圓滾滾 滾滾圓——擺線的制作、探究與拓展

2024年2月12日發(fā)(作者：思銳三腳架)

２０１２年第３期?。剩铮酰颍睿幔臁。铮妗。茫瑁椋睿澹螅濉。停幔簦瑁澹恚幔簦椋澹蟆。牛洌酰悖幔簦椋铮睢。危希场。玻埃保病≌豪脭[線教材資源，以畫(huà)板為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行了一　直線切于Ａ，線段ＤＡ的長(zhǎng)度等于弧長(zhǎng)ＭＡ，即ＯＡ＝　次擺線探究與拓展的教學(xué)，學(xué)生通過(guò)制作、觀察，比較過(guò)程，?。玻鲌D指導(dǎo)　產(chǎn)生他的經(jīng)驗(yàn)體系，形成他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．關(guān)注知識(shí)本身探索與發(fā)　原理清楚后，　只需將上述動(dòng)圓在基線為直線上滾動(dòng)，改變　現(xiàn)，同樣注重探究過(guò)程中帶來(lái)的體驗(yàn)和思索，并不一定要懂得　基線為圓即可．　所有的原因，至少懂得欣賞和發(fā)現(xiàn)．　關(guān)鍵詞：擺線探究；圓；滾動(dòng)；幾何畫(huà)板　構(gòu)造思路：動(dòng)圓在定圓內(nèi)無(wú)滑滾　動(dòng)時(shí)，即使得弧長(zhǎng)　等于弧長(zhǎng)ＦＤ　Ｅ　（如圖３，動(dòng)圓為０Ｐ）．與圓在直線上　探究是數(shù)學(xué)的生命線，沒(méi)有探究，便沒(méi)有數(shù)學(xué)的發(fā)展，因　構(gòu)造類似，將動(dòng)圓與定圓的交點(diǎn)Ｆ以　此在新課改背景下，探究成了貫穿整個(gè)高中課程始終的重要內(nèi)　點(diǎn)Ｐ為中心按一定的角度旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)　容，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)．本文充分利用人教　一?。涟妫ǎㄆ胀ǜ咧姓n程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?數(shù)學(xué)（選修４．４）》教材資?。?，旋轉(zhuǎn)角度可由公式魚(yú)　墮得到，　圖３　源，進(jìn)行了一次擺線探究與拓展的教學(xué)設(shè)計(jì)．課件設(shè)計(jì)突出交互　其中Ｒ、ｒ分別為定圓和動(dòng)圓的半徑．但由于弧長(zhǎng)ＥＦ的范圍為　性、實(shí)驗(yàn)性和探究性，教學(xué)效果比較理想．?。郏埃玻保颍?，只能繪制動(dòng)圓繞定圓滾動(dòng)一周時(shí)的軌跡，如果定圓與　一、問(wèn)題　動(dòng)圓的半徑之比不是一個(gè)有理數(shù)，則軌跡是不封閉的曲線，當(dāng)　個(gè)耐人尋味的問(wèn)題總是吸引人們從不同的角度對(duì)其進(jìn)行　弧長(zhǎng)ＥＦ范圍繼續(xù)擴(kuò)大時(shí)，還可繼續(xù)繪制出相應(yīng)的軌跡．其軌跡　研究并推廣．　如何表現(xiàn)呢？下面，將制作方法加以改進(jìn)，從而繪制出弧長(zhǎng)ＥＦ　一在學(xué)習(xí)完擺線方程內(nèi)容后，教材設(shè)置了一個(gè)閱讀材料：在　范圍為全體實(shí)數(shù)的旋輪線．　操作步驟如下．　商場(chǎng)中有一種繪制曲線的工具，它包含一　個(gè)在圓周上刻滿鋸齒的小圓板，以及一個(gè)　步驟１：新建參數(shù)ｒ、Ｒ，單位距離．初賦值１（厘米）和?。常ɡ迕祝?biāo)記Ｒ值為距離．　在內(nèi)處圓周上都刻有鋸齒的大圓環(huán)板（如　圖１）．使用時(shí)，將小圓板放在大圓環(huán)板內(nèi)　步驟２：作點(diǎn)０，并將０點(diǎn)以固定距離為標(biāo)記距離，固定　角度為　平移得到Ｅ，以０點(diǎn)為圓心，Ｅ為圓上一點(diǎn)構(gòu)造（定）圓．　步驟３：構(gòu)造線段ＡＢ，在線段上取點(diǎn)Ｃ，并度量點(diǎn)（ｃ）的　值，將標(biāo)簽改為ｔ．　圖１　部并讓鋸齒套合，將筆插入小圓板上的一　個(gè)小洞，當(dāng)小圓板沿著大圓板滾動(dòng)時(shí)，鉛　狀呢？　筆就會(huì)描繪出一條曲線．這曲線是什么形　，　步驟４：數(shù)據(jù)計(jì)算ｔ?３６００。并標(biāo)記角度．　步驟５：雙擊點(diǎn)Ｏ標(biāo)記為中心，選中點(diǎn)Ｅ按標(biāo)記角度旋轉(zhuǎn)　小圓板在大圓板內(nèi)部滾動(dòng)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，就是一個(gè)小　圓沿著一個(gè)大圓的內(nèi)部無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)．