基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

2023年12月24日發(作者：蔣勛作品)

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

大連理工大學學位論文獨創性聲明

作者鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下進行研究工作所取得的成果。盡我所知，除文中已經注明引用內容和致謝的地方外，本論文不包含其他個人或集體已經發表的研究成果，也不包含其他已申請學位或其他用途使用過的成果。與我一同工作的對本研究所做的貢獻均已在論文中做了明確的說明并表示了謝意。

若有不實之處，本人愿意承擔相關法律責任。

學位論文題目： 基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

作 者 簽 名 ： 日期： 2020 年 6 月 3 日

大連理工大學專業學位碩士學位論文

摘 要

當今的世界正處于全球化的時代，無論是經濟、文化還是政治都緊密聯系、相互依存。隨著移動互聯網科技的不斷發展，各種經濟貿易更加密不可分，金融市場之間的關系也愈加復雜。2008年的經濟危機，起源于金融衍生品的失控，對全世界的經濟帶來了極大的沖擊。因此在經濟全球化愈加緊密的今天，及時地防范金融風險是極為重要的一項工作。無論是企業還是個人投資者，都需要采用合理的風險度量工具，正確衡量金融市場風險，并使用科學的金融風險管理方法進行提前防范。

以往的大量研究都表明，金融時間序列的分布都具有一些規律性的特征：“尖峰”性和“厚尾”性，與自然世界中最為常見的正態分布有所偏離，且金融時間序列的波動存在著明顯的“集聚性”的現象。本文將采用時間序列理論中的條件異方差模型對金融時間序列進行建模，且利用極值理論細致地刻畫其分布特點，尤其是分布兩端尾部的特征。

眾所周知，一名理性的經濟人在進行投資決策時總是會考慮兩種決策情況：在可承受的風險下試圖使收益最大化或達到預期收益的前提下盡可能地規避自身風險。本文將基于風險規避態度進行投資組合優化探討。VaR和CVaR是兩種實用的風險度量工具，且CVaR相對于VaR有一些更為優良的性質。因此，在投資組合優化部分，本文先利用Copula函數將邊緣分布聯合，進而采用CVaR的風險度量構建Mean-CVaR模型，利用蒙特卡洛方法進行情景模擬，最終算出了投資組合的最優投資權重。這一結論將會給各類投資者在進行投資決策時，提供有價值的理論指導。

關鍵詞：GARCH；極值理論；Mean-CVaR；投資組合優化

- I -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

Portfolio Optimization of Stock Market Bad on CVaR

Abstract

Today's world is in the era of globalization, economic, cultural and political are cloly

linked and interdependent. With the continuous development of mobile Internet technology, all

kinds of economic and trade are more inparable, and the relationship between financial

markets is more complex. The 2008 economic crisis, originated from the financial derivatives

out of control, has brought great impact on the world economy. Therefore, in today's

increasingly clo economic globalization, timely prevention of financial risks is an extremely

important work. Both enterpris and individual investors need to u reasonable risk

measurement tools, measure the financial market risk correctly, and u scientific financial risk

management methods to prevent in advance.

A large number of previous studies have shown that the distribution of financial time ries

has some regular characteristics: "peak" and "thick tail", which deviates from the most common

normal distribution in the natural world, and the volatility of financial time ries has obvious

"clustering" phenomenon. In this paper, the conditional heteroscedasticity model of time ries

theory is ud to model financial time ries, and the extreme value theory is ud to describe

its distribution characteristics, especially the characteristics of the tail at both ends of the

distribution.

As we all know, a rational economic person always considers two kinds of decision-making situations when making investment decisions: trying to maximize the return or achieve

the expected return under the condition of tolerable risk, avoiding his own risk as much as

possible. This paper will discuss the portfolio optimization bad on the risk aversion attitude.

VaR and CVaR are two practical risk measurement tools, and CVaR has some better properties

than var. Therefore, in the part of portfolio optimization, this paper first us copula function

to combine the edge distribution, then us CVaR risk measurement to build mean CVaR model,

us Monte Carlo method to carry out scenario simulation, and finally calculates the optimal

investment weight of the portfolio. This conclusion will provide valuable theoretical guidance

for all kinds of investors when making investment decisions.

Key Words：GARCH; Extreme Value Theory; Mean CVaR; Portfolio Optimization

- II -

大連理工大學專業學位碩士學位論文

目 錄

摘 要 ........................................................................................................................ I

Abstract ........................................................................................................................ II

1 緒論 ..........................................................................................................................1

1.1 研究背景和研究意義 ....................................................................................1

1.2 國內外研究綜述 ............................................................................................2

1.2.1 投資組合理論研究綜述 ......................................................................2

1.2.2 風險度量方法研究綜述 ......................................................................3

1.3 本文的研究內容和框架 ................................................................................5

2 相關理論研究綜述 ...................................................................................................6

2.1 風險度量 .......................................................................................................6

2.1.1 基于VaR的風險度量 .........................................................................6

2.1.2 基于CVaR的風險度量 ......................................................................6

2.2 Copula函數 ...................................................................................................8

2.2.1 Copula函數理論 .................................................................................8

2.2.2 Copula函數的定義及性質 .................................................................8

2.2.3 Copula函數的種類 .............................................................................9

2.2.4 Copula函數的參數估計 ................................................................... 11

2.2.5 基于Copula函數的情景模擬 ........................................................... 12

2.3 異方差模型 .................................................................................................. 13

2.3.1 ARCH模型 ....................................................................................... 13

2.3.2 GARCH模型 .................................................................................... 14

2.3.3 衍生的GARCH模型 ........................................................................ 14

2.4 極值理論 ..................................................................................................... 15

2.4.1 極值理論模型 ................................................................................... 15

2.4.2 參數的極大似然估計 ........................................................................ 17

3 基于Garch-EVT-Copula-CVaR的投資組合優化模型 .......................................... 18

4 實證分析 ................................................................................................................ 21

4.1 數據處理和檢驗 .......................................................................................... 21

4.1.1 數據處理 ........................................................................................... 21

4.1.2 數據檢驗 ........................................................................................... 23

4.2 標準化殘差序列半參數化邊緣分布 ........................................................... 28

- III -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

4.3 基于Mean-CVaR的投資組合優化 ............................................................. 32

4.3.1 Mean-CVaR投資組合的有效前沿 ................................................... 32

4.3.2 置信水平對Mean-CVaR投資組合的影響 ....................................... 34

5 總結與展望 ............................................................................................................ 35

參 考 文 獻 ................................................................................................................ 37

附錄A 標準化殘差自相關圖和LM檢驗結果 ......................................................... 40

攻讀碩士學位期間發表學術論文情況 ........................................................................ 41

致 謝 ...................................................................................................................... 42

大連理工大學學位論文版權使用授權書 .................................................................... 43

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1 緒論

1.1 研究背景和研究意義

2008年的次貸危機，給世界一記重錘，曾經被人們視為搖錢樹的金融市場外表上看起來郁郁蔥蔥，實際上卻隱藏著巨大的風險。全球的金融行業在這一次沖擊中哀鴻遍野，幾乎無一幸免。多少個曾經叱咤風云的金融巨頭，在面對危機時毫無抵抗之力，一瞬間分崩離析、倒塌幻滅，讓美國等歐洲國家在此后的十數年處在危機的余震之中。這一次的世界性的經濟危機讓人們深刻地意識到金融風險是維護經濟穩定需要重點防范和控制的問題。

金融風險，廣義地說是一切有關金融的風險，包括市場風險、產品風險和機構風險。狹義地說，一般是指在投資過程中，對于投資者而言，由于市場不確定的因素造成投資預期收益產生損失的可能性。當今，經濟全球化已成為現實，金融一體化程度也逐漸加深。金融新產品層出不窮，交易往來也日益密切，金融資產之間相互影響，金融風險的依賴性和牽制性不斷攀升。除了傳統的金融機構之外，隨著科技的迅猛發展，現在也吸引了各種各樣的互聯網金融機構的涌進。然而，對金融市場的監管力度遠遠趕不上金融市場的發展速度，由于監管機制的不到位，管理的松散，金融隱患日益積聚，給整個金融行業的穩定埋下了一顆定時炸彈。2018年，李克強總理在做政府工作報告時強調：雖然我國當前金融風險大體上處在可控范圍之內，但仍要標本兼治，消除潛在的風險隱患。打擊一些嚴重威脅金融市場安全的活動，如非法集資、金融詐騙等[1]。因此，進行風險控制，預測潛在的金融風險和危機，并有效地規避風險，是影響一國乃至整個世界的重要課題。

