第三章 資金的時間價值及其等值計算
一、資金的時間價值
兩個方案的初始投資相同為500萬元，壽命周期內(nèi)實現(xiàn)的收益總額相同都為450萬元。甲方案前期利潤大，后期利潤小，乙方案前期利潤小，后期利潤大。
我們是否按其實現(xiàn)收益的總額相同認(rèn)為該兩方案的效益是一樣的呢？不一樣，關(guān)鍵就在于資金具有時間價值。
S=P （1+i ）n
S 為n 年后的將來值（本利和）；
P 為資金的現(xiàn)值； i 為復(fù)利利率。
一筆貨幣把它放在家中，或者用其他手段（埋在地下）儲藏起來。幾年之后仍為同量的貨幣。如果把貨幣作為社會生產(chǎn)的資金，投入到國民經(jīng)濟生產(chǎn)之中去，隨著時間的推延，就會產(chǎn)生效益，生產(chǎn)利潤，使自身增值，這就是貨幣的時間價值。
所謂貨幣的時間價值（ Time V alue of money ）就是貨幣在生產(chǎn)流通過程中能產(chǎn)生新的價值。 二、利息的計算 1、單利法
單利法僅以本金為基數(shù)計算利息，即不論年限多長，每年均按原始本金計息，而已取得的利息不再計息。
I P i n =
2、復(fù)利法
復(fù)利法以本金與利息之和為基數(shù)計算利息。
(1)(1)n
n S P i I S P P i P
=+=-=+-
例1：若有1000元錢，存40年，年利率為8%，則：
單利：S 40=1000（1+0.08*40）=4200元，I= S 40-P=3200元。
復(fù)利：S 40=1000（1+0.08）40=21724.52元，I= S 40-P=20724.52元。
三、常用普通復(fù)利公式
1、期初一次性投入，期末一次性回收的分期復(fù)利公式。
S n =P(1+i)n
例2：向銀行借貸500元，年利率為5%。用分期復(fù)利法計算，問二年后和五年后應(yīng)償還本利和為多少？
解：S 2=P(1+i)2=500（1+0.05）2=551.25元 S 5=P(1+i)5=500（1+0.05）5=638.14元
2、期末一次性回收的復(fù)利現(xiàn)值公式
1(1)(1)
n
n
n n
P S S i i -==++ （1+i ）-n 稱為分期復(fù)利法的現(xiàn)值系數(shù)，也叫貼現(xiàn)系數(shù)。
例3：資金年利率為5%，欲五年后能得到本利和100元，問現(xiàn)在一次性支付多少錢？ 解：5
1(1)100(10.05)78.35((1)
n n
n n
P S S i i --==+=+=+元） 存錢是按單利計算，借錢按復(fù)利計算。 3、等額序列復(fù)利年金終值公式
設(shè)A 為每期末的一個等額投入量，則：
第一期末投入的一個A 在n 期期末的本利和為A （1+i ）n-1
第二期末投入的一個A 在n 期期末的本利和為A （1+i ）n-2
…
…… ……… …………… ……………
………
第n 期末投入的一個A 在n 期期末的本利和為A （1+i ）n-n 故，n 期后各期本利和的累計總值S n 應(yīng)為：
121
2(1)(1)(1)1)(1)(1)
(1)(1)3(1)1n n n n n n n n n S A i A i A i S i A i A i A i A
A i A S i i i
---=++++++=+++++-+-=+- n n n n ++A （1）將（1）式兩邊乘以（1+i)得：
（………++A(1+i) (2)將（2）-（1）得：S (1+i)-S =A(1+i)（1+i)-1=A （）
i 其中，為等額序列復(fù)利系數(shù)
例4：某建設(shè)項目總投資額為20億。計劃在每年末投資5億，分4年投資完。資金借貸年利率為10%。問四年后應(yīng)償還的總投資本利和為多少？
解：4
(1)10.11
523.210.1
n n A i A S i +-+-=
=?=（）億 4、分期等額系列復(fù)利終值年金公式
假如要創(chuàng)辦某事業(yè)，計劃在幾年后需積聚到一筆S n 量的基金。在年利率為i 的情況下，問
每年末應(yīng)等額存儲多少資金。這種情況正好與上述相反，它的計算公式只要轉(zhuǎn)換一下公式（3）即可。
(1)1n
n i
A S i =+-
例5：計劃五年后購買一臺價格1000元的錄音機。年利率為5%，問每年末應(yīng)存儲多少等額資金？
解：5
10000.05
180.97(1)1(10.05)1
n n S i A i ?=
==+-+-元 5、分期復(fù)利現(xiàn)值年金公式
要求在n 年末能全部回收期初的一次性投資
(1)(1)1(1)1
n n n n
i i i
A S P i i +==+-+- 例6：某新建企業(yè)，期初投資為20億，在年利為10%的情況下，要求五年內(nèi)全部回收期初
的投資。問每年平均利潤應(yīng)有多少？
解：5
5
0.1(10.1)20 5.28(10.1)1
A +=?=+-億 6、分期復(fù)利法等額序列年金現(xiàn)值公式
若已知某企業(yè)每年可以得平均利潤值P ，在年利率為i 的情況下，可在n 年后全部回收期初的一次投資量。問期初的一次投資量為多少？這種情況正好與上述相反，只要轉(zhuǎn)換一下公式即可。
1)(1)1
(1)(1)
n n n n
A i A i P A i i i i +-+-==++（ 例7：采用某專利技術(shù)，每年平均獲利2千萬元，在年利率為10%的情況下，十年后即可連
本帶利全部回收，問期初的一次投入額為多少？
解：1010
1)(1)1(10.1)1
