有關公理化思想

2023年12月28日發(作者：湖北一本分數線)

公理化思想與歐幾里德

所謂公理化方法（或公理方法），就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本命題）出發，利用純邏輯推理法則，把一門數學建立成為演繹系統的一種方法。所謂基本概念和公理，當然必須反映數學實體對象的最單純的本質和客觀關系，而并非人們自由意志的隨意創造。

如所共知，希爾伯特1899年出版的《幾何學基礎》一書是近代數學公理化的典范著作。該書問世后的二、三十年間曾引起西方數學界的一陣公理熱，足見其影響之大。希爾伯特的幾何公理系統實際是在前人的一系列工作成果基礎上總結出來的，書中的公理條目也曾屢經修改。直到1930年出第七版時，還作了最后修改。這說明一門學科的公理化未必是一次完成的，公理化過程可以是包含一些發展階段的。

談到數學公理化的作用，至少可以舉出如下三點：（1）這種方法具有分析、總結數學知識的作用。凡取得了公理化結構形式的數學，由于定理與命題均已按照邏輯演繹關系串聯起來，故使用起來也較方便。（2）公理化方法把一門數學的基礎分析得清清楚楚，這就有利于比較各門數學的實質性異同，并能促進和推動新理論的創立。（3）數學公理化方法在科學方法論上有示范作用。這種方法對現代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用。例如，20世紀四十年代波蘭的巴拿赫（Banach）曾完成了理論力學的公理化；物理學家還把相對論表述為公理化形式，等等。

公理化方法的歷史發展，大致可分成三個階段：

一是公理方法的產生階段，大約在公元前三世紀，希臘的哲學家和邏輯學家亞里斯多德（Aristotle）總結了古代積累起來的邏輯知識，以演繹證明的科學（主要是數學）為實例，把完全三段論作為公理，由此推導出別的所有三段論（共分了十九個格式）。因此可以認為，亞里士多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統。

亞里士多德的思想方法深深地影響了公元前三世紀的希臘數學家歐幾里得，后者把形式邏輯的公理演繹方法應用于幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》。歐幾里得從古代的量地術和關于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。他總結概括出14個基本命題，其中有5個公設和9條公理。由此出發，他運用演繹方法將當時所知的幾何知識全部推導出來，這便是古代數學公理方法的一個輝煌成就。

《幾何原本》的問世標志了數學領域中公理方法的誕生。它的貢獻不在于發現了幾條新定理，而主要在于它把幾何學知識按公理系統的方式妥切安排，使得反映各項幾何事實的公理和定理都能用論證串聯起來，組成了一個井井有條的有機整體。

二是公理方法的完善階段，如所知，歐氏幾何的公理系統是不完善的，其主要的不足之處可以概括為：（1）有些定義是不自足的，亦即往往使用一些未加定義的概念去對別的概念下定義。（2）有些定義時多余的，略去它毫不影響往后的演繹和展開。（3）有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀。

另一方面，由于第五公設（即平行線公理）在陳述與內容上的復雜和累贅，古代學者們早就懷疑地指出，第五公設是不是多余的，它能否從其他公設、公理中邏輯地推導出來？而且進一步認為，歐幾里得之所以把它作為公設，只是因為他未能給出這一命題的證明。因而，學者們紛紛致力于證明第五公設。但是所有試證第五公設的努力均歸于失敗，在這些失敗之中唯一引出的正面結果便是一串與第五公設相等價的命題被發現。

基于兩千多年來在證明第五公設的征途上屢遭失敗的教訓。十九世紀俄國年輕數學家JIoóausbckńň產生了與前人完全不同的信念：首先，認為第五公設不能以其他的幾何公理作為定理來證明；其次，除掉第五公設成立的歐幾里得幾何之外，還可以有第五公設不成立的新幾何系統存在。于是，他在剔除第五公設而保留幾何其余公理的前提下引進了一個相反于第五公設的公理：“過平面上一已知直線外的一點至少可以引進兩條直線與該已知直線平

行”。這樣，JIoóausbckńň在與前人完全不同的思想方法基礎上構造了一個新的幾何系統，它與歐幾里得幾何系統相并列。后來，人們又證明了這兩個部分地相互矛盾的幾何系統竟是相對相容的，亦即假定其中之一無矛盾，則另一個必定無矛盾。如此，只要這兩個系統是無矛盾的，第五公設與歐氏系統的其余公理就必定獨立無關。現在人們就用JIoóausbckńň的名字對這一新幾何命名，并把一切不同于歐氏幾何公理系統的幾何系統統稱為非歐幾何。應當指出，獨力地發現這個新幾何的還有大數學家高斯和青年大學生Bolyai。但是高斯由于害怕學術界頑固守舊勢力的攻擊而始終不敢公開發表他的結果。