投資組合理論是規避金融市場風險的重要理論之一。很早就開始受到學術界以及金融投資界的重視。在Markowitz提出了著名的投資有效邊界理論榮獲諾貝爾經濟學獎后，金融業正式開啟了資產組合風險管理的新篇章，且在之后的一段時間內獲得了很大的發展。然而Markowitz所提出的風險管理理論對計算量的要求極大；并且Markowitz的理論采用方差作為風險度量的實際應用可行性并不大。因此，圍繞著改進Markowitz的投資組合優化理論的各種研究如雨后春筍般涌現而來。

為了彌補Markowitz理論的缺陷，人們考慮更加科學的風險度量，由于對大多數人而言，只有收益產生損失才算是風險，因此用方差來定義風險有失妥當。后人提出了VaR方法，可以同時衡量損失發生的可能性和程度。由于此度量具有科學性和實用性的特點，在提出之后得到了很快地推廣。時至今日，已經被廣泛地應用于銀行等金融機構的金融- 1 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

風險評估和資產定價之中，在此之后，又產生了基于VaR改進后的新的度量，如CVaR和CDaR等等。

在初期，出于簡便化的考慮，對金融時間序列的假定大多為正態分布，然而，通過后人對各金融數據的分布形態的觀察，發現金融時間序列的分布與正態分布相差甚遠，且根據大量的數據歸納出一些共有的形態特征，即“尖峰”性和“厚尾”性，而且觀察時序數據發現，波動的發生也存在著聚集的現象，大波動往往集聚在一起。因此根據這一現象，人們引入極值理論和波動理論來刻畫時間序列分布。由于投資選擇的多樣化，需要進行聯合分布建模，后人引入了一個新型工具——Copula函數，它能將多元問題轉化成為了一元問題和Copula函數的選取問題，提出之后，在風險管理的領域得到了廣泛的應用。

1.2 國內外研究綜述

1.2.1 投資組合理論研究綜述

常言道，“別把雞蛋放在同一個籃子里”，風險規避的思想其實早就根深蒂固在人們的頭腦之中了。

1952年，Markowitz發表了《證券組合選擇》[2]，提出了均值-方差模型。在其理論下，投資者在進行決策時只關注投資組合會帶來的收益和與此同時造成的風險；每個投資者都是理性投資者；同時投資者的資產是具有完全的流動性的。他用資產收益率的均值代表期望回報率，用收益率的方差定義資產組合的風險。經過二次規劃計算出有效的投資組合集，并得出了關鍵性的結論：為了規避風險，我們要進行多樣化的投資，盡量去投資一些相關性較弱的證券組合。“均值-方差”投資理論成為了現代投資組合理論的開山之作。此外，他還通過資產收益率的均值和方差，找出了相應的證券組合的有效邊界。在此之后，投資組合理論不斷發展、不斷充實與改進，日益豐富。

盡管Markowitz的理論通俗易懂，比較容易為人所接受，但仍存在著一些缺陷。其一，Markowitz的理論將收益的波動定義為風險，但是在現實操作中，人們只會對損失比較敏感，并不會拒絕超額收益的產生；二，該理論是基于分布服從正態分布進行的，而后人發現用正態分布刻畫收益率分布并不合適；三，該模型在求解時需要計算投資組合中各項資產的協方差矩陣，這是需要大量的歷史數據來進行估計的。Markowitz本人后來也認識到其理論的相關漏洞，后期Markowitz（1959）[3]、Mao（1970）[4]也提出了均值-下半方差模型來進行補充。在Markowitz的理論出現之后，有很多新的研究進一步地發展或改進了他的理論。Sharpe針對于均值-方差模型計算復雜的問題，從計算方法的角度進行了改進。他于1963年提出了“單因子模型”，基于收益率僅與市場和隨機兩- 2 -

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個因素影響的假設，簡化了原有的均值-方差模型，投資組合的估計值數量減少至3n+2[5]。同時，提出了一種“資產定價的均衡模型”（CAPM），主要討論了市場均衡價格的形成[6]。Konn和Yamazaki[7]于1991年再次改進風險度量，引入了L1風險函數，即平均絕對誤差來度量風險，通過等價變換，將此模型在離散條件下轉化為一個線性規劃問題。Bawa在1975年提出風險度量工具LPM[8]，后來，Harlow[9]則于1991年根據其理論構建了“均值-下偏位矩”模型。繼VaR被提出后，學者們開始采用VaR進行投資組合優化。Gaivoronski和Pflug（1999）[10]將VaR融入到投資組合優化理論中，建立模型并求解。后來，由于Rockafellar和Uryav（2000） [11][12]討論了一致風險度量標準，從而證明了VaR的缺陷，其并不能滿足次可加性，同時探索出滿足一致風險度量的CVaR投資組合優化模型。

我國對于資產投資組合的研究從20世紀九十年代開始逐漸開展起來。榮喜民等人（1998）[13]比較了均值-方差模型、均值-下半方差模型和均值-絕對離差模型，指出了后兩種模型在改進模型的同時，犧牲了一定的信息，計算復雜性加大。因此定義了一個新的風險測度，建立了優化模型，該模型克服了正態分布假設，并且將各資產間的相關性納入考量，計算量也有所降低，并通過實證分析說明了該優化模型的有效性。唐小我[14]（2003）針對Markowitz的均值-方差模型的理論和求解算法進行了深刻的研究，并總結匯編成書。汪貴浦等人（2001，2003）[15][16]針對均值-下偏位矩模型難于求解的問題，進行了一定的模型轉化，從而將其轉化為二次規劃問題，使求解變得簡易。張樹斌等人（2004）[17]基于均值-方差模型，增添了交易成本，基于一個非對稱收益分布的實際案例，對模型進行了靈敏性研究。溫鎮西和畢秋香（2006）[18]通過引進估計誤差和機會成本的概念，對均值-方差模型和絕對離差模型進行了多方面的對比，總結了在不同情況下的兩種模型的優劣勢情況。郭文旌（2009）[19]引入了可以重點刻畫時序序列非對稱和杠桿特征的EGARCH模型來刻畫單一資產分布，并利用Copula技術去描述資產間相關性。傅強（2011）[20]基于新息服從t分布的前提，構建了時變Copula-GARCH-t模型，同時驗證了MCMC方法的有效性。何娟等人（2015）[21]基于供應鏈金融的實際背景，在“Mean-CVaR”的優化框架下，建立了在積極和保守兩種態度下的投資優化模型，并且利用極值分布對各資產分布進行了擬合。林宇等人（2019）[22]采用MST選擇出的R-vine Copula來刻畫資產間相依性，并將Mean-VaR、Mean-CVaR和R-Mean-CVaR三者模型相比較，得出R-Mean-CVaR的有效前沿曲線更為優越的結論。

1.2.2 風險度量方法研究綜述

1994年，J.P.摩根公司與一些合作機構構建了RiskMetrics信用風險管理系統，后來- 3 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

逐漸成為主流的風險度量工具。雖然VaR是目前銀行等金融機構應用最為廣泛的一種風險度量方法，但其仍存在著很多局限性。Basak（2001）[23]提出用VaR度量風險會放大股市在下跌（和低產出）時的波動，并減弱在上漲時的波動。McKay（1996）[24]經過詳細分析，提出傳統的風險價值技術并不值得作為市場風險的衡量標準，指出了VaR的非凸性的問題。Artzner[25]在沒有完全市場假設的背景下，分別討論了市場風險和非市場風險的度量方法；提出并證明了風險度量的一組理想性質，并將滿足這些性質的度量稱為“一致的”。Rockafellar和Uryav在其文章中導出了CVaR的基本性質，肯定了CVaR作為一種比風險價值（VaR）更具優勢的風險度量方法，能夠量化風險價值之外的風險，而且它是一致的。Fredrik（2000）[26]通過Monte Carlo模擬產生一系列信用風險分布的隨機數，采用線性規劃的方法解決了原始的優化問題。這種CVaR進行線性規劃的方法能夠在合理的時間進行海量場景的處理，效率非常高。Topaloglou（2002）[27]分析比較了CVaR模型和MAD模型的性能。并利用歷史市場數據對國際股票和債券指數組合模型進行了實證研究。盡管MAD和CVaR模型的事前風險-收益效率邊界的投資組合幾乎不分伯仲，但在某幾個時間段，CVaR模型在較高的收益和較低的波動性方面獲得了優異結果。Uryav（2000，2004）[28][29]對CVaR的優化方法進行了具體的闡述，并比較了CVaR和VaR。他還與Rockafellar（2002）一起對于損失函數服從一般分布的CVaR模型進行了探討[30]。

