排列組合
1.分類計數(shù)原理(加法原理)
完成一件事，有n 類辦法，在第1類辦法中有1m 種不同的方法，在第2類辦法中有2m 種不同的方法，…，在第n 類辦法中有n m 種不同的方法，那么完成這件事共有：12n N m m m =++
+種
不同的方法．
2.分步計數(shù)原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 個步驟，做第1步有1m 種不同的方法，做第2步有2m 種不同的方法，…，做第n 步有n m 種不同的方法，那么完成這件事共有：12n N m m m =??
?種不同的方法．
3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別
分類計數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。
分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．
一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
例1、.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).
解: 由分步計數(shù)原理得113
4
34288C C A = 練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2、 7人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解： 522522480A A A =
練習(xí)題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.、一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序
有多少種？ 解54
56A A
練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30
四.定序問題倍縮空位插入策略
例4.、 7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然
后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：73
73/A A
(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 種方法，其余的三個位置甲乙丙
共有 1種坐法，則共有4
7A 種方法。 思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
練習(xí)題: 10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列. 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理
510C
五.重排問題求冪策略
例5.、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法
練習(xí)題：
1．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)
目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法87
六.環(huán)排問題線排策略
例6.、 8人圍桌而坐，共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人44A 并從此位置把
圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！
H F
D C A
A B C D E A
B E G
H G F
練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
七.多排問題直排策略
例7.、8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:，則共有215
445A A A 種
練習(xí)題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座
位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.、有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.
2454
C A 練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種
任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有 192 種
九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位
數(shù)有多少個？
解：共有222
222
A A A 種排法 .15243 練習(xí)題：
１、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列，要求同一
品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為254
254A A A
允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排
各個元素的位置，一般地n 不同的元素沒有限制地安排在m 個位置上的排列數(shù)為n
m 種 一般地,n 個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n 個不同元素中取出m 個元素作圓形排列共有1m n A n
2、 5男生和５女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有255
255A A A 種
十.元素相同問題隔板策略
例10.、有10個運(yùn)動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
一
班二班三班四班五班六班七班
練習(xí)題：1、10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？
2、100x y z w +++=求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)
3103C
十一.正難則反總體淘汰策略
例11.、從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶
數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有35C ，只含有1個偶數(shù)的取法有12
55C C ，和為偶數(shù)
的取法共有123555C C C +。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有123
5
559C C C +-
練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的
抽法有多少種?
十二.平均分組問題除法策略
例12.、 6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
2223
6423/C C C A 。
練習(xí)題：
1、 將13個球隊(duì)分成3組，一組5個隊(duì)，其它兩組4個隊(duì), 有多少分法？
（544213842/C C C A ）
2、10名學(xué)生分成3組，其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分 組方法？ （1540）
3、某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案有多少
（2222426
2/90C C A A =）
將n 個相同的元素分成m 份（n ，m 為正整數(shù)）
，每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n 個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為11
m n C --
有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.
平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以n n A (n 為均分
的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。
十三. 合理分類與分步策略
例13.、在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人
伴舞的節(jié)目，有多少選派方法
解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研
究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有22
33C C 種，只會唱的5人中只有1人選上唱歌人
員112534C C C 種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有22
55C C 種，由分類計數(shù)原理共有 22112
223353455C C C C C C C ++種。
練習(xí)題：
1、.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34
2、 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們?nèi)芜x2只船或3只船，但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27）
十四.構(gòu)造模型策略
例14.、 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2
盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？
解：把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有3
5C 種
練習(xí)題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）
十五.實(shí)際操作窮舉策略
例15.、設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法
解：從5個球中取出2個與盒子對號有25C 種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，
如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有252C 種
練習(xí)題：1.同一寢室4人，每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)
2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū) 域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有 72種
解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。
一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖 會收到意想不到的結(jié)果
5
4
3
21
十六. 分解與合成策略
例16.、 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除
分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依題意可知偶因數(shù)
必先取2，再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：1234555555C C C C C ++++
十八.數(shù)字排序問題查字典策略 例18．、由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？
解:297221122334455
=++++=A A A A A N
練習(xí)：用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第71個數(shù)是 3140
排列組合易錯題正誤解析
例1 從6臺原裝計算機(jī)和5臺組裝計算機(jī)中任意選取5臺，其中至少有原裝與組裝計算機(jī)各兩臺，則不同的取法有 種.
例 2 在一次運(yùn)動會上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.
（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）3
4C 例3 有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？
例4 5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）
（A ）480 種 （B ）240種 （C ）120種 （D ）96種
例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不
同的排法共有（ ）種.
（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630 2
3
3
2527A C C
例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）
（A ）36個 （B ）48個 （C ）66個 （D ）72個
例7 如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4
數(shù)字排序問題可用查字典法，查字典的法應(yīng)從高位向低位查，依次求出其符合要求的個數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。 1
3
2
5
4
