：建立適當的直角坐標系，設雙曲線的標準方程為

22

22

1

xy

ab

??，算出,,abc的值；此題應注意兩點：①注意建立直

角坐標系的兩個原則；②關于,,abc的近似值，原則上在沒有注

意精確度時，看題中其他量給定的有效數字來決定．

引申：如圖所示，在P處堆放著剛購買的草皮，現要把這些草皮沿著道路PA

或PB送到呈矩形的足球場ABCD中去鋪墊，已知150APm?，100BPm?，

60BCm?，60APB??．能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距

離”線的兩側的區域應該選擇怎樣的線路？說明理由．

解題剖析：設M為“等距離”線上任意一點，則PAAMPBBM???，

即50BMAMAPBP????（定值），∴“等距離”線是以A、B為焦點的雙曲線

的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為

精品文檔3

??22

13525,060

6253750

xy

xy????????．理由略．

例5如圖，設??,Mxy與定點??5,0F的距離和它到直線l：

16

5

x?的距離的比是常數

5

4

，求點M的軌跡方程．

分析：若設點??,Mxy，則??2

25MFxy???，到直線l：

16

5

x?的距離

16

5

dx??，則容易得點M的軌跡方程．

引申：用《幾何畫板》探究點的軌跡：雙曲線

若點??,Mxy與定點??,0Fc的距離和它到定直線l：

2a

x

c

?的距離比是常數

c

e

a

???0ca??，則點M的軌跡方程是雙曲線．其中定點??,0Fc是焦點，定直線l：

2a

x

c

?相應于F的準線；另一焦點??,0Fc

?

?，相應于F

?的準線l

?

：

2a

x

c

??．

練習：第66頁1、2、3、4、5

作業：第3、4、6