在國內，牛昂（1997）[31]是最先引入VaR，并且詳細闡述該指標的學者，他介紹了幾種常用的VaR計算方法，進行了優劣性比較，并指出VaR對極端盈虧情況下的度量不夠，且對于交易周期較長的金融業務，如資產負債管理，則沒有足夠的每日數據來進行分析。接著，鄭文通（1997）[32]介紹了VaR的使用背景和計算方法，并闡述了中國引用VaR的社會意義。姚剛（1998） [33]、劉宇飛（1999）[34]、王春峰（2000）[35]等人的文章中相繼探討了VaR計算方法，并針對各方法的不足提出了改進方向。隨著一致度量和CVaR的提出，我國也開始了對條件風險價值CVaR的研究。陳金龍等人（2002）[36]

第一次在其文中提出了VaR的修正方法CVaR，并將CVaR這一新概念與投資組合優化統一模型[37]結合了起來。王建華（2002）[38]、林輝（2003）[39]、曲圣寧（2005）[40]等人則說明了VaR在實際投資組合應用中的不足之處，并指出了CVaR的優勢所在。田新民等人（2004）[41]詳述了VaR和CVaR的概念，構建了無摩擦情形下的優化模型，從模型輸入參數和約束方程的角度比較了Mean-CVaR和MV模型的復雜程度，并且對于[42]優化模型的其他實際應用場景的做出了拓展。吳忠（2009）則基于單參風險模型CDaR，[43]進行了社保基金投資管理。賀月月（2013）則采用最壞情況下的風險度量標準WCVaR構建模型，并利用遺傳算法求解。

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1.3 本文的研究內容和框架

本文的主要研究內容是通過選取合適的風險度量，結合投資組合理論和相關的聯合分布構建的方法，構建Mean-CVaR的投資組合優化模型，運用蒙特卡洛情景生成法求出最優投資權重，具體研究內容如下所示：

第一章是緒論，從現實情況的角度揭示了對于銀行等金融機構進行投資組合優化的重要性，介紹了投資組合優化理論和相關風險度量方法的國內外研究現狀。

第二章是與本文相關的理論研究綜述。包含四個方面的內容：1、投資的風險度量方法，2、時間序列異方差模型，3、常見的連接分布的Copula函數，4、極值理論。

第三章是構建GARCH-EVT-Copula-CVaR投資組合優化模型。

第四章是基于我國股票市場的實證分析，選取了我國股票市場上的四支股票：招商銀行、工商銀行、貴州茅臺和中國人壽，來進行股票市場的投資組合優化，建立了各支股票基于GARCH模型下的邊緣分布，選用t-Copula函數連接，進行Mean-CVaR投資組合優化得出了四支股票的最優權重。

第五章是結論與展望。給出了通過本文研究后得到的四支股票的最優投資權重，指出了本文在分析過程中的不足之處，并且對本文尚未實現，有待完善的地方提出了展望。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

2 相關理論研究綜述

2.1 風險度量

風險度量的方法有很多，在這里我們主要講兩種重要且被廣泛使用的方法。

2.1.1 基于VaR的風險度量

傳統的風險度量采用的是方差，它只能衡量潛在的損失或收益的大小。然而，對于風險，我們不僅要考慮損失量的大小，也要考慮損失可能性的大小。為了綜合考慮量和幾率這兩個方面，風險價值的概念被提出來。

VaR，亦被稱為風險價值，是指在置信水平1-?下，某一金融資產或其組合在接下來一定時期內的最大可能損失。

P(Xt>-VaRt)=1-? (2.1)

其中，Xt資產為第t期的損益，它是一個隨機變量，當Xt?0時表示某項資產產生了收VaRt表示的是在置信益，Xt?0時表示某項資產造成了損失，?是給定的顯著性水平，水平1-?下，第t期的VaR值。

2.1.2 基于CVaR的風險度量

1、一致風險度量

Artzner[25]在1997年提出了一致風險度量的概念，他提出好的一致風險度量應滿足以下幾個條件，在這里我們用Z1,Z2來表示兩個資產組合的隨機收益,R(Z)表示相應的風險。

（1）單調性：對于Z1,Z2?（2）次可加性：對于Z1,Z2?（3）平移不變性：?a?R,Z?（4）正齊次性：如果t?0且Z?對于上述四條性質的理解如下：

條件（1）意味著，如果資產組合Z2在任何情況下都比Z1優越，則它的產生風險也相對來說較小。

條件（2）則表示任意投資組合的總體風險不會大于他們各自的風險加和，這一條件，如果Z1?Z2，則R(Z1)?R(Z2) ；

，則R(Z1+Z2)?R(Z1)+R(Z2)；

，則R(Z+a)=R(Z)?a；

，那么R(tZ)=tR(Z)。

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反映了用資產組合進行投資能分散風險的特點。

條件（3）意味著在已有的投資組合中再添加一定的現金，或者其他的無風險資產，那么投資組合的風險將相應地減少a。

條件（4）是指當投資組合資產組合的量綱發生變化時，如用不同的貨幣去度量時，其風險也會發生相同尺度的變化。

上述四個條件已成為現在投資組合研究領域判斷風險度量優劣性的重要標準。其中，最為重要的一條就是條件（2），次可加性，這一條保證了投資的分散化決策的有效性，也是VaR的缺陷之一。

2、CVaR的定義

針對于VaR的不足之處，CVaR應運而生。CVaR囊括了VaR所具備的優點，且在很多方面較VaR有更好的性質，例如：CVaR滿足次可加性和凸性等，這些性質在優化領域都有很好的應用。

CVaR的度量方式與VaR略有差異。是指在一定的置信水平下，在某一時期內，資產或其組合的總體損失超過VaR下的條件均值。CVaR的計算公式如下：

CVaRt=E[?Xt|?Xt?VaRt] (2.2)

令某項資產或者資產組合的概率密度函數為g(x)，則CVaR的計算公式如下：

CVaRt=E[?Xt|?Xt?VaRt]

=?E[Xt|Xt??VaRt] (2.3)

?=??3、CVaR的優點

?VaRt???VaRt??xg(x)dxg(x)dx.（1）專注于尾部風險，適應于金融時間序列數據。CVaR相比于VaR最突出的一點改進就是，CVaR考慮到金融時間序列的“尖峰厚尾”的基本特征，關注尾部概率發生的可能性，能夠評估極端事件的可能性。

（2）次可加性更符合現實意義。次可加性反映了資產分散化投資能夠分散風險的實際意義。

（3）凸性便于優化求解。VaR不滿足凸性，這在優化求解時會產生多個極值點的情況，無法確定全局最優點，而CVaR的凸性可以解決這一問題。

（4）CVaR和VaR構成雙保險。在計算CVaR的前提是先確定VaR，因此在CVaR的優化求解過程中，能獲得VaR和CVaR兩個度量，不僅可以防范當前風險，還可以預- 7 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

測超過VaR部分的風險大小，起到了雙保險的作用。

2.2 Copula函數

2.2.1 Copula函數理論

Copula理論的提出可以追溯到1959年，Sklar[44]指出對于一個任意的n維聯合累計分布函數，都可以拆解為一系列的邊緣分布和某個Copula函數。邊緣分布刻畫的是每個變量自身的分布，而Copula函數則是刻畫這些變量之間的相關性的度量。Copula相當于起了一個中介的作用，它能將各變量的邊緣累計分布函數與所有變量的聯合累計分布函數連接起來，構成了從邊緣分布到聯合分布的一個巧妙的橋梁，是研究多元分布的一個重要方法之一。

2.2.2 Copula函數的定義及性質

Neln（2006）[45]提出，N元Copula函數是滿足下述條件的函數：

（1）函數的定義域為IN；

（2）具有零基面，并且函數是N元遞增的；

（3）對于n?[1,N]，un?[0,1]，其邊緣分布滿足：Cn(un)=C(1,...,1,un,1,...,1)=un。

Copula函數理論是通過Sklar定理來保證的：

定理（Sklar定理）令F是一個n維隨機變量的聯合累計分布函數，將各個變量的邊緣累計分布函數記為Fi,1=1,...,n，存在一個n維的Copula函數C，使得：

F(x1,...,xn)=C(F1(x1),...,Fn(xn)) (2.4)

若每一個累計邊緣分布Fi,i=1,...,n都連續，則C唯一確定。否則，C僅在各自的Fi值域內是唯一確定的。

根據Sklar定理，設ui=F(xi),u=(u1,...,un),i=1,...,n，則對于有連續的邊緣分布的情況，Fi?1是對應Fi的逆函數，對于?u?[0,1]n，均有:

C(u)=FF1?1(u1),...,Fn?1(un)() (2.5)

SKlar定理傳達的含義是：當需要探討隨機變量的聯合分布時，可以采用一個中介，即Copula函數，將問題研究轉向各隨機變量的邊緣分布和它們之間的相關性結構，這樣就將原來比較復雜的問題化繁為簡了。如式（2.6）所示，其中，i=1,...,n，Fi對應的- 8 -