212.29(1)(1)0.1(10.1)n n n n A i A i P A i i i i +-+-+-===?=+++（（千萬元）
7、分期復(fù)利法等額序列資金償還年限公式
1)(1)(1)(1)(1)lg(1)lg
lg
lg(1)n n
n n n A i A
P i i Pi i A i A A i A iP
A
n i A iP A A iP
n i +-=
++=+-+=
-+=--=+（兩邊取對數(shù)得：
例8：某大型工程項目總投資現(xiàn)值為227億元，投產(chǎn)后年產(chǎn)值為49.5億元，扣除成本和稅金等費用后每年平均可獲得利潤17.5億元。合同中規(guī)定資金借貸年利率為7.25%。問全部投資需要幾年后才能回收？
解：17.5
lg
lg
17.50.072522740.3lg(1)lg(10.0725)
A A iP n i --?=
==++年
上面介紹了幾種分期復(fù)利法的計算公式，但在實際工作中，一項建設(shè)工程其資金的運用方式并不一定是單一性的，而往往是多樣性的，因此，在計算過程中，必須分別結(jié)合上列公式加以綜合性的計算才能獲得正確的結(jié)果。
例9：某新建企業(yè)期初用于廠房的投資為2000萬元，其后每年末用于廠房和其他公共設(shè)施的投資量平均為1000萬元，另外，在第三年末和第四年末因購買設(shè)備又投資1000萬元和1500萬元。工程在第五年末建成并交付使用，資金年利率為10%。問第五年末該企業(yè)的投資總額的復(fù)利本利和為多少？該工程投產(chǎn)后，每年可獲平均利潤2000萬元。問全部投資幾年后可以回收（從投產(chǎn)后算起）。
解：投資共分四種情況，分別予以計算：
（1）期初一次性投入2000萬元，期末一次結(jié)算，可根據(jù)公式得：
S 1=2000（1+0.1）5
=3221.02萬元
（2）每年末等額投入1000萬元，期末累計結(jié)果，可根據(jù)公式計算得：
5
(1)10.1110006105.10.1
n n A i A S i +-+-==?=（）萬元
（3）第三年末一次投入1000萬元，期末一次結(jié)算
S 3=1000（1+0.1）2=1210萬元 （4）第四年末一次投資1500萬元，期末一次結(jié)算
S 4=P （1+i ）n =1500(1+0.1)1=1650萬元 第五年末總投資量的期末價值S 總為各期價值之和。
S 總=S 1+ S 2+ S 3+ S 4
=3221.02+6105.1+1210+1650 =12186.12萬元
從第五年起全部資金償還年限可以根據(jù)公式計算：
2000
lg
lg
20000.112186.129.86lg(1)lg(10.1)
A A iP n i --?===≈++年10年
三、資金等值計算
1、資金等值的概念
資金等值是指在考慮資金時間價值因素后，不同時點上數(shù)額不等的資金在一定利率條件下具有相等的價值。
影響資金等值的因素有三個：資金額大小、資金發(fā)生的時間和利率。
利用等值概念，將一個時點發(fā)生的資金金額換算成另一時點的等值金額，這一過程叫資金等值計算。
2、等值計算公式
（1）等額分付現(xiàn)值公式
從第一年末到第n 年末有一個等額的現(xiàn)金序列，每年的金額均為A ，這一等額年金序列在利率為i 的條件下，其現(xiàn)值是多少？
可以把等額序列視為n 個一次支付的組合，利用一次支付現(xiàn)值公式推導(dǎo)等額分付現(xiàn)值公式：
23(1)(1)(1)(1)
n
A A A A
P i i i i =
++++++++ 例10：某設(shè)備經(jīng)濟壽命為8年，預(yù)計年凈收益20萬元，殘值為0，若投資者要求的收益率
為20%，問投資者最多愿意出多少的價格購買該設(shè)備？
解：
28
8
202020
(120%)(120%)(120%)1
76.74(20%(120%)
P =
+++++-?
=+ 8
+
(1+20%) =20萬元）
例11：某項目貸款200萬元，銀行4年內(nèi)等額收回全部貸款，已知貸款利率為10%，那么項目每年的收益率不應(yīng)少于多少萬元？ 解：根據(jù)資金回收公式得：
4
4(1)10%(110%)20063.09((1)1(110%)1
n n i i A P i ++=?=?=+-+-萬元）
例12：某企業(yè)擬購買大型設(shè)備，價值為500萬元，有兩種付款方式可以供選擇：（1）一次
性付款，優(yōu)惠12%；（2）分期付款，則不享受優(yōu)惠，首次支付必須達(dá)到40%，第1年末付30%，第2年末付20%，第3年末付10%。假設(shè)企業(yè)購買設(shè)備所用資金是自有資金，自有資金的機會成本為10%，問應(yīng)該選擇哪種付款方式？有假設(shè)企業(yè)用借貸資金購買設(shè)備，借款的利率為16%，則應(yīng)選擇哪種付款方式？ 解：（1）若資金成本為10%，則：
一次性付款，實際支出500*88%=440（萬元） 分期付款，相當(dāng)于一次性付款值：
23
50030%50020%50010%
50040%456.57((110%)(110%)(110%)
P ???=?+
++=+++萬元） （2）若資金的成本為16%，則：
一次性付款，實際支出500*88%=440（萬元） 分期付款，相當(dāng)于一次性付款值：
23
50030%50020%50010%
50040%435.66((116%)(116%)(116%)P ???=?+
++=+++萬元）
因此，對企業(yè)來說，若資金利率為10%，則應(yīng)選擇一次性付款；若資金利率為16%，則應(yīng)選擇分期付款。