滾動(dòng)時(shí)，小圓圓周上的某　得到點(diǎn)　個(gè)定點(diǎn)所描繪的曲線．　圖１中，小圓形板，自然也可以與大圓環(huán)形板的外圓周套　步驟６：數(shù)據(jù)計(jì)算一ｒ，并標(biāo)記為距離．　步驟７：選中點(diǎn)Ｆ，按標(biāo)記角度和距離平移得到點(diǎn)Ｐ，以Ｐ　動(dòng)）圓．　合而滾動(dòng)，這就是將一個(gè)小圓沿著一個(gè)大圓的外部作沒(méi)有滑動(dòng)　為圓心，過(guò)點(diǎn)Ｆ構(gòu)造（的滾動(dòng)．滾動(dòng)時(shí)，小圓圓周上的某個(gè)定點(diǎn)所描繪的曲線又是什么　步驟８：數(shù)據(jù)計(jì)算ｔ?　形狀呢？　１．小圓滾動(dòng)的構(gòu)造原理及幾何畫(huà)板實(shí)現(xiàn)　，?。场。叮埃?。?生?（一１），并標(biāo)記　ｒ　思路來(lái)源于圓的平擺線．我們知道：當(dāng)半徑為ｒ的圓沿著一　為角度，雙擊點(diǎn)Ｐ標(biāo)記為　條直線滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一點(diǎn)　的軌跡就是平擺線（或旋輪　中心，選中點(diǎn)Ｆ按標(biāo)記角　度旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Ｄ．　線），如圖２所示，假設(shè)曰為圓　步驟９：選中點(diǎn)Ｃ、Ｄ　心，圓周上的定點(diǎn)為　，開(kāi)始時(shí)　構(gòu)造軌跡，如圖４所示．　位于Ｏ處．圓在直線上滾動(dòng)時(shí)，　圓外滾動(dòng)構(gòu)造．　點(diǎn)　繞圓心作圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)　步驟１－５與上面相同．　圖２　角厶４刪＝　（弧度）后，圓與　收稿日期：２０１１－１０—２７?。簟。蕖。谩⊥D４　作者簡(jiǎn)介：楊愛(ài)紅（１９７８一），女，江西豐城人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事信息技術(shù)有效整合的探索研究　３０　

步驟６：選中ｒ值并標(biāo)記為距離，選中點(diǎn)，，按標(biāo)記角度和?。ǎ常┨厥獾?，當(dāng)?。剑玻驎r(shí)，內(nèi)擺線變成了一線段（哥白尼定　距離平移得到點(diǎn)Ｐ，以Ｐ點(diǎn)為圓心，過(guò)點(diǎn)Ｆ構(gòu)造（動(dòng)）圓．　理），相應(yīng)的變幅內(nèi)擺線則是一橢圓（卡丹轉(zhuǎn)盤(pán)），如圖８所示．　步驟７：數(shù)據(jù)計(jì)算ｔ．３?。叮埃?。．　，并標(biāo)記為角度，雙擊點(diǎn)?。颉。袠?biāo)記為中心，選中點(diǎn)Ｆ按標(biāo)記角度旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Ｄ．　步驟８：選中點(diǎn)Ｃ、Ｄ構(gòu)造軌跡，如圖５所示．?。ǎ保。ǎ玻D８　２．自轉(zhuǎn)問(wèn)題　半徑為ｒ的ｏＰ沿半徑為Ｒ的（３０的外側(cè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)　回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓Ｐ自轉(zhuǎn)了多少圈？　有學(xué)生這樣考慮：若將曲線軌跡換成直線時(shí)，圓沿著直線?。蕖。谩。隆L動(dòng)一圈，圓心Ｂ移動(dòng)的距離為圓的周長(zhǎng)．　圖５　有了這個(gè)結(jié)論（距離是２ａｘｒ）后，學(xué)生將動(dòng)圓圓心Ｐ在滾動(dòng)　二、探究　過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡拉直來(lái)分析其自轉(zhuǎn)情況，如圖９所示．　１．?dāng)[線圖形探究?。ǎ保┤羧【€段ＰＤ上一點(diǎn)Ｍ，構(gòu)造　相對(duì)于ｃ點(diǎn)的軌跡，　則可得短幅內(nèi)擺線；若　在線段ＰＤ的延長(zhǎng)線上，則可得長(zhǎng)幅　內(nèi)擺線，如圖６所示．　