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概率密度函數為fi。

f(x1,...,xn)=?nF（x1,...,xn）?x1...?xn?nC（u1,...,un）n?nF（xi）i

=???u1,...,?un?xii=1=c(u1,...,un)??fi(xi).i=1n (2.6)

N元Copula函數擁有以下幾條性質：

（1）對?un?[0,1],n?[1,N],C(u1,...,uN)是非減的；

（2）C(u1,u2,...,0,...,un)=0,C(1,...,1,un,1,...,1)=un；

（3）?un?[0,1]，vn?[0,1]，n?[1,N]，有：C(u1,u2,...,uN)-C(v1,v2,...,vN)??un?vn；

n=1N（4）C-CC+，其中C-是N元Copula函數的Frechet下界，C+是N元Copula函數的Frechet上界，且有：

?N?C(u1,...,uN)=max?0，u?N+1?n?，

?n=1??C+(u1,...,uN)=min(u1,...,uN)；

（5）如果對于變量un?[0,1]，n?[1,N]相互獨立，那么C(u1,...,uN)=?un。

n=1N2.2.3 Copula函數的種類

Copula函數的種類有很多，一般而言，大體上可以總結為兩大類：1、橢圓型，2、Archimedean型[46]。

1、橢圓族Copula函數

（1）正態Copula

多元正態Copula分布函數如下：

其密度函數為：

c(u1,u2,...,uN;?)=?-1/2C(u1,...,uN;?)=??(??1(u1),??1(u2),...,??1(uN)) (2.7)

?1?exp???T(??1?1)??

?2?(2.8)

- 9 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

其中，?(?)代表標準正態分布函數，其逆函數為??1(?)，??(?)是變量相關陣為?的多元正態分布函數，?=(?1,...,?N),?i=??1(ui),i=1,...,N，I為單位陣。

（2）t-Copula

多元t-Copula分布函數如下：

C(u1,u2,,uN;p,v)=Tp,vtv?1(u1),Tv?1(u1)Tv?1(u2)(,tv?1(un)1) (2.9)

=????????v+N?2?1Tv(uN)??v+N?|?|?1?2??1(1+x'?dxNN?v?v??????(v?)2?2?其密度函數為：

12

c(u1,u2,...,uN;?,v)=|?|??v+N???v???????????2???2????v+1?????2??????NN?1?1(1+????1?)vv+N2?n=1(1+N?2nv)v+12 (2.10)

其中，x=x1,...,xN,?=?1,...,?N，?代表變量之間的相關陣，且是對角線均為1的正定陣，Tv(?)是自由度為v的t分布，Tv?1(?)則是Tv(?)的偽逆函數，且?i=Tv?1(ui)，i=1,...,N，Tv,p(?)是指在相關系數為?、自由度為v下的多元t分布。

()()2、Archimedean Copula函數

在1986年，Genest等人[47]提出了一種新的Copula函數，定義為阿基米德函數，其形式如下：

C(u1,u2,...,uN)=??1(?(u1)+...+?(uN)),0?u1,u2,...,uN?1 (2.11)

其中?(u)被稱之為阿基米德生成元，且有?(1)=0。確定了阿基米德Copula函數的生成元，就唯一確定了一個阿基米德函數。由于它具有一些優良品質，如對稱性、簡易型和可結合性等，所以在日常的實際場景中，它的應用很廣泛。

（1）N元 Gumbel Copula函數

Gumbel Copula對上尾變化比較敏感，一般用來刻畫金融資產產生正收益時的風險，當市場呈現牛市的態勢時，用Gumbel Copula來刻畫資產間的相關性比較符合。生成元以及Copula函數的形式如下所示：

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?(t)=(?lnt)?,???1,?)

?N?C(u1,u2,...,uN;?)=exp??[?(?lnun)?]1/??.

?n=1?(2.12)

(2.13)

（2）N元 Clayton Copula函數

Clayton Copula函數與Gumbel Copula相反，其刻畫的是下尾風險，更適用于熊市的情形下。

?(t)=(t?1???1),????1,?),??0 (2.14)

(2.15)

?N???

C(u1,u2,...,uN;?)=max?(?un?N+1)?1/?,0?.

?n=1?（3）N元 Frank Copula函數

Frank Copula是用來描述對稱的相關結構的函數，它對上下尾的相關性都不是很敏感。

e??t?1?(t)=?ln??,??(??,?),??0

e?1N??un?1?1??n=1eC(u1,u2,...,uN;?)=?ln1+??(e???1)N?1?(2.16)

(2.17)

()??.??2.2.4 Copula函數的參數估計

某一聯合密度函數為：

f(x1,x2,...,xn;?)=c(u1,u2,...,un;?c)?fi(xi,?i)

i=1n(2.18)

其中ui=Fi(xi,?i),i=1,...,n,c(u1,u2,...,un;?)=?C(u1,u2,...,un)?u1...?un，?i是Fi的待估參數，?c是Copula密度函數的待估參數，?=(?1,...?n;?c)是我們需要去估計的所有待估參數。

常見的三種Copula函數的估計方法：極大似然法、邊際推斷函數法和半參法。設ttX=(x1,.xit.,xn)??Tt=1,i=1,...,n代表1~T期的樣本觀測數據。

1、MLE法

MLE法估計Copula函數的未知參數是直接寫出聯合分布的對數似然函數表達式：

- 11 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

t,?n (2.19)

l(?)=?lncF1x;?1,F2x;?2,...,Fnx;?n;?c+??lnfixnt1t2tnt=1t=1i=1T(()()())Tn()然后對上式求極大值，得出相應的參數?=(?1,...,?n;?c)估計值。

2、IFM法

IFM法又稱為分步估計，它是對Copula進行參數估計就是將估計分為兩個階段，首先通過極大似然方法估計邊緣分布的未知參數，如下式所示：

?=argmaxlnfxt;?

??iiii?it=1T()(2.20)

?=??,...,??,代入到函數中，將極大似然估計得出的邊緣分布的未知參數向量?進而再估1n()計Copula函數中包含的未知參數?c：

?=argmaxlncFxt;??,Fxt;??,...,Fxt;??;???c111222nnnct=1T(()()()) (2.21)

通過兩個階段的估計，從而完成了對所有未知參數?=(?1,...,?i;?c)的參數估計。

3、CML估計

CML估計是一種半參數估計方法，它的基本思想是用非參數統計中的經驗分布的方法來擬合邊緣分布，先利用經驗分布函數代替邊緣分布函數，將樣本數據轉換為[0,1]內的均勻分布，再利用極大似然求解。

2.2.5 基于Copula函數的情景模擬

在金融投資領域，Copula函數普遍地出現在風險管理中。Copula函數能夠描述資產變量之間的非線性的關系，刻畫資產間的尾部相關性。但是由于Copula函數的復雜性，我們往往無法計算出VaR或CVaR具體的解析式，所以在通常的情況下，我們只能采用蒙特卡洛模擬的方法來幫助我們計算相應的VaR和CVaR的值。這里介紹Copula函數應用在風險管理領域，并用來求解VaR和CVaR的一般步驟：

步驟1：根據時間序列中的GARCH模型，選擇合適的邊緣分布，如構建GARCH(1,1)-ARMA-t模型擬合各資產收益率序列。

步驟2：通過概率積分變換讓標準化殘差序列變為服從均勻分布的序列，并求解?=argmaxlncF(xt),...,F(xt);?.

??c11nnct=1T()(2.22)

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Copula函數中的未知參數。

步驟3：生成Copula函數的隨機數。不同的Copula函數產生隨機數的算法不同，這里以正態Copula為例，介紹其隨機數生成法。先計算各變量之間的協方差矩陣?，對?對其實現Cholesky分解，設存在一個矩陣A，滿足：?=ATA，產生n個獨立的隨機變量：z1,...,zn，Z=(z1,...,zn)，且其服從于標準正態分布，并且記X=ATZ，ui=?(xi),i=1,...,n，則得出了服從正態Copula的隨機數，u1,...,un()CGS。

步驟4：將3中的隨機數u1,...,un代入到GARCH模型的波動方程中，模擬得到下期的收益率，確定了各資產的投資權重后，即可得資產組合的收益率。

步驟5：將步驟4重復k次，就能夠得到下期收益率的k種情景，根據該序列，設定好顯著性水平，即可求得VaR值，進一步得出CVaR的值。

()2.3 異方差模型

金融時間序列觀察值的預測和波動的建模是時間序列研究中重要組成部分，其中序列的波動直接與風險掛鉤，因此對波動性的研究是量化投資方向的一個重要課題。波動建模的應用廣泛，常被應用于進行期權定價、風險控制等金融投資活動中[48]。

