馬科維茨《資產(chǎn)組合選擇》讀書(shū)報(bào)告
摘 要
投資者采取最大化折現(xiàn)期望或預(yù)期回報(bào)的準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則不足以作為立論的前提假設(shè)和引領(lǐng)投資者行為的最大化原則，它不能得出存在一個(gè)優(yōu)于所有非分散化組合的分散化資產(chǎn)組合。馬科維茨用幾何方法表示了主觀信念和資產(chǎn)組合選擇之間依照“期望E回報(bào)——回報(bào)方差V”準(zhǔn)則形成的關(guān)系。E-V準(zhǔn)則得出投資者將希望選擇可行組合中最富有效率的一個(gè)，也就是給定E 或者更大時(shí)V 最小，以及給定V 或更小時(shí)E 最大，該準(zhǔn)則得出的有效資產(chǎn)組合幾乎都是分散化的。本文用三只證券的案例及一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，主要考察資產(chǎn)組合選擇過(guò)程的第二個(gè)階段：從對(duì)所包括的證券的相關(guān)主觀信念形成資產(chǎn)組合選擇。
【關(guān)鍵詞】分散化 E-V準(zhǔn)則 組合選擇
1952年，馬科維茨在《金融雜志》上發(fā)表題為《資產(chǎn)組合選擇》一文，該文堪稱現(xiàn)代金融理論史上的里程碑，標(biāo)志著現(xiàn)代組合投資理論的開(kāi)端。該論文最早采用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率（均值）和用方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）代表的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)來(lái)研究資產(chǎn)組合和選擇問(wèn)題。馬柯維茨根據(jù)風(fēng)
險(xiǎn)分散原理，應(yīng)用二維線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)方法，揭示了如何建立投資組合的有效邊界，使邊界上的每一個(gè)組合在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下獲得最大的收益，或者在收益一定的情況下風(fēng)險(xiǎn)最小。同時(shí)馬柯維茨認(rèn)為，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)不僅與構(gòu)成組合的各種證券的個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)，而且受各證券之間的相互關(guān)系的影響，相關(guān)系數(shù)越大，代表風(fēng)險(xiǎn)的方差越大，因此我們應(yīng)當(dāng)在產(chǎn)業(yè)間進(jìn)行分散化投資組合選擇，必須避免投資于具有很高相關(guān)性的證券。
一、馬科維茨投資組合模型的前提假設(shè)
（一）從對(duì)所包括的證券的相關(guān)主觀信念形成資產(chǎn)組合選擇
在文章的開(kāi)頭和結(jié)尾，馬科維茨一直在強(qiáng)調(diào)他研究的著眼點(diǎn)是資產(chǎn)組合選擇過(guò)程的第二個(gè)階段，即從對(duì)備選證券未來(lái)表現(xiàn)的有關(guān)主觀信念形成資產(chǎn)組合選擇。在這之前，傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家多從資產(chǎn)組合選擇過(guò)程的第二個(gè)階段出發(fā)，即從觀察和經(jīng)驗(yàn)形成對(duì)備選證券未來(lái)表現(xiàn)的主觀信念。這樣的經(jīng)驗(yàn)觀察多是用描述性的語(yǔ)言對(duì)金融問(wèn)題進(jìn)行研究，研究結(jié)果缺乏數(shù)據(jù)支撐及數(shù)學(xué)模型的論證。而馬科維茨與眾不同的著眼點(diǎn)，資產(chǎn)組合選擇一定會(huì)涉及到有限資源下如何做選擇的問(wèn)題，他巧妙地借用了數(shù)學(xué)中的期望和方差及線性規(guī)劃等工具來(lái)定義預(yù)期回報(bào)及其不確定新及他們形成的組合，解出來(lái)最有效率的資產(chǎn)組合選擇。馬科維
茨使金融學(xué)開(kāi)始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經(jīng)驗(yàn)操作的狀態(tài), 標(biāo)志著數(shù)量化方法進(jìn)入金融領(lǐng)域。
（二）分散化資產(chǎn)組合選擇
傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家往往會(huì)把預(yù)期收益最大化作為投資的最終目標(biāo)和準(zhǔn)則，而馬科維茨認(rèn)為該準(zhǔn)則不能得出存在一個(gè)優(yōu)于所有非分散化組合的分散化資產(chǎn)組合，應(yīng)該被摒棄。盡管投資管理人和經(jīng)濟(jì)學(xué)家早就意識(shí)到了把收益和風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)考慮的必要性，然而他們卻忽略了投資分散化和預(yù)期收益最大化之間的矛盾。馬科維茨認(rèn)為在證券組合選擇過(guò)程中，如果一個(gè)投資者僅僅是使預(yù)期收益最大化，那么他永遠(yuǎn)不會(huì)選擇投資分散化。如果一種證券的預(yù)期收益高于任何其他證券，投資者會(huì)將所有的資金投放在這種股票上。如果幾種股票有相同的最大的預(yù)期收益，投資者將會(huì)把投資局限在這幾種證券之間，而忽視證券組合的分散化。因此他說(shuō)考察投資者采取（或者應(yīng)當(dāng)采取）追求期望回報(bào)，回避回報(bào)方差的準(zhǔn)則。這一準(zhǔn)則作為投資者行為最大化原則和前提假設(shè)具有許多優(yōu)點(diǎn)，可以能得出分散化優(yōu)越性。
二、馬科維茨均值-方差模型或者E-V準(zhǔn)則
根據(jù)馬柯維茨理論的前提假設(shè)：投資者僅依靠投資的預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)來(lái)做出決定。先介紹數(shù)學(xué)中的期望與方差，再介紹證券預(yù)期回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法。
（一）數(shù)學(xué)中期望與方差
Y為值是偶然性確定的隨機(jī)變量，取有限個(gè)值y1，y2，…，yN. 對(duì)應(yīng)的概率分別為p1，p2，…，pN ，
Y的期望：E=p1y1+p2y2+…+pNyN
Y的方差：V=p1(y1-E)^2+p2(y2-E)^2+…+pN(YN-E)^2。
假設(shè)有一系列隨機(jī)變量R1,R2,…,Rn,如果R是Ri的加權(quán)和（線性組合） 則R = a1 R1 +a2 R2 +…+an Rn，那么R也是隨機(jī)變量。
加權(quán)和的期望值是期望值的加權(quán)和:E(R)= a1 E(R1) +a2E( R2 ）+…+anE( Rn)
加權(quán)和的方差為:V（R）=
其中Ri和Rj的協(xié)方差為σij=E { [ Ri -E（Ri）] [ Rj -E（Rj）] }
它用相關(guān)系數(shù)ρij來(lái)表示為σij= ρijσiσj，等于它們的相關(guān)系數(shù)乘以Ri的標(biāo)準(zhǔn)差再乘以Rj的標(biāo)準(zhǔn)差。如果運(yùn)用Ri的方差為σii的事實(shí)，則
馬科維茨認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如證券）的收益是不確定的，在不同的情況下其收益表現(xiàn)一般不同。為了衡量該種資產(chǎn)的平均收益率，馬科維茨提出了期望收益率（均值）這一概念。它等于該資產(chǎn)在各種可能狀態(tài)下收益率的加權(quán)平均數(shù)，權(quán)數(shù)為各種可能狀態(tài)下的幾率。實(shí)際收益率與期望收益率一般總存在一些差距，這種差距產(chǎn)生的不確定性就是風(fēng)險(xiǎn)。馬科維茨用方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）對(duì)其進(jìn)行衡量。它等于實(shí)際收益率和期望收益率之間差額的平方的加權(quán)平均數(shù)，權(quán)數(shù)為各種可能狀況的幾率。將方差開(kāi)方后取絕對(duì)值，就得到了標(biāo)準(zhǔn)差。但是注意到資產(chǎn)的方差與資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)有關(guān)。
（二）投資組合的期望回報(bào)和期望風(fēng)險(xiǎn)
設(shè)有 N 種證券，不允許賣空，同時(shí)滿足分散化投資和最大化期望回報(bào)存在
rit為t 時(shí)期投資于證券i的每單位貨幣的預(yù)期回報(bào)（不管其如何確定） ，dit為第i個(gè)證券在時(shí)期t 的回報(bào)折現(xiàn)為現(xiàn)值的比率，Xi為投資于證券i 的相對(duì)數(shù)量。
組合的折現(xiàn)預(yù)期回報(bào)R為
第 i 個(gè)證券的折現(xiàn)回報(bào)Ri為
則組合的折現(xiàn)預(yù)期回報(bào)R為:
Xi與Ri獨(dú)立，所有Xi的和為1，R 是以非負(fù)的Xi為權(quán)數(shù)的Ri的加權(quán)平均，為了最大化R，我們對(duì)Ri最大的i 取Xi =1。如果某些Rɑa，a=1，… ，K 最大，那么只要滿足都可以
資產(chǎn)組合整體的期望回報(bào)E，μi為Ri的期望值；
資產(chǎn)組合整體的期望風(fēng)險(xiǎn)V是 ，σij為Ri和Rj的協(xié)方差.
