指數函數

3.1.2.指數函數教學設計

本節課的內容是高中數學必修一第三章第三節“指數函數”的第一課時——指數函數

的定義，圖像及性質。新課標指出，學生是教學的主體，教師的教要應本著從學生的認知規

律出發，以學生活動為主線，在原有知識的基礎上，建構新的知識體系。我將以此為基礎從

下面這幾個方面加以說明。

一、教材的地位和作用

本節課是學生在已掌握了函數的一般性質和簡單的指數運算的基礎上，進一步研究指數

函數，以及指數函數的圖像與性質，它一方面可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，

使學生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，同時也為今后進一步熟悉函數的性質和作

用，研究對數函數以及等比數列的性質打下堅實的基礎。因此，本節課的內容十分重要，它

對知識起到了承上啟下的作用。

此外，《指數函數》的知識與我們的日常生產、生活和科學研究有著緊密的聯系，尤其體現

在細胞分裂、貸款利率的計算和考古中的年代測算等方面，因此學習這部分知識還有著廣泛

的現實意義。

二、教學目標

知識目標：①掌握指數函數的概念；

②掌握指數函數的圖象和性質和簡單應用；使學生獲得研究函數的規律和方

法。

能力目標：①培養學生觀察、聯想、類比、猜測、歸納等思維能力；

②體會數形結合思想、分類討論思想，增強學生識圖用圖的能力；

情感目標：①讓學生自主探究，體驗從特殊→一般→特殊的認知過程，了解指數函數的實

際背景；

②通過學生親手實踐，互動交流，激發學生的學習興趣，努力培養學生的創新

意識，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力。

三、教學重難點

教學重點：進一步研究指數函數的圖象和性質。

指數函數的圖像與性質，它一方面可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學

生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，同時也為今后進一步熟悉函數的性質和作用，

研究對數函數以及等比數列的性質打下堅實的基礎。因此它對知識起到了承上啟下的作用。

教學難點：弄清楚底數a對函數圖像的影響。

對于底數a>1和1>a>0時函數圖像的不同特征，學生不容易歸納認識清楚。

突破難點的關鍵：

通過學生間的討論、交流及多媒體的動態演示等手段，使學生對所學知識，由具體到抽

象，從感性認識上升到理性認識，由此來突破難點。

因此，在教學過程中我選擇讓學生自己去感受指數函數的生成過程以及從這兩個特殊的

指數函數入手，先描點畫圖，作為這一堂課的突破口。

四、學情分析及教學內容分析

1、學生知識儲備

通過初中學段的學習和高中對集合、函數等知識的系統學習，學生對函數和圖象的關系

已經構建了一定的認知結構，主要體現在三個方面：

知識方面：對正比例函數、反比例函數、一次函數，二次函數等最簡單的函數概念和性質已

有了初步認識，能夠從初中運動變化的角度認識函數初步轉化到從集合與對應的觀點來認識

函數。

技能方面：學生對采用“描點法”描繪函數圖象的方法已基本掌握，能夠為研究《指數

函數》的性質做好準備。

素質方面：由觀察到抽象的數學活動過程已有一定的體會，已初步了解了數形結合的思

想。

2、學生的困難

本節內容思維量較大，對思維的嚴謹性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，但學

生在探究問題的能力以及合作交流等方面發展不夠均衡，所以學生學習起來有一定難度。

五、教法分析

本節課我采用引導發現式的教學方法。通過教師在教學過程中的點撥，啟發學生通過主

動觀察、主動思考、動手操作、自主探究來達到對知識的發現和接受。

六、教學過程分析

根據新課標的理念，我把整個的教學過程分為六個階段，

即：1.情景設置，形成概念2.發現問題，深化概念3.深入探究圖像，加

深理解性質4.強化訓練，落實掌握5.小結歸納6.布置作業

（一）情景設置，形成概念

學情分析：1、學生初中就接觸過一次函數、二次函數，在第二章再次學習一次函數、二次

函數時，學生有一定的知識儲備，但對于指數函數而言，學生是完全陌生的函數，

無已有經驗的參考，在接受上學生有困難。

2、課本給出了兩個引例以及在本章章前語也給了一個例子，分別是細胞分裂、放

射性物質省留量及“指數爆炸”，這三個例子比較好但離學生的認知仍存在一定

距離，于是我在引課這里翻查了一些參考資料，發現這樣一個例子，——折紙問

題，這個引例對學生而言①便于動手操作與觀察②貼近學生的生活實際。

1、引例1：折紙問題：讓學生動手折紙

觀察：①對折的次數ｘ與所得的層數ｙ之間的關系，得出結論ｙ=ｘ2

②對折的次數ｘ與折后面積ｙ之間的關系（記折前紙張面積為1），

得出結論ｙ=（1/2）ｘ

引例2：《莊子。天下篇》中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。請寫出取x次

后，木棰的剩留量與y與x的函數關系式。

設計意圖：

（1）讓學生在問題的情景中發現問題，遇到挑戰，激發斗志，又引導學生在簡單的具體問

題中抽象出共性，體驗從簡單到復雜，從特殊到一般的認知規律。從而引入兩種常見的指數