2.3.1 ARCH模型

在投資領域，某些情況下，投資者并不需要在意所投資產在整個觀察期的實際水平，他們更傾向于關心在其持有期內，資產的波動是否發生了顯著的變化，是否發生了巨大的波動，他們是能從中獲得大額的收益還是承擔殘酷的損失。而早期的研究中，對于收益率的模型假設都是方差不變的，也就是方差符合齊次性。顯然，這不符合經濟意義，也不能滿足一些投資者的需求。尤其是對于股票市場的收益率這樣的時間序列，它變動是持續變化的，波動造成影響會持續一段時間，在圖形上呈現出在某個時期內波動很大，在其他時期波動又很小這樣的波動的集聚性的現象，因此以往方差相同假定下的模型是不能很好地刻畫具有“尖峰厚尾”、“波動叢集性”、“持久記憶性”等特點金融時間序列數據的[49]。美國財政經濟學家恩格爾（Engle）在研究英國的通貨膨脹現象時發現利用ARIMA模型很難得到好的擬合效果，于是他從殘差序列入手，發現殘差序列違反了方差齊次的條件，在不同觀察期數的方差是變化的，因而根據這一研究結果，提出了違反基本假定中方差齊次性的ARCH模型，即自回歸條件異方差模型[50]。主要表達式如下所示：

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

?xt=f(t,xt?1,xt?2,...)+?t??=?z?ttt?q??2=w+a?2?tjt?j?j=1? (2.23)

其中，f(t,xt?1,xt?2,...) 為第t期時間序列觀測值xt的自回歸模型部分，?t是條件方差，。

?t則為殘差項，且zt~N（0，?2）所以，自回歸條件異方差模型就是一個研究時間序列的時變方差和以往的數據波動之間關系的模型，能夠有效地描繪金融時間序列數據的“集聚性”的現象。

2.3.2 GARCH模型

ARCH模型中，如果q很大，則要估計很多的參數，則需要大量的樣本來進行參數估計，然而現實中往往無法獲得充足的數據樣本，廣義自回歸條件異方差在ARCH模型原有形式的基礎上，加上了?t2的自回歸部分，使得待估參數減少，對未來條件方差的預測更加準確[51]。因此ARCH模型經過改進后變成如下形式：

?xt=f(t,xt?1,xt?2,...)+?t??=?z.

?ttt?pq22??=w+b?+a?2??tit?ijt?j?i=1j=1?iid(2.24)

2.3.3 衍生的GARCH模型

由于GARCH模型存在著約束上過于嚴格，且并沒有對正負向的擾動加以區分的缺點，因此后來的統計學家們對此模型加以改進[52][53]。

1、EGARCH模型

該模型具體結構如下所示：

?xt=f(t,xt?1,xt?2,...)+?t??=?z?ttt?pq?ln(?2)=w+?ln(?2)+?g(z)

??tit?iii?i=1j=1???g(zt)=?zt+?[zt?Ezt] (2.25)

在這里，改進了GARCH模型的約束過于嚴格的缺陷；ln(?t2)沒有非負的相關約束，并且此模型引進了一個有關zt的函數，對正負向的擾動區分處理。

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2、IGARCH模型

已知，GARCH模型平穩時，有：

Var(?t)=w1?(?bi+?ai)i=1i=1qpq (2.26)

GARCH模型的約束中要求?bi+?ai?1，這樣能確保上式有界。IGARCH模型的i=1i=1p特點則是將上述約束條件改為：?bi+?ai=1，此時Var(?t)無界，它的無條件方差也沒i=1i=1pq有意義了，其適用于去描述隨機游走的條件異方差。

3、GARCH-M模型

一般地，風險越大，收益越大，即投資的資產收益率的波動性基本上是與其收益率匹配的。這是一種風險溢價的思想。后來，Engle[50]等科學家將此思想引入了異方差模型，認為收益率的均值不僅依賴于自回歸項，還同時受波動項控制，從而創造了GARCH-M模型。其具體結果如下所示：

?xt=f(t,xt?1,xt?2,...)+??t+?t??=?z.

?ttt?pq??2=w+b?2+a?2??tit?ijt?j?i=1j=1? (2.27)

2.4 極值理論

極值理論（Extreme Value Theory，EVT）主要研究的是發生十分罕見，但是一旦發生就會產生的深遠影響的事件，如一些突發性的意外自然災害：地震、海嘯等。在歷史上，人們留存下很多有關極端自然事件的資料，基于這些歷史數據，能夠預測出各種程度的自然災害發生的可能性。目前極值理論也很多地應用于銀行、保險和基金等領域，關注某些重大變動或設計產品的價格等。

2.4.1 極值理論模型

目前以下兩種極值理論的模型較為成熟：

一是分布樣本極大值模型，又稱為BM模型，其模型應用的理論前提是一組獨立同分布的樣本的極值，是漸近地服從于廣義極值分布（GEV）的，BM模型基于分組數據- 15 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

的最大值，形成極值數據組，從而進行建模[54]。由于極值數據本身就少，此方法在分組過程中需要大量的樣本數據，因此應用起來并不方便。

二是超門限極值理論模型，該方法僅對于超過某一特定閾值后的樣本進行建模分析，重點研究厚尾分布的形態特性，在實踐中比較實用且有效。因此，本文采用此模型進行分析[55]。

設X1,X2,...,Xn是一組服從獨立同分布的隨機變量，對應的分布函數為F(x)，記序列值的右端點為x0，該點可能是有限值，也可能是無限值。即：

x0=sup{x0?R:F(x)?1} (2.28)

設u是一個足夠大的閾值，超過該閾值的樣本數據個數為Nu，則超過某一閾值的超額數為y=Xi?u，則超額數y在一定條件下的分布函數為：

Fu(y)=P{X?u?y|X?u}=P{X?u?y,X?u}X?u

u?X?y+u=P{}X?uF(y+u)?F(u)=1?F(u) (2.29)

則通過變換可以得到：

F(x)=[1?F(u)]Fu(y)+F(u) (2.30)

因為超過閾值部分的樣本數據一般很少，所以對這部分的分布進行擬合比較困難，不過，利用極值理論思想可以有效地利用超過閾值后有限的樣本觀察值，幫助解決小樣本下的估計問題。Balkema等人[56]證明了在有一個充分大的閾值的前提下，超閾值的分布會漸進地服從于一個兩參數??、??的廣義帕累托分布（GPD）如下所示：

?y?1/??1?(1+),??0???Fu(y)?G?，?(y)=?

?1?exp(?y),?=0???(2.31)

其中，?為形狀參數，?為尺度參數。則：

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F(x)=??1?F(u)??G?,?(x?u)+F(u) (2.32)

設Nu為樣本數據中大于閾值的樣本個數，則：

?(u)=n?NuFn

(2.33)

將式（2.31）和（2.33）代回式（2.32），得：

x?u?1/??(x)=1?NuF（1+?）.

n?(2.34)

2.4.2 參數的極大似然估計

上文已經明確了GPD分布的形式，接下來就需要對參數進行估計。廣義帕累托分布的概率密度函數如下所示：

?1/??1?1?y?，??0??1+??????

g?,?(y)=???y??1exp???，?=0?????? (2.35)

則相應的對數似然函數形式如下：

n???nln??(1/?+1)?ln(1+?yi/?) ，??0?i=1

lnL(?,?)=?n??nln??1/??yi，?=0?i=1? (2.36)

?。代回式（2.34），得

?和?上述對數似然函數求解得到?和?的估計值?

x?u???(x)=1?Nu?F1+????n?????1/?. (2.37)

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

3 基于Garch-EVT-Copula-CVaR的投資組合優化模型

進行投資組合優化模型的構建主要有三個關鍵點：1、各收益率邊緣分布的確定；2、聯合分布的構建；3、合適的風險度量方法和優化模型。

首先，需要對尾部分布進行擬合，利用GARCH模型去模擬股票收益率序列的收益率波動變化。同時，本文將采用極值理論細致地刻畫標準化殘差序列分布。

其次，進一步去擬合各股票對數收益率標準化殘差序列的聯合分布。算出各支股票相應的累計分布函數，并且能夠通過檢驗得到，它們是在[0,1]上的均勻分布，符合Copula函數的定義域范圍。由于當維度多時不易直觀觀察四支股票的相依性，因此我們根據以往經驗選取t-Copula來進行聯合。

建立起Garch-t-Copula模型：

rnt=?nt+?nt;n=1,?,N;t=1,?,T???nt=?ntznt?222??nt=wn+?n?nt?1+?n?nt?1?

