熱力學費米分布的推導過程

熱力學費米分布的推導過程

熱力學費米分布的推導過程如下：

假設系統中有一組粒子，滿足費米-狄拉克統計。統計物理中的

費米子遵循泡利不相容原理，即同一量子態最多只能有一個粒子。根

據泡利不相容原理，每個量子態的粒子數要么為0（無粒子），要么為

1（有一個粒子）。

考慮一個費米氣體系統，由N個粒子組成，各占據不同的量子態。

假設每個粒子各自的能級為?i，共有ω個不同的量子態。根據費米

子的性質，每個粒子的能級都要與其他粒子的能級不同。

我們希望計算出費米分布函數，即粒子占據每個量子態的概率。

設粒子占據第i個量子態的概率為f(i)，則占據其余量子態的概率為

1-f(i)。

根據統計物理的定義，粒子占據第i個量子態的概率應滿足以下

兩個條件：

1. 粒子在所有量子態上的分布概率之和為1：∑[f(i) + (1-f(i))] =

∑1 = ω

2. 粒子在每個量子態上的概率與粒子的占據數之間有關：f(i) + (1-

f(i)) = 1，當粒子數大于等于1時；f(i) + (1-f(i)) = 0，當粒子

數等于0時。

考慮到不同的量子態是互相獨立的，我們可以根據各個量子態的

占據概率的獨立性，將整個系統的概率分布表示為各個量子態的概率

的乘積。

因此，我們定義費米分布函數f(i)為粒子占據第i個量子態的概

率。考慮到泡利不相容原理，每個量子態上最多只能有一個粒子，因

此我們可以寫出費米分布函數的形式：

f(i) = 1 / [exp[(?i - μ) / kT] + 1]

其中，?i為第i個量子態的能量，μ為化學勢，k為玻爾茲曼

常數，T為系統的溫度。

費米分布函數的形式給出了粒子占據各個量子態的概率。當溫度

趨近于絕對零度時，由于費米分布函數中的指數項非常大，可以將其

近似為無窮大，費米分布函數則為0。這就對應了費米子自由度下的全

滿能級，即費米能級以下的能級被占滿，費米能級以上的能級為空。

以上即為熱力學費米分布的推導過程。