非歐幾何學中的一系列命題都和人們的樸素直觀不相符合。這是它在開創階段之所以遭受人們冷嘲熱諷的重要原因。但是，這種背離直觀的幾何學在邏輯系統內沒有矛盾，演繹論證的嚴格性也是無懈可擊的。事實上，非歐幾何給人們開拓了“空間”的概念（如所知，非歐幾何的重要分支“黎曼幾何”在愛因斯坦1915年創立“廣義相對論”后，已得到了證實和應用）。非歐幾何的產生，不僅為公理化方法進一步奠定了基礎，而且為公理方法可以推廣和建立新的數學理論提供了依據。

非歐幾何的創立大大地提高了公理方法的信譽。接著便有許多數學家致力于公理方法的研究。例如，1871~1872年間德國數學家康托（Cantor）與戴德金（Dedekind）不約而同地擬成了連續性公理。德國數學家巴許（Pasch）在1882年擬成了順序公理。正是在這樣的基礎上，希爾伯特于1899年發表了《幾何學基礎》一書，終于解決了歐氏幾何的欠缺問題，完善了幾何學的公理化方法。此書也就成為近代公理化思想的代表作。

三是公理方法的形式化階段，歐氏《幾何原本》表現的公理化可稱之為“實體公理化”，因為在這樣的公理系統中，概念直接反映著數學實體的性質，而且那些概念、定義、公理和論證的表述往往束縛于直覺觀念的指導。但在希爾伯特于其《幾何學基礎》一書中對歐氏系統加以完善化以后，不僅在公理的表述或定理的論證中擺脫了空間觀念的直覺成分，而且給出和奠定了對一系列幾何對象及其關系進行更高一級抽象的可能性和基礎。就是說，人們可以在高度抽象的意義下給出公理系統，只要能滿足系統中諸公理的要求，就可以使得該公理系統所設計的對象是任何事物，并且在公理中表述事物或對象之間的關系時，也可以具有其具體意義的任意性。這樣，自從《幾何學基礎》問世之后，不僅公理化方法進入數學的各個分支，而且把公理化方法本身推向了形式化的階段。

后來，公理化方法形式化之所以能取得成功，在很大程度上得力于康托創始的抽象集合論。如果沒有集合論思想方法和數理邏輯學的近代發展，形式公理化方法也不可能獲得新的進展。如所知，希爾伯特后來從事“元數學”即“證明論”的研究，又把公理方法推向一個新的階段，即純形式化階段。其基本思想就是采用符號語言把一個數學理論的全部命題變成公式的集合，然后證明這個公式的集合是無矛盾的。詳言之，在這個集合中凡定義、公理及定理均寫成公式的形狀，而定理的證明步驟也無非是一串符號公式作成的系統，系統中的最后一式即所要證明的結論。形式化公理方法不僅推動著數學基礎研究，而且還推動著現代算法論研究，從而為數學應用于電子計算機等現代科學技術開辟了新的前景。

如前所述，數學公理化的目的就是要把一門數學表述為一個演繹系統。這個系統的出發點就是一組基本概念和公理。因此，如何引進基本概念和確立一組公理便是運用公理化方法的關鍵，也即這種方法的基本內容。

基本概念既是不加定義的概念，它們就必須是真正基本的，而無法用更原始更簡單的概念去界定的概念。換言之，基本概念應該是最原始最簡單的思想規定，它們必須是對數學實體的高度純化的抽象。當基本概念確定以后，重要的問題是如何設置公理的問題。

公理是對諸基本概念（例如基本元素、基本關系等概念）相互關系的規定。這些規定必須是必要的、合理的。詳細說來，公理的選取和設置必須符合三條要求：一是協調性要求，協調性又稱無矛盾性或相容性。這一要求是指在公理系統內，不允許同時能證明某一定理及

其否定定理。反之，如果能從該定理系統導出命題A和否命題“非A”（記作﹃A），則A與﹃A的并存便稱之為矛盾。因此，無矛盾性要求是對公理系統的一個基本要求。二是獨立性要求，這就是要求公理的數目減少到最低限度，不容許公理集合中出現多余的公理，因為多余的公理總可作為定理推證出來，又何必再把它列為公理呢？三是關于公理系統的完備性要求，這就是要確保從公理系統能推導出所論數學某分支的全部命題。因此，必要的公理不能省略，否則將得不到由它所能推得的結果。