?vn?znt?t?1t(vn)?vn?2???(z1t,z2t,?,zNt)|?t?1~C(Tv1t(z1t),?,TvNt(zNt)|?t?1) (3.1)

其中，n=1,...,N代表第n項資產，t=1,...,T代表第t期，?nt為均值項，?nt為殘差項，zntiidN(0,1)，Tvnt(?)代表自由度為n的t分布，C(?)是n元t-copula函數，?t?1代表t-1期及以前的歷史信息。

最后，構建投資組合優化模型。本文采用風險規避型投資組合優化，構建Mean-CVaR投資優化模型。設CVaR(?)是一種風險度量方法，r0是期望收益，x=(x1,...,xn)T是權重向量，R=(r1,...,rn)T是收益率向量，xTR表示資產組合收益率，其中ri是第i個資產收益率，I=(1,...,1)T，E(?)代表資產組合收益率的期望，模型形式如下所示：

minCVaRxTR

()(3.2)

?E(xTR)?r0.

?Ts.t.?xI=1?x?0?- 18 -

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直接去計算CVaR是非常困難的，尤其是當投資組合種類繁多時會涉及到計算高維積分的問題，參考Anderson[26]的文章，可將原問題轉化成一個相對來說簡單的等價問題，即將最小化CVaR轉化為一個最小化一個特殊的函數F?(x,?)，則模型可以變形為：

minF?(x,?)

?E(xTR)?r0?s..t?xTI=1?x?0? (3.3)

其中，

F?(x,?)=?+11???y?Rn[f(x,y)??]+p(y)dy (3.4)

其中，[z]+=max{z,0}，y的密度函數為p(y)。將原目標函數轉化為等價形式后，假設收益率分布的每一個取值都是來自于原分布的一個情景，即可再利用情景模擬的方法將其離散化，假設其有m種可能會出現的情形，則第j次情形發生時的取值為yj(j=1,2,...,m)，發生的概率為?j，所以F?(x,?)可以近似成：

m1F?(x,?)=?+?j[f(x,yj)??]+

?(1??)j=1(3.5)

一般常見損失函數都是線性函數，即f(x,y)=?xTy=?(x1y1+...+xnyn)。如果每次情景發生的概率相等，則?i=

1，因此上式又可以轉化為：

m(3.6)

mn1?(x,?)=?+F[?(?yijxi)??]+

??m(1??)j=1i=1引入一個新變量dj，

dj=[?(?yijxi)??]+

i=1n(3.7)

通過引入新變量，使原問題轉化成了一個簡單易于求解線性規劃的問題，線性規劃問題的具體形式如下所示：

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

m1?(x,?)=?+minF?dj?x,?m(1??)j=1

?xTE(yi)?r0?n?d?(?yx)??iji?j?

i=1?s..t?dj?0?n?xi=1??i=1?0?xi?1? (3.8)

注意到式（3.8）是一個線性規劃問題，采用matlab軟件包來實現優化過程。

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4 實證分析

本章將基于第三章的GARCH-EVT-Copula-CVaR模型進行投資組合優化的實證分析，將投資組合優化理論應用于我國的股票市場。這里選取了來自滬深兩市的四只股票：招商銀行、工商銀行、貴州茅臺和中國人壽從2015年1月5日到2019年12月31日期間的每日收盤價數據，剔除非交易日，共計1219個樣本。數據來源于網易財經，下文程序均用matlab軟件編寫。

4.1 數據處理和檢驗

4.1.1 數據處理

計算收益率的方法有兩種：簡單收益率和對數收益率（幾何收益率）。因為對數收益率有優于簡單收益率的一些性質：可以實現價格上漲和下降的對稱性；使數據變得更為平滑；方便計算區間收益率、復利等，因而對數收益率在實際的應用中更為廣泛。本文用每日收盤價來計算對數收益率，第t期的對數收益率的計算公式為：

rt=lnpt?lnpt?1

其中rt表示某項資產的日收益率。pt表示第t期的資產收盤價。

在這里將收益率放大100倍進行下面的檢驗，從而使結果易于觀察，且對我們的分析不產生影響。各股票的收益率的波動圖如圖4.1所示：

圖4.1（a）招商銀行的收益率波動圖

Fig.4.1(a) return volatility chart of China Merchants Bank

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

圖4.1（b）工商銀行的收益率波動圖

Fig.4.1(b) return volatility chart of Industrial and Commercial Bank

圖4.1（c）貴州茅臺的收益率波動圖

Fig.4.1(c) return volatility chart of Moutai

圖4.1（d）中國人壽的收益率波動圖

Fig.4.1(d) return volatility chart of China Life

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觀察上述股票的基本形態，以招商銀行的對數收益率（圖4.1（a））為例，序列的波動在大部分的時段是平穩的，并且圍繞著0值附近波動，大部分時期的波動范圍位于-6和6之間。在某些時期波動會持續性地進行，且表現出集聚性的現象。如圖所示在第100~200個觀測值,也就是2015年6月~ 2015年10月期間有較大的波動，且波動會持續一段時間，表現為大的波動后跟大的波動，小波動后跟小波動這樣的形態，因此我們可以看出經濟現象的慣性或者滯后性使得金融時間序列的波動存在著高度的相關性，從而表現為“集群效應”這樣的特征。在此期間，其他股票收益率波動圖也具有類似特征，說明了各股票之間也存在一定的相關性。

4.1.2 數據檢驗

1、基本統計特征及正態分布檢驗

計算四支股票對數收益率的基本統計特征，并利用J-B檢驗來對各支股票進行正態性檢驗。得到的結果如表4.1所示：

表4.1 四種股票對數收益率的基本統計特征

Tab.4.1 The basic statistical characteristics of logarithmic returns of four stocks

招商銀行 工商銀行 貴州茅臺 中國人壽

均值

中位數

方差

最大值

最小值

偏度

峰度

J-B統計量

P值

0.0667

0.0000

3.4652

9.1404

-10.4403

0.0663

6.9605

796.9538

0.0000

0.0123

0.0000

2.3419

9.5310

-10.4282

-0.2089

11.4678

3647.7788

0.0000

0.1449

0.0242

4.1647

9.5310

-10.5361

0.1156

6.0774

483.3267

0.0000

0.0019

-0.0695

5.3316

9.5517

-10.5361

0.2381

6.6199

676.5184

0.0000

偏度是數據的三階標準化矩，它能夠反映出分布偏斜方向以及程度。從表4.1看出，招商銀行、貴州茅臺和中國人壽股票對數收益率分布呈現出一定的右偏趨勢，偏度分別為0.0663，0.1156和0.2381，而工商銀行呈現一定的左偏分布，偏度為-0.2089。峰度是標準化數據序列的四階中心矩，直觀上反映了概率密度曲線在其尾部的厚度。一般地，正態分布的峰度值為3，峰度值越大，說明數據中的極端數據越多，體現為概率密度分布的明顯的厚尾性，四支股票的峰度都大于3，尖峰厚尾特性極為明顯。綜合考慮偏度和峰度特性，引入JB檢驗，該統計量在正態分布的零假設下，是漸近地服從自由度為- 23 -

基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

2的卡方分布的，而四支股票計算出來的JB統計量對應的P值近似為0，都顯著地拒絕了正態分布的原假設。

為了更直觀地感受四支股票的分布情況，我們做出四支股票各自對數收益率分布QQ圖（Quantile Quantile Plot，分位數圖示法）進行觀察，以樣本數據的分位數為y坐標軸，標準正態分布的分位數為x坐標軸，繪制散點圖進行觀察，如圖4.2所示：

圖4.2 四種股票對數收益率序列QQ圖

Fig.4.2 QQ chart of four stock logarithm return ries

以招商銀行股票對數收益率QQ圖為例，圖4.2中左上方圖形中的虛線為參考線，如果數據服從標準正態分布，則數據應該落于該直線上或附近。然而，觀察上圖發現，雖然樣本對數收益率在-3~2范圍內時，圖形中的散點基本和參考直線重合，但是在雙尾處，收益率序列理論的正態分布分位數與實際的分位數有明顯的偏差，可見用正態分布的尾部概率來描繪金融時間序列的分布是十分不恰當的，其他四只股票對數收益率的QQ圖形亦是如此。因此結合以上兩種判斷數據正態性的方法，我們可以得出結論：四種對數收益率序列無一服從正態分布。因此我們不能簡單地使用正態分布來擬合股票對數收益率序列的分布，應該注意雙尾處的正態偏離現象，選擇更合適的分布來進行擬合，否則計算CVaR得出的結果是不準確的和不合理的。

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2、平穩性和相關性檢驗

通過前面的分析，我們總結出收益率序列具有尖峰、厚尾和聚集性的特征。尖峰厚尾特征意味著我們不宜使用正態分布來擬合收益率分布，集群效應的則意味著在整個序列的觀察范圍內，序列的方差是非齊性的，在某些時段的方差不等于期望方差，因此適合引入時間序列理論中的條件異方差模型。在應用GARCH模型之前，先要檢驗各股票對數收益率序列各自的平穩性和相關性。

