三角形物體

物理與工程Ｖｏ１．２０ Ｎｏ．１ ２０１０

巧求三角形板狀物體的轉動慣量

姚曉玲 朱 霞 武小琴 譚德宏 劉 力

（后勤工程學院基礎部，重慶４０１３１１）

（收稿日期：２００９—０８ ０９；修回日期：２００９～０９ １ ５）

摘 要 本文用填補的方法，將三角形填補為平行四邊形，通過矩形板狀新學期手抄報簡單好看 物體的轉動慣量和平

行軸定理，間接地計算出三角形板狀物體的轉動慣量．

關鍵詞 轉動慣量

剛體轉動慣量是一個重要的西芹百合 物理量，由定義

可以計算一些形狀規則的物體的轉動慣量ｕＪ，對

形狀不規則的物體，一般通過實驗測量轉動慣量．

本文以質量均勻分布的三角形薄板為對象，通過

填補的方法，將三角形填補為平行四邊形，借助于

矩形、平行四邊形的轉動慣量和平行軸定理，間接

計算三角形的轉動慣量，如圖１所示．

Ｄ

１． ——一】８ Ｅ

圖１ 三角形與平行四邊形楊冪經典語錄 的關系

１ 以平行于底邊并過質心的直線為軸

設三角形ＡＢＣ的質量為 ；底邊長為ａ；高為

ｈ；繞平行于底邊的過其質心位置的軸的轉動慣量

為．， ．作輔助線ＣＤ／／ＡＢ，ＢＤ／／ＡＣ，使ＡＢＣＤ成

為一個平行四邊形，作ＤＥｊ－ＡＥ，從圖１可以看出

平行四邊形ＡＢＤＣ與長方形ＣＤＥＯ繞ＡＥ軸的

轉動慣量是相同的．設長方形ＣＤＥＯ繞ＡＥ軸的

轉動慣量為 ，平行四邊形ＡＢＤＣ繞ＡＥ軸的轉

動慣量仍然為Ｊ，由轉動慣量的可加性，Ｊ就等于

兩個全等的三角形繞ＡＥ軸的轉動慣量之和，由

平行軸定理，有

Ｊ一 ＋ （魯）。＋．， ＋ｍ ｒ 魯）

一

１ ２

Ｊ 一 （１）

２以底邊為軸

設三角形以底邊為軸的轉動慣量為Ｊ，由平

行軸定理，有

‘，一去 ＋ｍ（ ＾） 一 ｌ＿ｍｈ

罔２三角形與平行四邊形的關系

３ 以高為軸

設三角形為底邊長為口，高為ｈ的等腰三角形

（見圖２），設三角形繞以高為軸的轉動慣量為 ．

作輔助線ＢＤ／／ＡＣ，ＡＤ／／ＢＣ，設平行四邊形

ＡＣＢＤ繞ＣＤ軸的轉動慣量為 ，該平行四邊形

的轉動慣量又可以看成是三角形ＡＣＤ與三角形

ＣＤＢ繞ＣＤ軸的轉動慣量之和．三角形ＡＣＤ與

三角形ＣＤＢ的高都為去ａ，底邊為ＣＤ，由上面第

一個問題的結論及平行軸定理，有

一 １ （ ｎ）。－￣－ｒｎ（１ ｎ） ＋ １ （ ｎ）。＋

（專 ）

Ｊ 一 。 （３

物理與Ｔ程Ｖｏ１．２０ Ｎｏ．１ ２０１０

一

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Ｄ “

２ 一

Ｂ

圖３三角形之間的關系明朝歷史簡介

設底邊長為ａ，高為ｈ，兩腰與底邊的夾角分

別為 和 。（見圖３），三角形ＡＢＣ可以看成由兩

個直角三角形ＡＤＣ與ＢＤＣ組成，設ＡＤ長等于

ａ ，ＤＢ長為ａ ，則“一ａ ＋ａ ．設三角形ＡＢＣ繞

軸的轉動慣量為－廠，則由轉動慣量的可加性，可以

看成兩個三角形ＡＤＣ與ＢＤＣ繞各自的底邊軸轉

動慣量的和．三角形ＡＤＣ的質量為ｍ ，底邊長為

ｈ，高為ａ ；三角形ＢＤＣ的質量為ｍ ，底邊長為

ｈ，高為ａ ，三角形板的質量面密度為 ，由轉動慣

量的可加性與第二個問題的結論，有

‘，一 １ ａ ＋百１ ；

一 丟 ＋ ｎ。 ；

一 （ｎ ＋＆；）

一 ＋ａ；）

一

１ ｍ［－（ｈｃｔａｎ０

１）。＋（ｈｃｔａｎ０２）。］（４） Ｏ

以

若為等腰三角形，由式（４）也能得出式（３）．

可見，將對稱程度不高的形狀通過填補轉化

為對稱程度高的、轉動慣量容易計算的形狀，通過

轉動慣量的可加性與平行軸定理可以間接地計算

出轉動慣量，無需復雜的積分運算，這種方法對其

他對稱程度不高的物體如半圓盤、梯形等的轉動

慣量的計算也有參考價值．

如果物體的形狀找不到與已知轉動慣量的物

體形狀之間的聯系，就只能通過其他方法解決轉

動慣量的問題了．

參 考 文 獻

ｒ１］ 康穎．大學物理ｒＭ］．北京：科學出版社，２００５．９９～１０２

（上接第５９頁）

把物體發射到無窮遠處，也就是Ｈ為無窮大，那

么只要令式（４）中Ｈ一。。，此時，

＝＝＝Ｃ２ｇＲ

即物體在地球表面處以此速度發射，就可以到達

無窮遠處，這就是第二宇宙速度，其值的大小為

１１．２ｋｍ／ｓ，這與文獻［１－４］所求結果一致．

參 考文獻

ｒ門 張三慧．大學基礎物理學ｒＭ］．北京：清華大學出版社，２００３

［２］ 張延賜．談三個宇宙速度的計算［Ｊ］．物理教師，２００６，２７（５）：

１４～１６

［３］秦竹林．關于三個宇宙速度的教學［Ｊ］．Ｊ、‘西物理，２００３，２徐志摩情詩 ４

（４）：５３～５５

［４］王奉懷，李世明．宇宙堅持的名人名言 速度及其簡明計算［Ｊ］．河南廣播電視

大學學報，２００３，１６（１）：３０～３２