通常如果用“期望收益”或“期望回報(bào)”替代“收益”， 用“回報(bào)方差”或“方差”替代“風(fēng)險(xiǎn)”，不會(huì)引起表面含義的變化。
（三）投資組合選擇的E-V準(zhǔn)則
在用期望收益率（均值）和方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）對(duì)資產(chǎn)組合的平均收益率和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量之后，馬科維茨提出了有效資產(chǎn)組合的概念。有效的資產(chǎn)組合是指在特定的風(fēng)險(xiǎn)下，期望收益率最高的資產(chǎn)組合；或在特定的期望收益率下，風(fēng)險(xiǎn)最小的資產(chǎn)組合，只有這樣的組合才是投資者的合理選擇。這是因?yàn)樽C券回報(bào)的關(guān)聯(lián)性太強(qiáng)，分散化就不能抵消所有的方差。具有最大期望回報(bào)的資產(chǎn)組合不一定具有最小方差。 存在一個(gè)投資者可以在控制方差的前提下獲得期望回報(bào)，或者在放棄期望回報(bào)的前提下減少方差的比率。 這就是E-V準(zhǔn)則，即給定E 或者更大時(shí)V 最小，以及給定V 或更小時(shí)E 最大。如圖1所示
圖1
三、馬科維茨理論在三個(gè)證券案例中的具體應(yīng)用
在三只證券的情況下，我們的模型減少為
將X3=1-X1-X2代入1）和2）可以得到用X1和X2表示的E和V，簡(jiǎn)記為
其中
進(jìn)一步化簡(jiǎn)
我們將給定期望回報(bào)時(shí)所有點(diǎn)（資產(chǎn)組合）構(gòu)成的集合定義為“等均值”線。可以看出，如果我們改變E，截距會(huì)改變但是等均值線的斜率不會(huì)改變。這就確定了等均值線構(gòu)成一簇平行直線的結(jié)論。同樣，將給定回報(bào)方差時(shí)所有點(diǎn)構(gòu)成的集合定義為“等方差”線。同樣地，通過(guò)簡(jiǎn)單地應(yīng)用幾何分析，我們確定等方差線構(gòu)成一簇同心橢圓。曲線簇的“中心”是最小化V 的點(diǎn)，我們將該點(diǎn)標(biāo)記為X，將它的期望回報(bào)和方差標(biāo)記為E 和V。偏離X 越遠(yuǎn)時(shí)，方差會(huì)增加。“資產(chǎn)組合可行集”：由所有滿足下列約束組合構(gòu)成 ：
X1≥0，X2 ≥ 0，1- X1- X2 ≥ 0，X3 = 1 – X1 – X2。
“有效組合”:給定E 或者更大時(shí)V 最小，以及給定V 或更小時(shí)E 最大。在圖形當(dāng)中是在可行集內(nèi)等均值線和等方差線相切的點(diǎn)的軌跡。如下圖2粗折現(xiàn)所示：
圖2
在三只證券的情形下，E = a0 + a1X1+ a2X2是一個(gè)平面； V = b0+b1X1+ b2X2+b12X1X2 + b11X21 +b22X22 是一條拋物線。如圖3 所示，E-平面在有效組合集之上的部分是一系列折線段。V-拋物線在有效組合集之上的部分是一系列拋物折線。如果就有效組合的E 畫(huà)出V，我們也將得到一系列拋物折線（見(jiàn)圖4）
圖3
圖4
具有 4 只證券的有效集，如同具有3 只證券和N 只證券的情形一樣，是一
系列折線段。有效集的一端是方差最小的點(diǎn)，另一端是期望回報(bào)最大的點(diǎn)。我們可以使用該方程在三維空間中表示四只證券。消去 X4，我們得到E=E（X1，X2，X3），V=V（X1，X2，X3）。在三維空間中，用向量（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）將可行集表示為四面體，資產(chǎn)組合表示為X4=1，X3=1，X2=1，X1=1。如圖5所示
圖5
就像在二維的情形一樣，具有最小可取方差的點(diǎn)可能在可取集內(nèi)或者在其中的一條邊界上。一般地我們沿著一條給定的臨界線直到這條線或者與一個(gè)較大的子空間相交，或者觸及一條邊界（以及同時(shí)具有較低維數(shù)子空間的臨界線）。在上述任何一種情況下，效率線會(huì)反轉(zhuǎn)并且沿著新的直線連續(xù)。當(dāng)?shù)竭_(dá)具有最大E 值的點(diǎn)時(shí)，效率線將終止。
四、馬科維茨理論在實(shí)踐中具體應(yīng)用
（一）理論分析
在理論分析中，我們會(huì)考察諸如對(duì)公司普遍持有的主觀信念的變化、或者對(duì)期望回報(bào)與回報(bào)方差偏好的一般性變化、或者證券供給的變化所產(chǎn)生的各種效應(yīng)。在我們的分析中，Xt可以表示單只證券或者表示如債券、股票和房地產(chǎn)的總體。
假設(shè)投資者在兩個(gè)組合之間進(jìn)行分散化（即他將一部分資金投入一個(gè)組合，將其余的資金投入另一個(gè)組合。在組合之間進(jìn)行分散化的一個(gè)例子是買(mǎi)入兩個(gè)不同投資公司的股份）。如果兩個(gè)原始組合P’=（X’1，X’2）， P’’=（X”1 ，X”2） 的方差相等，那么一般地最終的（復(fù)合）p組合的方差將小于任何一個(gè)原始組合的方差。