表4. 2 四支股票的單位根檢驗

Tab.4.2 Unit root test of four stocks

招商銀行 工商銀行 貴州茅臺

-35.2686

0.0010

-35.0327

0.0010

-35.0978

0.0010

ADF統計量

P值

中國人壽

-34.7141

0.0010

數據平穩性檢驗的方法很多，如ADF檢驗法、PP檢驗等，這里采用ADF檢驗法。通過檢驗收益率序列中單位根的存在情況，來討論其平穩性，采用matlab中的adftest檢驗，結果如表4.2所示。可以看出四支股票對數收益率序列的ADF單位根檢驗的P值都顯著的小于0.05，即所有序列都不含單位根，是平穩序列。

進一步，驗證序列的自相關性，作出自相關圖來觀察各股票對數收益率序列的自相關性，計算滯后20階以內的自相關系數如圖4.3所示。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

圖4.3 四種股票對數收益率序列自相關圖

Fig.4.3 Autocorrelation graph of log return ries of four stocks

由圖4.3，可以看出四支股票的對數收益率序列的自相關系數大都落入到二倍標準差范圍內，即相關性不明顯，因此我們可以認為序列是不存在自相關性的，在后續的GARCH模型的均值方程中不需要加上自相關的描述部分。

3、ARCH效應檢驗

根據前面的分析，即可得出各支股票對數收益率序列是平穩的、不相關的，因此均值方程不需要描述自相關性的項，即有rt=?t+?t，并且根據四只股票對數收益率序列的時序圖，初步判斷序列可能存在異方差的特征。為了進一步證明此猜想，接下來觀察對數收益率平方序列的自相關圖，并進行LM檢驗，判斷序列是否存在著隨著時間的推移發生變化的時變方差。

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圖4.4 對數收益率平方序列自相關圖

Fig.4.4 Autocorrelation graph of square ries of logarithmic yield

進一步，通過LM檢驗法來判斷，結果如表4.3所示：

表4.3 ARCH-LM檢驗

F-統計量

P值

Tab.4.3 ARCH-LM test

招商銀行 工商銀行

3.1435

0.008

3.7503

0.0023

貴州茅臺

2.8246

0.0238

中國人壽

3.3366

0.0029

由圖4.4可以看出各平方序列都有或多或少的相關性；由表4.3看出，在0.05的顯著性水平下，四支股票均拒絕了“殘差平方序列純隨機”的原假設，即可認為存在ARCH效應，可以進行GARCH模型建模。

上文中已經通過序列的自相關檢驗發現四支股票對數收益率序列不存在自相關，因此建立GARCH模型時不含自相關的均值項，這里采用代表性的GARCH(1,1)-t模型進行擬合。同時，為了驗證模型擬合的優劣，對GARCH-t模型生成的標準化殘差序列進行概率積分變換，如果邊緣分布擬合良好，則變換后的序列應當服從0~1間的均勻分布，這里采用K-S檢驗。結果如表4.4所示。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

表4.4 GARCH(1,1)-t模型參數估計結果

Tab.4.4 Parameter estimation results of GARCH (1,1)-t model

??

??

??

??

??

K-S概率值

招商銀行

0.0667

0.0161

0.0553

0.9442

4.3252

0.1347

工商銀行

0.0123

0.0411

0.1305

0.8695

3.4966

0.1796

貴州茅臺

0.1449

0.0748

0.0631

0.9223

4.8511

0.1253

中國人壽

0.0019

0.1216

0.1039

0.8807

4.2989

0.1864

觀察表4.4，四支股票的K-S概率值都大于0.05，即可認為變換后的序列服從均勻分布。觀察此刻標準化殘差平方序列的自相關圖（附錄圖1）并進行LM檢驗（附錄表1），認為已經不存在異方差性，可以說，GARCH(1,1)-t模型成功地提取了序列的波動信息，很好地擬合了邊緣分布。

4.2 標準化殘差序列半參數化邊緣分布

上文中通過圖形和檢驗法，得出金融時間序列的分布具有一定的“尖峰”、“厚尾”特征，本節將基于極值理論進行邊緣分布的擬合。由于極值理論的前提條件是序列是獨立同分布的，因此做出標準化殘差序列的自相關圖如圖4.5所示：

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圖4.5 對數收益率標準化殘差序列自相關圖

Fig.4.5 Autocorrelation chart of standardized residual ries of logarithmic yield

四支股票對數收益率的標準化殘差序列的各階自相關函數值大多落入到兩倍標準差的范圍內，因此不能認為顯著地偏離0，即認為各股票對數收益率的標準化殘差序列不存在自相關性，序列是服從獨立同分布的，可以進行極值分布建模。

極值分布擬合的第一步需要選擇恰當的閾值，再進行分布中其他參數的估計。閾值不能過小，否則影響超額分布的收斂性；亦不能過大，導致超過閾值的樣本量很少。根據以往的經驗，這里選取10%上分位點為上尾閾值，90%上分位點為下尾閾值，得出四支股票的上尾閾值2.4527、1.4475、2.3466和2.5912，下尾閾值分別為-2.2154、-1.5012、-2.2614和-2.3442。然后采用極大似然法用matlab編程，求出GPD分布的參數估計結果，如表4.5所示：

表4.5 四支股票標準化殘差序列的GPD參數估計

Tab.4.5 GPD parameter estimation of standardized residual ries

????

????

????

????

????

????

招商銀行

2.4527

0.0568

1.2926

-2.2154

-0.2600

3.2490

工商銀行

1.4475

0.1221

1.1605

-1.5012

-0.1697

2.0660

貴州茅臺

2.3466

-0.0883

1.6795

-2.2614

-0.2620

3.2420

中國人壽

2.5912

0.1221

1.5788

-2.3442

-0.2364

3.3857

為了驗證極值分布的擬合效果，分別取上尾和下尾內的數據根據上表中的參數估計結果繪制分布圖，并與原始數據的經驗分布比較，做出圖4.6-4.7[57]。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

圖4.6 上尾樣本數據GPD分布和核密度經驗累積分布擬合效果

Fig.4.6 Fitting effect of GPD distribution and empirical cumulative distribution of nuclear density of

upper tail sample data

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圖4.7 下尾樣本數據GPD分布和核密度經驗累積分布擬合效果

Fig.4.7 Fitting effect of GPD distribution and empirical cumulative distribution of nuclear density of

lower tail sample data

觀察上述圖形，實線是上下尾部分的經驗分布，虛線是擬合的GPD分布，整體看來，GPD分布擬合效果良好。

進一步，將上下尾分布合并在一個圖形中，對于上下尾中間的樣本數據采用核密度估計來擬合，如圖4.8所示，散點代表擬合GPD上下尾累積分布，實線部分代表核密度估計得到的經驗累積分布。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

圖4.8 各股票標準化殘差序列邊緣分布的擬合效果

Fig.4.8 Fitting effect of marginal distribution of standardized residual ries

觀察上圖，發現GPD分布對尾部分布的擬合效果很好。整體而言，各股票對數收益率標準化殘差序列的邊緣分布擬合取得了較優秀的效果。

4.3 基于Mean-CVaR的投資組合優化

在前兩節中，觀察了金融時間序列的圖像特征并進行了相關檢驗，對于各股票進行了極值分布刻畫，并根據“集聚性”的特征構建了條件異方差模型。本小節將根據上文中的邊緣分布建模結果，進一步進行聯合分布的構造，通過蒙特卡洛模擬法，實現Mean-CVaR的投資組合優化。

4.3.1 Mean-CVaR投資組合的有效前沿

上文已經構建邊緣分布相關模型，然而，在實際的投資情景中，我們的“投資籃子”中的股票數量會有多種，因此需要探索“投資籃子”的聯合分布率。在這里，本文引進一個連接邊緣分布和聯合分布的工具：Copula函數，根據以往的經驗，采用t-Copula函數進行擬合。表4.6是t-Copula的擬合結果。

表4.6 t-Copula參數估計結果

Tab.4.6 t-Copula parameter estimation results

招商銀行 工商銀行 貴州茅臺

t-Copula(k=8.8494)

招商銀行

工商銀行

貴州茅臺

中國人壽

1

0.6481

0.3231

0.4914

0.6481

1

0.2227

0.4332

0.3231

0.2227

1

0.3047

中國人壽

0.4914

0.4332

0.3047

1

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應用GARCH-Copula-Mean-CVaR模型，并采用蒙特卡洛模擬法，模擬10000期收益率數據，給定置信水平為95%，得出期望收益率在一定范圍內時VaR和CVaR的取值，如表4.7所示：

