漸開線和擺線及其應用

2024年2月12日發(作者：奮斗的故事)

圓的漸開線：

把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆就會畫出一條曲線，筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線。

該圓叫做漸開線的基圓，漸開線的形狀僅取決于基圓的大小，基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直。（曲線彎曲的程度用曲率衡量??=1）

??

直角坐標系方程;

x=r*(cos(t)+t*sin(t));

y=r*(sin(t)-t*cos(t));

在機械工業中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。由于漸開線齒形的齒輪磨損少，傳動平穩，制造安裝較為方便，因此大多數齒輪采用這種齒形。

圓的漸開線(紅，阿基米德螺線(綠和對數螺線（藍：

星形線與公共汽車的門

利用導數討論星形線的性質和畫法，討論了公汽門的活動空間問題。

關鍵詞：星形線 切線及其一種畫法 公共汽車的門

圓內擺線中，當R/r=4/1時，R/4的半徑的小圓在大圓內無滑動滾動，一點的軌跡將畫出星形線。其參數方程為：t為轉動的角度。

x=(R-r)*cos(t)+r*cos(t*(R/r-1));

y=(R-r)*sin(t)-r*sin(t*(R/r-1))；

其直角坐標方程為：??+??=??，形式簡潔統一。

232323

星形線的性質：其上的任意一點的切線夾在兩坐標軸間的線段長度是常數R。

由隱函數的求導法：??32?13+????′=0,得y’=?

3x2?133y那么過曲線星形線上一點（x0，y0）的切線是:y-y0=? (x-x0)

x03y0令y=0，得曲線在坐標軸上的截距為

x1= y0*

+x0=x0(x0+y0)

y03x0132323令x=0，得曲線在坐標軸上的截距為

y1= y0+x0?

= yo(x0+y0)

x03y0132323點在星形線上，其坐標滿足星形線的直角坐標方程：(x0+y0)= R。

則兩點（0，y1）,(x1,0)間的距離是

x12+y12=R

新的畫法對星形線：在y軸上取長度為R的線段，讓線段的兩端點在兩坐標軸上移動，這些線段的包絡線就是星形線在一個象限內的部分。

公共汽車門的兩種形式：一扇折疊門；兩扇對開門；

232323

如上圖，BDC是一扇折疊門，B是門軸，開關門時，靠近門軸的半扇繞著門軸旋轉，另外半扇的外端沿著連接兩個門軸的滑槽滑動，開門時一扇車門折疊成半扇，關門時又重新伸展成一扇。

AB，CD是兩扇對開門，每一扇門的門軸與門之間可以轉動，開、關門時門軸轉動而門的兩邊沿滑槽滑動。

現在要看卡折疊式公汽門的運動全過程投影在地面上的區域面積變化情況：

綠色的線條是與門軸相連的一扇門，一端固定在門軸上，其另一端點運動軌跡是紅色的1/4圓弧（假設R=4）。相連的另一扇門一端運動軌跡也在紅色圓弧上，另一端在線段[0,8]上運動，這扇門運動過程中門所代表的線段的包絡線是星形線的一段。完整開關門的過程掃過的面積如下圖：

折疊式公汽門 對開式公汽門

公汽門在開關完整過程中，垂直投影在平面內的面積區域如圖所示。可以用積分簡單計算出區域面積。

星形線參數方方程： x=2*R*cos(t).^3;

y=2*R*sin(t).^3；

33S1=πR2，S2=R2,S3=

ydx=2Rsin?(θ)d(2Rcos?(θ))

pi2

842112R0R4折疊公汽門的活動范圍只有普通單扇門的。

165對開式公汽門的活動范圍只有普通門的。

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