圖９　我們看到，動(dòng)圓Ｐ沿定圓０的　外側(cè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)回到出發(fā)點(diǎn)　時(shí)，圓心Ｐ的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以點(diǎn)０　為圓心，半徑為（Ｒ＋ｒ）的圓周，根據(jù)　（１）?。ǎ玻〗Y(jié)論，故自轉(zhuǎn)了?。骸。保裕颉。颉D６?。ǎ玻└淖儯蚺cＲ比值，可得到點(diǎn)Ｄ相對(duì)于點(diǎn)Ｃ的軌跡，如　圈，如圖１０所示．　圖７所示．　【說(shuō)明】將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為　圖１ｏ　熟悉的研究過(guò)的問(wèn)題，將研究曲線運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線　回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓自轉(zhuǎn)了多少圈？　ｒ?。薄　颉∵\(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，是一種有效的思維遷移．平時(shí)解題時(shí)就是要這樣問(wèn)　自己，能否轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題．　引申：動(dòng)圓繞著ｎ個(gè)相切的固定圓外側(cè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)　三、拓展　ｒ?。薄。保ǘ滹h飄?。欤椤。摇。础∪酎c(diǎn)Ｄ不是由，關(guān)于點(diǎn)Ｐ旋轉(zhuǎn)，而是ｑ）Ｐ上任一點(diǎn)，又能?。ǎ保。ǎ玻〉玫绞裁礃拥那€呢？（如圖１１所示，其中動(dòng)點(diǎn)Ｆ以ｃ的速率順　（３）　圖（４）?。颉。薄。稀。薄。颉。薄。稀。薄。贰。ǎ保。ǎ玻。常薄?/p>

②在此基礎(chǔ)上，可探求長(zhǎng)為ＰＣ＝ａ、寬為ＰＡ＝ｂ的長(zhǎng)方形　在相同問(wèn)題情形下的最小正周期　、面積．ｓ．更一般性，若改為　平行四邊形呢？　毫　③另外圓的滾動(dòng)問(wèn)題還可以繼續(xù)延伸，比如圓沿正多邊形　四周滾動(dòng)、正多邊形在直線上滾動(dòng)等等．　這一部分只要求學(xué)生了解，讓學(xué)生借助已編好的幾何畫(huà)板　課件進(jìn)行探索實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證自己提出的問(wèn)題．借助幾何畫(huà)板，探索　得到不同的曲線，將學(xué)生們探索問(wèn)題的熱情和對(duì)問(wèn)題的思考延　伸到課外．　在以上擺線的實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)上，我們完全可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)利于學(xué)　生發(fā)現(xiàn)擺線美的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)計(jì)算機(jī)展現(xiàn)的擺線生成過(guò)程的　（３）　圖１１　（４）　說(shuō)明：①借助幾何畫(huà)板，改變點(diǎn)Ｆ、Ｄ的運(yùn)動(dòng)速度而得圖　形的改變，讓學(xué)生來(lái)體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙　②玫瑰線？　蟻花線　同　異　玫瑰線　觀察體驗(yàn)中，使學(xué)生感受這些曲線的美從而產(chǎn)生探究知識(shí)的內(nèi)　驅(qū)力，在嘗試參數(shù)方程的推導(dǎo)中進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的價(jià)值．我們關(guān)　注知識(shí)本身的探索和發(fā)現(xiàn)，那是好奇心得到滿足的一種快樂(lè)；　我們同樣注重探究過(guò)程中帶給我們的體驗(yàn)，超越數(shù)學(xué)（知識(shí)）　的體驗(yàn)和思索！我們以一種生活化的觀點(diǎn)（視角）看待數(shù)學(xué)上　的問(wèn)題，沒(méi)有證明的數(shù)學(xué)同樣精彩！我并不一定要懂得所有的　原因，至少我懂得欣賞和發(fā)現(xiàn)！　四、后記　都長(zhǎng)的一副花瓣樣　畫(huà)得出所有的瓣數(shù)　畫(huà)不出雙倍奇數(shù)的瓣數(shù)　畫(huà)不出六瓣?、郯陻?shù)ｎ＝ｃｄ＋ｏ（６一ｄ）．?。