一般說來，當一個公理系統滿足上述三條要求時，即可認為是令人滿意的系統了，但針對一個較復雜的公理系統要逐一驗證三條要求，卻并不是輕而易舉的事，甚至至今不能徹底實現。例如，我們所熟知的幾何學公理系統，至今還只能在相對相容的意義下來討論它的無矛盾性等等。

通常把由一組原始概念和公理刻劃的數學理論稱為一個數學系統，而一個數學系統的相容性問題就是指刻劃它的那個公理系統的相容性問題。

關于相容性證明這一概念的產生和歷史發展的背景這樣的，自從羅巴切夫斯基幾何誕生后，由于羅氏平行公理是如此地為常識所不容，這才激起了人們對于數學系統的無矛盾性證明的興趣和重視。雖然在羅氏公理系統的展開中一直沒有出現矛盾，卻不能保證它在今后的發展中一定不出矛盾。后來，龐卡萊在歐氏系統中構造了一個羅氏幾何的模型，亦即在歐氏平面上劃一條直線a而使之分為上、下兩個半平面，把不包括這條直線在內的上半平面作為羅氏平面，其上的歐氏點當作羅氏幾何的點，把以該直線上任一點為中心，任意長為半徑所作出之半圓周算作是羅氏幾何的直線，然后對如此規定了的羅氏幾何元素一一驗證羅氏幾何諸公理全部成立。通過龐卡萊模型，羅氏系統的相容性證明化歸為歐氏系統的相容性證明，這種把一個公理系統的相容性證明化歸為另一個看上去比較可靠的公理系統的相容性證明，或者說依靠某一個數學系統的無矛盾性來保證另一個數學系統的協調性叫做數學系統的相對相容性證明。但是，人們本來對于歐氏系統的相容性沒有懷疑過，卻因羅氏系統的相容性要有歐氏系統的相容性來保證，從而導致對歐氏系統相容性的重重疑慮。人們還在羅氏系統的展開中發現，羅氏幾何空間中的極限球面上也可構造歐氏模型，亦即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實現，這樣歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證。這說明歐氏與羅氏的公理系統雖然不同，但卻是相對相容或互為相容的。人們當然不滿足于兩者互相之間的相對相容證明，因為看上去較為合理的歐氏系統的無矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統來保證，這是難以令人滿意的。因此，必須重新尋求歐氏系統的相容性證明。由于那時已經有了解析幾何，等于在實數系統中構造了一個歐氏幾何的模型，這就把羅氏系統的相容性進一步歸結到了實數論的相容性，但實數論的相容性如何？這樣的歸結和體溫永遠不會完結。Dedekind把實數論的無矛盾性歸結到了自然數系統的無矛盾性，而Frege又把自然數系統的相容性歸結為集合論的無矛盾性。然而，集合論的無矛盾性又如何？至今還是個迷，以致公理系統的這種相對相容性證明至今還是一場空。希爾伯特早就提出，不能依靠相對相容性證明來解決問題，而應該搞直接的相容性證明。

固然希爾伯特的幾何公理系統從純邏輯

觀點看尚未徹底解決協調性問題，但只要明確引入自然數無矛盾的基本假設作為公設之后，該公理系統在相對意義下的無矛盾性就獲得保證了。

人們在理性思維上總是習慣于希望通過邏輯推理證明一切，豈知某些具有“無限性”飛躍結構的概念系統往往越出有限步邏輯推理判斷的范圍之外。因此，如果懂得點概念思維的辯證法，也就能夠較自覺地去識別并避免徒勞無功的嘗試了。

最后，值得說明一下，正因為希爾伯特幾何公理系統中的點、線、面、位于、通過等名詞都無非是一批抽象元素及其關系的代名詞，因此對它們可以賦予各種各樣的具體解釋。如果把它們解釋作古典歐氏幾何（平面幾何與立體幾何）中的對象，則得到二維及三維歐氏幾

何。特別，如果我們把公理中的點與直線分別反過來解釋成普通歐氏幾何中的直線與點，便可得出原定理的對偶定理。正因為公理中的點與直線皆為抽象元素，故在名詞上互易其位也無不可。所以，就有一般形式的對偶原理：在任何一條涉及點、線關系的平面幾何定理里，如將點、線位置互換，則所得命題仍成立（后一命題即稱為前一定理的對偶命題）。

上述對偶原理很有用，它可以幫助我們在幾何證題上一舉兩得。例如，當我們證明了著名的巴斯卡（Pascal）圓內接六邊形定理后，也就立即可得到布列安訊(Brianchon)的圓外切六邊形定理。

從對偶原理的導出，已使我們看出抽象化的公理系統確實概括了較豐富的內容。

摘自徐利治先生的《數學方法論選講》第4講