六年綜合練習(xí)題十二答案（比和比例關(guān)系）
比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個(gè)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ).有了“比”這個(gè)概念和表達(dá)方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問(wèn)題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對(duì)“除法、分?jǐn)?shù)、比例實(shí)質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.
這一講分三個(gè)內(nèi)容：
一、比和比的分配；
二、倍數(shù)的變化；
三、有比例關(guān)系的其他問(wèn)題.
一、比和比的分配
最基本的比例問(wèn)題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.
例1 甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的周長(zhǎng)相等.甲的長(zhǎng)與寬之比是3∶2，乙的長(zhǎng)與寬之比是7∶5.求甲與乙的面積之比.
解：設(shè)甲的周長(zhǎng)是2.
甲與乙的面積之比是
答：甲與乙的面積之比是864∶875.
作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù).
例2 如右圖，ABCD是一個(gè)梯形，E是AD的中點(diǎn)，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是10∶7.
求上底AB與下底CD的長(zhǎng)度之比.
解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，三角形CDE與三角形CEA面積相等.
三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比AB∶CD=三角形ABC的面積∶三角形ADC的面積
=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
答：AB∶CD=3∶14.
兩數(shù)之比，可以看作一個(gè)分?jǐn)?shù)，處理時(shí)與分?jǐn)?shù)計(jì)算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點(diǎn).
例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號(hào)表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.
解：大杯與中杯容量之比是5∶2=10∶4，
中杯與小杯容量之比是4∶3，
大杯、中杯與小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
=44∶75.
答：兩者容量之比是44∶75.
把5∶2與4∶3這兩個(gè)比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比10∶4∶3，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個(gè)更一般的例子.
甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
花了多少錢？
解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，
連比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.
答：甲、乙、丙三人共花了429元.
例5 有甲、乙、丙三枚長(zhǎng)短不相同的釘子，甲與乙
，而它們留在墻外的部分一樣長(zhǎng).問(wèn)：甲、乙、丙的長(zhǎng)度之比是多少？
解：設(shè)甲的長(zhǎng)度是6份.
∶x=5∶4.
乙與丙的長(zhǎng)度之比是
而甲與乙的長(zhǎng)度之比是 6∶5=30∶25.
甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
答：甲、乙、丙的長(zhǎng)度之比是30∶25∶26.
于利用已知條件6∶5，使大部分計(jì)算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問(wèn)題的常用手段.
例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價(jià)分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問(wèn)他買的這些糖果每千克的平均價(jià)是多少元？
解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價(jià)是
答：這些糖果每千克平均價(jià)是27.5元.
上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：
事實(shí)上，有稍簡(jiǎn)捷的解題思路.
解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.
不妨設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.
單價(jià)33元的可買10份，要買12份，單價(jià)是
下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問(wèn)題，即“比的分配”問(wèn)題，當(dāng)一個(gè)數(shù)量被分成若干個(gè)數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.
例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，
解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比2∶3.因此
例8 加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個(gè)零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個(gè)？所需時(shí)間是多少？
解：三人同時(shí)加工，并且同一時(shí)間完成任務(wù)，所用時(shí)間最少，要同時(shí)完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.
三人工作效率之比是
他們分別需要完成的工作量是
所需時(shí)間是
700×3=2100分鐘）=35小時(shí) .
答：甲、乙、丙分別完成700個(gè)，600個(gè)，525個(gè)零件，需要35小時(shí).
這是三個(gè)數(shù)量按比例分配的典型例題.
例9 某團(tuán)體有100名會(huì)員，男會(huì)員與女會(huì)員的人數(shù)之比是14∶11，會(huì)員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會(huì)員與女會(huì)員人數(shù)之比是：
甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
那么丙有多少名男會(huì)員？
解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.
乙、丙兩組男會(huì)員人數(shù)是 56-24=32 （人）.
答：丙組有12名男會(huì)員.
上面解題的最后一段，實(shí)質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔
例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長(zhǎng)之比依次是1∶2∶3.小龍走各段路程所用時(shí)間之比依次是4∶5∶6.已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3千米，路程全長(zhǎng)50千米.問(wèn)小龍走完全程用了多少時(shí)間？
解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
上坡、平路、下坡的速度之比是
走完全程所用時(shí)間
答：小龍走完全程用了10小時(shí)25分.
上面是通常思路下解題.1∶2∶3計(jì)算中用了兩次，似乎重復(fù)計(jì)算，最后算式也頗費(fèi)事.事實(shí)上，靈活運(yùn)用比例有簡(jiǎn)捷解法.
解二：全程長(zhǎng)是上坡這一段長(zhǎng)的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時(shí)
設(shè)小龍走完全程用x小時(shí).可列出比例式
二、比的變化
已知兩個(gè)數(shù)量的比，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過(guò)變化的描述，如何求出原來(lái)的兩個(gè)數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.
例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5∶7.甲、乙原來(lái)各得多少分？
解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化.原來(lái)要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來(lái)？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來(lái)算.
5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來(lái)
甲得22.5÷5×20=90（分），
乙得 22.5÷5×16=72（分）.
答：原來(lái)甲得90分，乙得72分.
我們?cè)俳榻B一種能解本節(jié)所有問(wèn)題的解法，也就是通過(guò)比例式來(lái)列方程.
解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.
（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
15x=12×22.5
x=18.
甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.
解：其他球的數(shù)量沒有改變.
增加8個(gè)紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是
5∶（14-5）=5∶9.
在沒有球增加時(shí)，紅球與其他球數(shù)量之比是
1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
因此8個(gè)紅球是5-4.5=0.5（份）.
現(xiàn)在總球數(shù)是
答：現(xiàn)在共有球224個(gè).
本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒有變.把1∶2寫成4.5∶9，就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：
（x+8）∶2x=5∶9.
例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是8∶5，開支的錢數(shù)之比是8∶3，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問(wèn)每家各收入多少元？
解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.
如果他們開支的錢數(shù)之比也是8∶5，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8∶5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有
