直接法

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赤小豆當歸散-漢字研究報告

2023年4月18日發(作者：高爾夫英文)
實驗二解線性方程組的直接法
一、實驗目的
用列主元素高斯消去法和三角分解法解線性方程組Ax=b。式中，A為n階非
奇異方陣，x，b是n階列向量，并分析選主元素的重要性。
二、實驗方法
（1）列主元素高斯消去法
通過變換，將系數矩陣換成等價的上三角矩陣，入伙對聯在每步消元過7下英語單詞程中，選列主
元素。
對涼茶配方 k=1,2,……n-1，逐次計算
l=a/a(i=k+1,k+2,……,n)
ikikkk
(k-1)(k-1)

a=a-la (i,j=k+1,k+2,……,n)
ijijikkj
(k)(k-1)(k-1)
b=b-lb (i=k+1,k+2,……,n)
i松茸的作用 iikk
(k)(k-1)(k-1)
逐步回代氣的原方程組的解
X=b/a
ninn
(n-1)(n-1)

12月份節日 (k-1)_(k-1)(k-1)
X=(bax)/a(k=n-1,n-2,……,1)
kkkjjkk
j?k?1
?
n
（2）直接三角分解法
由于兩個矩陣相等就是它們的對應元素相等，因此通過比較A與LU的對應
元素，即可得到直接計算L,U的元素的公式。
設A=LU，其中

U的第一行、L的第一列的元素分別為

對(依次：U的第二行，L的第二列，U的第三行，L的第三
列……)，有

由上述兩種方法得到矩陣A的LU分解后，求解Ly=b與Ux=y的計算公式為
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三、實驗內容
解下列方程組
1.13483.83261.16513.4017x9.53421
0.53011.78752.53301.5435x26.3941
3.41294.92178.76431.3142x318.4231
1.23714.999810.67210.0147x416.9237

=

四、實驗程序
（1）列主元素高斯消去法

（2）直接三角分解法

五、實驗結果（僅供參考）
創新創業項目精確解為:(1,1,1,1)
T
六、結果分析
實驗的數學原理很容易理解，也容易上手。把運算的結果帶入原方程組，可
以發現符合的還是比較好。這說明列主元消去法計算這類方程的有效性。當A
可逆時，能夠將計算進行到底，列主元法就能確保算法的穩定，而且計算量不大。
直接三角景點策劃消去過程，實質上是將A分解為兩個三角矩陣的乘積A=LU，并求解Ly=b
的過程。回帶過程就是求解上三角方程組Ux=y。所以在實際的運算中，矩陣L
和U可以直接計算出，而不需要任何中間步驟，從而在計算過程中將高斯消去
法的步驟進行了進一步的簡略，大大提高了運算速度，這就是三角分解法。

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