函數①a>1②0

（2）讓學生感受我們生活中存在這樣的指數函數模型，便于學生接受指數函數的形式。

2、形成概念：

形如ｙ=aｘ（a>0且a≠1）的函數稱為指數函數，定義域為ｘ∈R。

提出問題:為什么要限制a>0且a≠1？

這一點讓學生分析，互相補充。

分a﹤0，且a=0，0﹤a﹤1，a=1，a>1五部分討論。

（二）發現問題、深化概念

問題1：判斷下列函數是否為指數函數。

1）ｙ=-3ｘ2）ｙ=31/x3)ｙ=31+x4)ｙ=(-3)x5)ｙ=3-x=(1/3)x

設計意圖：1、通過這些函數的判斷，進一步深化學生對指數函數概念的理解，指數函數的

概念與一次、二次函數的概念一樣都是形式定義，也就是說必須在形式上一模一樣方行，即

在指數函數的表達式中ｙ=ax（a>0且a≠1）。

1）ax的前面系數為1，2）自變量x在指數位置，3）a>0且a≠1

2、問題1中（4）ｙ=(-3)x的判定，引出問題1：即指數函數的概念中為什么要規定a>0且a≠1

1）a<0時，ｙ=(-3)x對于x=1/2，1/4，……(-3)x無意義。

2）a=0時，x>0時，ax=0；x≤0時無意義。

3）a=1時，ax=1x=1是常量，沒有研究的必要。

設計意圖：通過問題1對a的范圍的具體分析，有利于學生對指數函數一般形式的掌握，同

時也為后面研究函數的圖像和性質埋下伏筆。

落實掌握：1）若函數ｙ=(ax-3a+3)ax是指數函數，求a值。

2）指數函數f(x)=ax（a>0且a≠1）的圖像經過點（3，9），求f(x)、f(0)、

f(1)的值。——待定系數法求指數函數解析式（只需一個方程）。

（三）深入研究圖像，加深理解性質

指數函數是學生在學習了函數基本概念和性質以后接觸到得第一個具體函數，所以在這

部分的安排上，我更注意學生思維習慣的養成，即應從哪些方面，哪些角度去探索一個具體

函數，我在這部分設置了兩個環節。

第一環節：分三步

（1）讓學生作圖（2）觀察圖像，發現指數函數的性質（3）歸納整理

學生課前準備：利用描點法作函數y=2x，y=3x，以及y=(1/2）x、y=(1/3)x的圖像。

設計意圖：（1）觀察總結a>1,0

（2）觀察ｙ=2x與ｙ=2-x，ｙ=3x與ｙ=3-x圖像關于y軸對稱。

（3）在第一象限指數函數的圖像滿足“底大圖高。

（4）經過（0，1）點圖像位置變化。

變式：去掉底數換成字母，根據圖像比較底數的大小。

方法提煉：①用上面得到的規律；

②作直線x=1與指數函數圖像相交的縱坐標，即為底數。

第二環節：

利用多媒體教學手段，通過幾何畫板演示底數a取不同的值時，讓學生觀察函數圖像的變

化特征，歸納總結：ｙ=ax的圖像與性質

以y=2x為例，讓學生用單調性的定義加以證明；

設計意圖：（1）讓學生由初中的“看圖說話”的水平，提升到高中的嚴格推理的層面上來。

（2）學習用做商法比較大小。

4、奇偶性：不具備

5、對稱性：ｙ=ax不具備，但底數互為倒數的兩個指數函數圖像關于y軸對稱。從形式上可

變為y=ax與y=a-x

總結:兩個函數y=f(x),y=f(-x)關于y軸對稱。

6、交點：（1）與y軸交于一點（0，1）（2）與x軸無交點（x軸為其漸近線）

7、當x>0時,y>1；當x<0時,00時,01

8、ｙ=ax（a>0且a≠1）在第一象限圖像“底大圖高”（直線x=1輔助）

難點突破：通過數形結合，利用幾個底數特殊的指數函數的圖像將本節課難點突破。

為幫助學生記憶，教師用一句精彩的口訣結束性質的探究：

左右無限上沖天，永與橫軸不沾邊。

大1增，小1減，圖像恒過（0，1）點。

（四）強化訓練落實掌握

例1：學習了指數函數的概念，探究出它的性質以后，再回應本節課開頭的問題，解決引例

問題。

例2：比較下列各題中兩值的大小

（1）（4/3）-0.23與（4/3）-0.25；（2）（0.8）2.5與（0.8）3。

方法指導：同底指數不同，構造指數函數，利用函數單調性

（3）與；（4）與

方法指導：不同底但可化同底，也化歸為第一類型利用單調性解決。

（5）(3/4)2/3與(5/6)2/3；（6）（-2.1）3/7與（-2.2）3/7

方法指導：底不同但指數相同，結合函數圖像進行比較，利用底大圈高。（6）“-”是學生

的易錯易混點。

（7）（0.3）-3與(2.3)2/3；（8）1.70.3與0.93.1。

方法指導：底不同，指數也不同，可采用①估算（與常見數值比較如（8））②中間量如（7）

（10/3）3〔（10/3）2/3或（2.3）3〕(2.3)2/3。

變式：已知下列不等式,比較的大小:

(l)

(2)

(3)（且）

(4)

設計意圖：（1）、（2）對指數函數單調性的應用（逆用單調性），（3）建立學生分類討論的思

想。（4）培養學生靈活運用圖像的能力。

（五）歸納總結，拓展深化

請學生從知識和方法上談談對這一節課的認識與收獲。

1、知識上：學習了指數函數的定義、圖像和性質以及應用。關鍵要抓住底數a>1和1>a>0

時函數圖像的不同特征和性質是學好本節的關鍵。

2、方法上：經歷從特殊→一般→特殊的認知過程，從觀察中獲得知識，同時了解指數函數

的實際背景和和研究函數的基本方法；體會分類討論思想、數形結合思想。

（六）布置作業，延伸課堂

A類：（鞏固型）面向全體同學

1、完成課本P93/習題3-1A

B類：（提高型）面向優秀學生

2、完成學案P1/題型1。