數學和自然科學三個本質差別

2024年2月15日發(作者：777ke)

數學和自然科學三個本質差別

1.測量和邏輯推理的區別

我們知道幾何學源于古埃及，當地人出于農業生產的考慮，對天文和土地進行度量，發明了幾何學。但是，度量出來的幾何其實和真正的數學還有很大的差距。

比如說，古代文明的人們確實觀察到勾股數的現象，他們畫一個直角三角形，勾三尺長、股四尺長時，弦長恰好就是五尺長，于是就有了勾三股四弦五的說法。

但是這里面存在一個大問題，我們說長度是三尺，其實并非數學上準確的長度，用尺子量出來的3，可能是3.01，也可能是2.99。這樣一來勾三股四弦五就是一個比較模糊的說法了。

在數學上，觀察的經驗可以給我們啟發，但是它不能成為我們得到數學結論的依據，數學上的結論只能從定義和公理出發，使用邏輯嚴格證明得到，不能通過經驗總結出來。

講回到勾股定理，一個工匠注意到勾三股四弦五這個現象，和提出一個具有普遍意義的定理是兩回事。

我們通過觀察還可以發現，如果勾3.5，股4.5，那么弦大約是5.7，這個“大約”的誤差只有萬分之一點六左右（弦長大約是5.700887），古代任何測量都發現不了。這時如果你說勾3.5股4.5弦5.7，從物理上來說基本正確，但是在數學上就錯了。這是第一個差別，就是測量會出錯，但推理不會。

那么，如果我們拋開誤差的影響，是否可以認為早期文明的人們發現了勾股定理呢？也不能，只能說他們觀察到一些現象，而非發現了定理。這涉及到數學和自然科學的第二個主要區別，證實和證明的區別了。

2.用事實證實和用邏輯證明的區別

在自然科學中，一個假說通過實驗證實，就變成了定律。比如說與牛頓同時代英國的大科學家波義耳同法國科學家馬略特一同發現：一個封閉容器中氣體的壓強和體積成反比。這很好理解，因為體積壓

得越小，內部的壓強肯定越大。這兩個人通過很多實驗，都證實了這件事，于是這個定律就由他們兩個人的名字命名了。

但是，如果有一個非常愛較真的人一定要抬杠，說你們證實了所有的情況（各種體積和壓強的組合）嗎，你們敢保證沒有例外么？波義耳和馬略特肯定會說，我們不敢保證沒有例外，但是這個規律你平時使用肯定沒有問題。

果然，后來人們真的發現當壓強特別大時，這個定律就不管用了。但是沒有關系，在大多數條件下，這個定理依然成立，今天人們在做產品時，依然可以用。

事實上，今天幾乎所有的自然科學的定律和理論，不僅存在一個被推翻的可能性，而且有很多的例外。比如，證實引力波的實驗，也只能保證99.9999%的可能性結論是對的。

但是，在數學上，用實驗來驗證一個假說（在數學上常常被稱為猜想）是不被允許的，我們在后面介紹無窮大時，大家還會看到這甚至是做不到的。數學的結論只能從邏輯出發，通過歸納或者演繹得出來。它必須完全正確，沒有例外，因為但凡有一個例外（也被稱為反例），就要被完全否定掉。這里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想。

今天人們利用計算機，在可以驗證的范圍內，都驗證了這個猜想是對的，但是因為沒有窮盡所有的可能，就不能說猜想被證明了。因此，我們依然不能在這個基礎上，構建其它的數學定理。

所以，數學世界和測量世界第二個區別就是，數學理論必須要證明，保證沒有例外。

3.科學結論相對性和數學結論絕對性的區別

為什么數學要那么嚴格，它的定理為什么不能有任何例外，更不能特殊情況特殊處理呢？因為數學上的每一個定理都是一塊基石，后人需要在此基礎上往前走，試圖建立一塊新的基石，然后數學的大廈就一點點建成了。在這個過程中不能有絲毫的缺陷，一旦有，整個數學大廈就轟然倒塌了。

還是以勾股定理為例，它的確立，其實教會了人們在平面計算距離的方法，在此基礎之上，三角學才得以建立，笛卡爾的解析幾何才

得以確立，再往上才能建立起微積分等數學工具。此外我們這個模塊后面會講到的無理數的出現、黃金分割，都和它有關。

人類今天發明的各種科技，像無線通信、航天等等，依賴于這些定理。如果出現了一個違反畢達哥拉斯定理的反例，不僅是這個定理失效了，而且整個數學就完蛋了，我們的科技也就時靈時不靈了。因此，數學上的每一個定理，必須也只能通過邏輯推演來證明，用多少實例來驗證都沒有用。

理解了數學定理確立的過程，以及它隨后產生的巨大影響，我們就清楚定理和定理證明在數學中的重要性了。正是因為這個原因，西方才將這個定理命名為畢達哥拉斯定理，以彰顯他的貢獻。是他明確提出這個定理，并且嚴格地證明了它，從此畢達哥拉斯定理才成為了數學上普遍的規律。

有了一個個的定理，數學就得以建立起來，而且這個建立在邏輯推理基礎上的大廈很堅固。在數學上，當一個新的定理被證明后，就會產生很多自然的推論，每一個推論可能都是一個重大的發現，甚至能帶來人類認識的升級。