表4.7 不同期望收益率下的VaR和CVaR

Tab.4.7 VaR and CVaR under different expected returns

VaR CVaR ER(10?2) VaR

1.7928

1.7928

1.7936

1.8107

1.8359

1.8533

1.8838

1.9181

1.9679

2.6259

2.6259

2.6266

2.6380

2.6593

2.6911

2.7317

2.7833

2.8437

0.8621

0.9483

1.0345

1.1207

1.2069

1.2931

1.3793

1.4655

1.5517

2.0410

2.0788

2.1519

2.1989

2.2767

2.3305

2.4001

2.6856

3.3568

ER(10?2)

0.0862

0.1724

0.2586

0.3448

0.4310

0.5172

0.6034

0.6897

0.7759

CVaR

2.9113

2.9852

3.0659

3.1543

3.2487

3.3523

3.4888

3.9132

4.9216

根據上表數據，繪制有效前沿如圖4.9所示：

圖4.9 各股票對數收益率有效前沿

Fig.4.9 Effective frontier of logarithm yield of each stock

可以看出給定置信水平時，隨著期望收益率的升高，投資組合的VaR和CVaR同時上升，風險和收益是無法分割的；在同等的期望收益率和置信水平下，由Mean-CVaR得出的最優投資組合總有CVaR>VaR；期望收益越高，邊際風險在上升，觀察在收益率高于0.014后，風險有明顯的攀升，每上升一單位的收益，所承受的風險愈加大。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

4.3.2 置信水平對Mean-CVaR投資組合的影響

均值-方差模型在給定股票投資組合的前提下，只能得出一種投資組合方案，而Mean-CVaR則不一樣，Mean-CVaR模型下的有效前沿是隨著置信水平的改變而移動的。這里選取幾種常見的水平，90%、95%、99%，觀察相應的變化情況，如圖4.10所示。

圖4.10 不同置信水平下對數收益率有效前沿

Fig.4.10 Effective frontier of logarithm yield under different confidence levels

可以看出：隨著置信水平的提升，有效前沿曲線會向右移動，即置信水平上升，資產組合所達到的期望收益率在下降。這是由于置信水平的上升，出現“壞情景”的可能性越小，風險也愈小，從而收益也有所降低。進一步，給定期望收益率為0.01，即可得到不同置信水平下最優投資權重的情況，如表4.8所示：

表4.8 不同置信水平下的最優投資權重

Tab.4.8 Optimal investment weight under different confidence levels

招商銀行

工商銀行

貴州茅臺

中國人壽

99%

0.603

0.1452

0.1734

0.0784

95%

0.5841

0.1656

0.1512

0.0991

90%

0.6106

0.1784

0.1297

0.0813

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5 總結與展望

風險度量方法的研究和應用已經十分廣泛和普及。本文基于常見的風險度量方法，采用時間序列中的GARCH模型和連接邊緣分布的Copula函數，將風險度量CVaR引入到投資組合優化的決策之中，進行了Mean-CVaR模型的構建和求解，得出了此模型下的最優投資權重。本文所做工作如下：

第一，利用VaR和CVaR對投資決策進行雙項監管。投資組合優化的過程中，優秀的風險度量方法在進行投資組合權重的求解中功不可沒，采用不同的風險度量工具會求解出不同的投資權重。在這些投資組合優化模型之中，均值-方差模型是最為基礎的模型，隨著VaR的出現，風險度量更符合現實情境；CVaR的補充，更能衡量超額風險的部分。而基于以上方法結合而成的Mean-CVaR模型，能夠同時得到CVaR和VaR兩個值，可以對風險進行雙項監管。

第二，極值理論刻畫超閾值分布。本文對樣本股票收益率的分布進行了探索，通過觀察時序圖，看出序列的波動集聚的特征；進行正態性檢驗，得出收益率分布有一定的左偏或右偏趨勢，且呈現金融時間序列普遍具有的“尖峰厚尾”的特征。這表明我們無法用正態分布去擬合股票收益率序列，從而采用均值-方差模型是不合理的。在此前提下，采用了極值理論的模型對分布的尾部進行建模，中間部分則利用核密度經驗分布建模，刻畫出標準化殘差序列的分布情況，擬合效果良好。

第三，Mean-CVaR模型求解最優權重。Mean-CVaR模型可以通過一定的變換，將其離散化、線性化，變為一個線性規劃問題，求解出最優權重；并且可以基于不同置信水平下的選擇，讓具有不同風險傾向的投資者都能夠選擇到合適的模型。本文從上深兩市中選取了四支股票，并構建了Mean-CVaR投資組合優化模型。根據四支股票的相依情況，選取合適的Copula連接函數，并基于Mean-VaR優化模型進行了求解，求出了各資產的最優投資權重，并得出了投資組合對應的CVaR有效前沿，總結了風險和收益的關系；另外探討了不同置信水平下的有效前沿情形。

股票市場的震蕩對于國民經濟會造成很大的影響與沖擊，很可能會給一部分人帶來巨大的損失。對于金融市場的維穩問題，宏觀上，主要是受國家政策方針和自身的經濟狀況的影響；微觀上看，投資者的行為才算風險最根本的源頭，因此投資者如何將自己的資產進行合理地投資顯得至關重要。這一問題也是近幾十年來學者們一直致力于研究的內容。本文在微觀投資者的角度，提供了一種理論上的投資組合的分配方案，在一定程度上是可以分散投資者的投資風險，進而緩解金融市場的大幅度振動的情況。不過限于筆者的水平，本文仍存在一些學術或實踐上的不足的問題需要進一步地改進與解決。

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

1、本文在進行極值分布中閾值u的確定時，是采用樣本的上10%和90%的分位數來定義的，雖然在實證中顯示極值分布的擬合效果良好，閾值選取較有效，但是是否有更具科學性和合理性的方法來幫助閾值的確定，仍值得進一步探討。

2、本文采用t-Copula去衡量變量之間的相關關系，而傳統的n維Copula函數可能會忽略資產變量的維數以及尾部相關性的影響，pair Copula模型在這些方面有一定的優勢，更具靈活性和優越性。后續可以采用pair Copula針對變量相依關系進行進一步研究。

3、本文的投資組合優化模型中并未設置過多的限制條件。事實上，交易成本、單一證券的投資占整個投資組合的比例，最小交易規模等在實際投資過程中都是需要加以考量的因素。如何將理論模型設置得更加貼合實際，是今后研究需要努力的方向。

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參 考 文 獻

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

附錄A 標準化殘差自相關圖和LM檢驗結果

圖1 標準化殘差的自相關圖

Fig.1 Autocorrelation graph of standardized residuals

表1 ARCH-LM檢驗

Tab.1 ARCH-LM test

F-統計量

P值

招商銀行

0.1445

0.9817

工商銀行

0.1668

0.9747

貴州茅臺

1.1580

0.3279

中國人壽

0.2159

0.9558

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大連理工大學專業學位碩士學位論文

攻讀碩士學位期間發表學術論文情況

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基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

致 謝

一晃之間，研究生生活即將結束，兩年的時光如白駒過隙，還清楚地記得踏進大工校園時的憧憬。回顧近兩年來的學習生活，感慨良多，收獲很多，感謝這一路來關心和支持我的人。

首先感謝我的導師，劉永朝老師，劉老師是一位學識淵博，治學嚴謹的老師。他時常教導我們，要潛心學習，把握時間，努力涉獵各方面知識，無論今后是升學還是就業，這都是寶貴的財富；劉老師也常帶領我們開展討論班，一起交流學習機器學習，帶我們了解優化方面的知識；在課外，劉老師關心我們的學習工作和生活，他不僅是一名良師，也像一個朋友一樣，時常和我們一起談笑風生。

其次，感謝數學科學學院的老師們為我們呈現了很多優質的課程，讓我對專業知識有了更多思考，努力理解理論背后的實際背景，更加注重理論與實踐相結合；感謝同門師兄師妹的學習交流，在討論班的課程中收獲了豐富的知識，也鍛煉了自己的表達能力；感謝室友們的陪伴，感謝你們在生活和學習中的關心和鼓勵，因為有你們，短暫且忙碌的研究生生活才因此變得多姿多彩起來。

最后，我要感謝我的父母，感謝父母一直以來默默無聞地奉獻，從小到大的栽培和無微不至的關心照顧，正是因為他們一直站在我的身后，我的每一步才愈加堅定！

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大連理工大學專業學位碩士學位論文

大連理工大學學位論文版權使用授權書

本人完全了解學校有關學位論文知識產權的規定，在校攻讀學位期間論文工作的知識產權屬于大連理工大學，允許論文被查閱和借閱。學校有權保留論文并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版，可以將本學位論文的全部或部分內容編入有關數據庫進行檢索，可以采用影印、縮印、或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。

學位論文題目： 基于風險度量CVaR的股票市場投資組合優化

作 者 簽 名 ： 日期： 2020 年 6 月 3 日

導 師 簽 名 ： 日期： 2020 年 6 月 3 日