函數的定義

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第

1

節函數的概念及其表示

[要點梳理]

1．函數與映射的概念

類別函數映射

兩個集合A、B設A，B是兩個非空數集設A，B是兩個非空集合

對應關系

f：A→B

如果按照某種確定的對應關系f，

使對于集合A中的任意一個

數x，在集合B中都有唯一確定

的數f(x)和它對應

如果按某一個確定的對應關系f，

使對于集合A中的任意一個元素

x，在集合B中都有唯一確定的元

素y與之對應

名稱

稱f：A→B為從集合A到集合B

的一個函數

稱f：A→B為從集合A到集合B

的一個映射

記法函數y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B

2．函數的定義域、值域

(1)在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x

的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

(2)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為相等函數．

3．函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4．分段函數：

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，

這種函數稱為分段函數．

1．函數是特殊的映射，是A，B為非空數集的映射，其特征：第一，在A中取元素的

任意性；第二，在B中對應元素的唯一性．

2．判斷兩個函數相等的依據是兩個函數的定義域和對應關系完全一致．

3．分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并

集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．

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[基礎自測]

一、思考辨析

判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．

(1)函數是建立在其定義域到值域的映射．()

(2)函數y＝f(x)的圖象與直線x＝a最多有2個交點．()

(3)函數f(x)＝x2

－2x與g(t)＝t

2

－2t是同一函數．()

(4)若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數是相等函數．()

(5)f(x)＝

|x|

x

與g(x)＝

?

?

?

??

?

01

01

x

x

，表示同一函數．()

(6)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．()

二、小題查驗

1．函數y＝xln(1－x)的定義域為()

A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]

2．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?

03

0log

2

x

xx

x

，則f(f(

4

1

))的值是()

A．9B．

1

9

C．－9D．－

1

9

3．下列圖象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數的是

()

4．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是________；值域是________；其中只

與x的一個值對應的y值的范圍是______________.

5．函數f(x)＝

x－4

|x|－5

的定義域是__________________.

6．已知f(x)＝x2

＋px＋q滿足f(1)＝f(2)＝0，則f(－1)＝________.

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[考點梳理]

1．下列所給圖象是函數圖象的個數為()

A．1B．2C．3D．4

2．下列各組函數中，表示同一函數的是()

A．f(x)＝|x|，g(x)＝

x2B．f(x)＝

x2

，g(x)＝(

x

)

2

C．f(x)＝

x2

－1

x－1

，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x

2

－1

3．設函數f(x)的定義域為D，若對任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，則

稱函數f(x)為“美麗函數”，下列所給出的幾個函數：

①f(x)＝x

2

；②f(x)＝

1

x－1

；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2

x

－2－x;

⑤f(x)＝2sinx－1.

其中是“美麗函數”的序號有______________.

[命題角度1]用換元法與配方法求函數解析式

1．已知f(x＋1)＝x＋2x，則f(x)＝__________________.

2．已知f(

x

2

＋1)＝lgx，則f(x)的解析式為________________.

[命題角度2]用待定系數法求函數解析式

3．已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝_____________.

4．已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)的解析式為

__________________.

[命題角度3]用解方程組法求函數解析式

5．定義在(－1，1)內的函數f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則函數f(x)的解析式為

_____________________．

6．已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f(

x

1

)·x－1，則f(x)＝_____________.

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[命題角度1]求給定函數解析式的定義域

1．函數f(x)＝

1－|x－1|

ax

－1

(a＞0且a≠1)的定義域為________________.

2．函數y＝

lg?2－x?

12＋x－x2

＋(x－1)

0

的定義域是________________.

[命題角度2]求抽象函數的定義域

3．已知函數f(x)的定義域為(－1，0)，則函數f(2x＋1)的定義域為()

A．(－1，1)B．(－1，—

2

1

)C．(－1，0)D．(

2

1

，1)

4．已知函數f(2x＋1)的定義域是(－1，0)，則f(x)的定義域為____________.

5．已知f(2x)的定義域是[－1，1]，則f(log2x)的定義域為_____________.

[命題角度3]已知定義域確定參數問題

6．若函數f(x)＝2x2

＋2ax－a－1的定義域為R，則a的取值范圍為______________.

[命題角度1]求函數值、值域(最值)

1．設函數f(x)＝

?

?

?

?

???

?12

1)2(log1

1

2

x

xx

x

，則f(－2)＋f(log

212)＝()

A．3B．6C．9D．12

2．定義新運算“⊕”：當a≥b時，a⊕b＝a；當a

(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，則函數f(x)的值域為________________.

[命題角度2]解方程或解不等式問題

3．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

??

02

01

x

xex

，則方程f(1＋x

2)＝f(2x)的解集是__________.

4．設函數f(x)＝

?

?

?

?

??

02

01

x

xx

x

，則滿足f(x)＋f(x—

2

1

)＞1的x的取值范圍是____________.

5．設函數f(x)＝

?

?

?

?

?

?

??

1

1

3

1

1

xx

xex

，則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是_______________.

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[課時訓練]

一、選擇題

1．若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)

的圖象可能是()

2．函數y＝

－x

2

－x＋2

lnx

的定義域為()

A．(－2，1)B．[－2，1]C．(0，1)D．(0，1]

3．已知f(

x

x?1

)＝

x2

＋1

x2

＋

1

x

，則f(x)＝()

A．(x＋1)2(x≠1)B．(x－1)2(x≠1)

C．x2

－x＋1(x≠1)D．x

2

＋x＋1(x≠1)

4．已知函數f(x)＝

?

?

?

???

??

1)1(log

12

2

1

xx

xx

，且f(a)＝－3，則f(6－a)＝()

A．－

7

4

B．－

5

4

C．－

3

4

D．－

1

4

5．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?

???

?

13

4

12

x

x

x

xx

，則f(x)的定義域是()

A．[1，＋∞)B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞)D．[0，1)∪(1，＋∞)

6．設函數f(x)＝

x－1

，則f(

2

x

)＋f(

x

4

)的定義域為()

A．[

2

1

，4]B．[2，4]C．[1，＋∞)D．[

4

1

，2]

7．已知f(x)＝

?

?

?

?

?

???

???

?

102

01

2

1

2xxx

x

x，若f(2m－1)<

1

2

，則m的取值范圍是()

A．m>

1

2

B．m<

1

2

C．0≤m<

1

2

D．

1

2

二、填空題

8．圖中的圖象所表示的函數的解析式f(x)＝_____________.

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9．若函數y＝f(x)的值域是[1，3]，則函數F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是____________.

10．已知函數f(x)＝ax－b(a＞0)，f(f(x))＝4x－3，則f(2)＝__________.

11．若函數f(x)＝x2

＋2ax－a的定義域為R，則a的取值范圍為____________.

三、解答題

12．二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)＞2x＋5.

13．已知函數f(x)＝x·|x|－2x.

(1)求函數f(x)＝0時x的值；

(2)畫出y＝f(x)的圖象，并結合圖象寫出f(x)＝m有三個不同實根時，實數m的取值范

圍．

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14．行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續往前滑行一段距離才能停下，這段距離

叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/

時)滿足下列關系：y＝

x2

200

＋mx＋n(m，n是常數)．如圖是根據多次實驗數據繪制的剎

車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時)的關系圖．

(1)求出y關于x的函數表達式；

(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度．