中山大學珠海校區2010學年度第二學期10級高等數學一期中考試題及參考答

2023年12月14日發(作者：煙臺社保)

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珠海校區2010學年度第二學期10級高等數學一期中考試題及參考答案

完成以下各題,每題10分.考試時間90分鐘.?yyduexdxxe(sin)(=++-cosy)dy的函數u(x,y).

1. 求滿足條件?P?Qy+y-y==,=,=PxyexQxyxey(,)sin,()co解

?y?x,故積分與路徑無關,于是

于是

u(x,y)=e+sinx)dx+(xey-cosy)dy(ò0ò00y11xy=xe-siny-cosx+C.2.計算累次積分:?

I=

òò010dxxy3x2dy.

dx解:I=òdxòx20=111xy1+yy1+yy03dy=òdyòy2xy31+y113dy0ò01+y320ò21+y11d(1+y3)12-1

131+y=.==6ò01+y3330×dy=yx2D=xyx+y￡{(,)I=òò(Dx+ydxdy).

3.若1},計算二重積分解:? 積分區域關于兩個坐標軸都對稱,且被積函數關于x,y均為偶函數,故如記

故如記

D1={(x,y)(x,y)?D,x30,y30}

I=(x+y)dxdy=4(x+y)dxdy

òòòòDD1=4ò0dxò0(x+y)dy=4ò0[x(1-x)+(1-x)]dx=.

I=?x+ydsC2x+y=3xò222221-1x1144.?求第一型曲線積分C,其中是圓周2.

2解:? 用極坐標:圓周的方程為r=2cosq,故參數方程為x=2cosq,y=2cosqsinq. ds=(dx)+(dy)=(2sin2q)+(2cos2q)dq=2dq

2222I=5.若C是上半圓周x+y=9,y>0,方向由點(3,0)到點(-3,0),求第二型曲線積分

22Iydxxdy.

=+

òC?òCx2+y2ds=22p2ò-p22×2cos2q×2dq=4p2ò-p2cosqdq=8.

解:?

圓周的極坐標方程為:x=3cosq,y=3sinq,0￡q￡p.故

I=pò0[(3sinq)2(-3sinq)+(3cosq)2(3cosq)]dq

p33=27ò0(cosq-sinq)dq=27é(1-sin)sin+(1-cos)cosù=27′(-4)=-36.22ppdd

qqqq00êúò?ò?31a2aa(),求證;f(x)dxf(y)dy=éf(x)dxù.6.?

已知函數fx連續求證;

ò0òxú?ò0?2ê證明;證明;顯然ò=a0f(x)dxaéê?ò0f(y)dy+f(x)dxf(y)dyò0òx0ùéaùéaù2

=f(x)dxf(y)dyf(x)dx.òòúúú?ê?0?ê?0?òxaa而變換積分次序后再換積分變量字母,有òa0f(x)dxòaxf(y)dy=òa0f(y)dy1òy0f(x)dx=2òa0f(x)dxòx0f(y)dy

于是

于是

òa0f(x)dxFx=òx0òaxf(y)dy=aéf(x)dxù.證畢.?ò0êú??2fydya證法2:?

記()x()則,òf(x)d=0Fa.

(于是)aaòa0f(x)dxò2axf(y)dy=aòa0f(x)[F(a)-F(x)]dx=F(a)2ò0f(x)dx-2ò0F(x)f(x)dx

a2=F(a)-ò0F(x)dF(x)=F(a)-F(x)221a01=2F(a)=17.?求由曲面z=2-x-y與z=x+y所圍立體的體積.

解:? 立體在xOy坐標面的投影為區域D={(x,y)x+y￡1}.故

222222éf(x)dxù.

ú?ò0?2êV=dV=dxdy2òòòòòòxW2-(x2+y2)+y2p

=2ò02drrdr=p.qò01(1-2)Ddz=2(1-x2-y2)dxdyòòD

228.求三重積分I=òòò(y+sinz)dV,其中W是由錐面z=x+y與平面z=p所圍的區域.

W解:? 由對稱性,?

ydV=0.故如記區域在xOy面的投影區域為D,則

I=òòòsinzdV=òòrdrdqòrsinzdzWD3=ò0dqò0(1+cosr)rdr=p-4p.2pòòòWppx2+(y-1)2-(y-1)x==(,),Q(x,y),解:?

Pxy2222x+(y-1)x+(y-1)L+9.求曲線積分I=?òxdy-(y-1)dx,其中L+方程為x2+(y-1)22=1,逆時針方向.

?P-2-x2?Qy(1)==,

222?y[x+(y-1)]?x+222+x+y=r,則由格林公式,?(記為D)內,作圓周C:?由于點(0,1)位于L-所圍區域-xdy(y1)dx=I=?0,

22òxy+(-1)(L+C)++r2222xdy-(y-1)dxxdy-(y-1)dx2prcosqsinq===2222I=?2dq2p.?òòò(1)(1)0x+y-x+y-rL+C+10.計算曲面積分I=?òòS+ezx2+y+dxdy,其中S為錐面z=x2+y2及平面z=1,z=2所圍

所圍

2立體的表面,取外側.?解:?

P=Q=0,R==ezx22ezx2+y2，記S，記S所圍的區域為W,由高斯公式,由高斯公式,

I?òòS+2p+y2dxdyz=??P+?Q+?R?ez=??x?y?z÷dVx2y2dV

òòòòòò+?WèW2p2z

=ò0dqò1dzò0ezrrdr=ò0dqò1zedz=2p(z-1)ez212=2ep.

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