玻f(wàn)能魔板（萬(wàn)花筒）　制作方法參考劉同軍編著“幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)　置得到不同的形狀，來(lái)體會(huì)數(shù)學(xué)的美觀和美好．　幾何畫(huà)板作為一種動(dòng)態(tài)幾何軟件，可以把抽象的數(shù)量和圖　不但可以把數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程充分地“暴露”出來(lái)，隨時(shí)看　到各種情形下的數(shù)量關(guān)系的變化，而且還可以把“形”和“數(shù)”　的潛在關(guān)系及其變化動(dòng)態(tài)地顯現(xiàn)在屏幕上，甚至可以根據(jù)需要　對(duì)這個(gè)過(guò)程進(jìn)行控制，學(xué)生通過(guò)觀察的過(guò)程、制作的過(guò)程、比　較的過(guò)程，產(chǎn)生他的經(jīng)驗(yàn)體系，形成他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．　用”，如圖１２所示．借助幾何畫(huà)板，學(xué)生可改變點(diǎn)　的相對(duì)位　形關(guān)系形象地描述出來(lái)，再現(xiàn)真實(shí)環(huán)境中數(shù)形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程．　但如何利用幾何畫(huà)板構(gòu)建易于學(xué)生理解和接受的問(wèn)題情境，　這離不開(kāi)教師的精心設(shè)計(jì)和巧妙構(gòu)造，更需要教師關(guān)注“怎么　‘探”’的問(wèn)題．　怎么“探”的問(wèn)題涉及以下四個(gè)方面．　圖１２　（１）教師首先需要選擇合適的探究活動(dòng)素材，在學(xué)生的“最　近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)適合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平（甚至稍高水平）的　數(shù)學(xué)活動(dòng)，預(yù)設(shè)與課題具有實(shí)質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和數(shù)學(xué)問(wèn)　３．平行四邊形在直線上的滾動(dòng)　如圖１３所示．　平行四邊形在直線上滾動(dòng)　題作為探究的對(duì)象．?。ǎ玻┙處熞院侠淼姆绞匠尸F(xiàn)探究素材，安排設(shè)置數(shù)學(xué)探究　寬ＰＡ＝團(tuán)厘米長(zhǎng)ＰＣ＝函固厘米　拖動(dòng)點(diǎn)　觀察滾動(dòng)　說(shuō)明：拖動(dòng)點(diǎn)Ｃ改變平行四邊形形狀活動(dòng)，使課堂教學(xué)有張有弛，學(xué)生循序漸進(jìn)地由數(shù)學(xué)活動(dòng)的一　個(gè)水平向另一個(gè)更高的水平發(fā)展．?。ǎ常┙處煂?duì)學(xué)生的探究活動(dòng)加以適時(shí)地啟發(fā)和引導(dǎo)，使學(xué)生　不是漫無(wú)目的的“亂探”．?。颉。取。汀D１３?。ǎ矗┙柚鷰缀萎?huà)板輔助學(xué)生的“探”，有利于直觀地揭示軌　參考文獻(xiàn)：　　說(shuō)明：①借助幾何畫(huà)板，學(xué)生可改變平行四邊形的邊長(zhǎng)、　跡問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并且讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的好玩．形狀．特別地，邊長(zhǎng)為１的正方形滾動(dòng)時(shí)（圖１４），即是２０１０　年高考數(shù)學(xué)北京卷文理科第ｌ４題模型．　說(shuō)明：拖動(dòng)點(diǎn)Ｃ改變平行四邊形形狀拖動(dòng)點(diǎn)　觀察滾動(dòng)　［１］張志勇．阿波羅尼圓的畫(huà)板實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用［Ｊ］．中國(guó)數(shù)學(xué)　教育（高中版），２０１１（１／２）：９５—９６．　［２］王懷昌．?dāng)[線的課件制作［Ｊ］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，２００６（１）：?。矗埃矗玻。郏常輨⑼姡畮缀萎?huà)板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［Ｍ７．中國(guó)石油　｜Ｐ?。痢。恪D１４　大學(xué)出版社。２００５．　３２