第二章 方程(組)與不等式(組)數(shù)學(xué)文化拓展素材

2024年2月21日發(fā)(作者：什么目寸光成語(yǔ))

《九章算術(shù)》(涉及方程)

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著,全書(shū)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)上還有其獨(dú)到的成就,不僅最早提到分?jǐn)?shù)問(wèn)題,也首先記錄了盈不足等問(wèn)題,“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)及其加減法運(yùn)算法則.《九章算術(shù)》的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載了利用算籌表示方程組和解方程組的問(wèn)題.算籌圖表示的是方程組是 ( )

A.C.

B.D.

則算籌圖表示的方程組的解2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問(wèn)題,譯文為:“現(xiàn)有幾個(gè)人共同購(gòu)買(mǎi)一個(gè)物品,每人出8元,則多3元;每人出7元,則差4元,問(wèn)這個(gè)物品的價(jià)格是多少元.”該物品的價(jià)格是 元.

3.《九章算術(shù)》中的方程問(wèn)題:

今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù).甲得乙半而錢(qián)五十,乙得甲太半而錢(qián)亦五十.問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何?

大意為:今有甲、乙二人,不知其錢(qián)包里有多少錢(qián).若乙把其一半的錢(qián)給甲,則甲的錢(qián)數(shù)為50;而甲把其的錢(qián)給乙,則乙的錢(qián)數(shù)也能為50.則甲的錢(qián)數(shù)是 ,乙的錢(qián)數(shù)是 .

《算法統(tǒng)宗》(涉及方程)

在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的整個(gè)發(fā)展過(guò)程中,《算法統(tǒng)宗》是一部十分重要的著作.其作者程大位(1533—1606),字汝思,號(hào)賓渠,安徽休寧人.從二十多歲起他便在長(zhǎng)江中下游一帶經(jīng)商,對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣.四十歲時(shí),倦于外游,便棄商歸故里,認(rèn)真鉆研古籍,擷取名家之長(zhǎng),歷經(jīng)二十年,于明萬(wàn)歷壬辰年(1592)寫(xiě)就巨著《算法統(tǒng)宗》十七卷.

在《算法統(tǒng)宗》這部著作中,許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的:

(1)浮屠增級(jí)

遠(yuǎn)看巍巍塔七層, 紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加倍.

共燈三百八十一, 請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈.

這首歌訣的大意:遠(yuǎn)處有一座雄偉的佛塔,塔上掛了許多紅燈,下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,全塔共有381盞,試問(wèn)頂層有幾盞燈.

(2)以碗知僧

巍巍古寺在山中,不知寺內(nèi)幾多僧.

三百六十四只碗,恰合用盡不差爭(zhēng).

三人共食一碗飯,四人共嘗一碗羹.

請(qǐng)問(wèn)先生能算者,都來(lái)寺內(nèi)幾多僧.

這首歌訣的大意:山上有一座古寺叫都來(lái)寺,在這座寺廟里,3個(gè)和尚合吃一碗飯,4個(gè)和尚合分一碗湯,一共用了364只碗.請(qǐng)問(wèn)都來(lái)寺里有多少個(gè)和尚.

(3)和尚分饅頭

一百饅頭一百僧,

大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng),

小僧三人分一個(gè),

大小和尚各幾丁?

這首歌訣的大意:有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,正好分完.如果大和尚一人分3個(gè),小和尚3人分一個(gè),試問(wèn)大、小和尚各有幾人.

1.我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中有這樣一道題:一支竿子一條索,索比竿子長(zhǎng)一托,對(duì)折索子來(lái)量竿,卻比竿子短一托.如果1托為5尺,那么索長(zhǎng)為 尺,竿子長(zhǎng)為

尺.

2.某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī):

吾問(wèn)開(kāi)店李三公,眾客都來(lái)到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.

詩(shī)中后兩句的意思:如果每間客房住7人,那么有7人無(wú)房可住;如果每間客房住9人,那么就空出一間房.則該店有客房 間,房客 人.

3.《算法統(tǒng)宗》這部書(shū)里有這樣一題,大意:

甲牽一只肥羊走過(guò)來(lái)問(wèn)牧羊人:“你趕的這群羊大概有100只吧?”牧羊人答:“如果這群羊加上一倍,再加上原來(lái)這群羊的一半,又加上原來(lái)這群羊的,連你牽著的這只肥羊也算進(jìn)去,才剛好湊滿一百只.”

則這位牧羊人趕的這群羊共有 只.

《孫子算經(jīng)》(涉及方程)

《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作.傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷,卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法,卷中舉例說(shuō)明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開(kāi)平方法,

卷下對(duì)后世的影響最為深遠(yuǎn).卷下的第31題,可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖,后來(lái)傳到日本,變成“鶴龜算”.書(shū)中是這樣敘述的:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雉兔各幾何?下卷第26題“物不知數(shù)”為后來(lái)的“大衍求一術(shù)”的起源,被看作是中國(guó)數(shù)學(xué)史上最有創(chuàng)造性的成就之一,稱為中國(guó)余數(shù)定理:今有物,不知其數(shù).三三數(shù)之,剩二;五五數(shù)之,剩三;七七數(shù)之,剩二.問(wèn)物幾何?顯然,這相當(dāng)于求不定方程組解n,《孫子算經(jīng)》所給答案是n=23.

的正整數(shù)

1.《孫子算經(jīng)》中有首歌謠,大意為:如圖,有一根竹竿不知道有多長(zhǎng),量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺,同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長(zhǎng)五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長(zhǎng)為( )

A.五丈 B.四丈五尺

C.一丈 D.五尺

2.《孫子算經(jīng)》中有一道題,原文是“今有木,不知長(zhǎng)短.引繩度之,余繩四尺五寸;屈繩量之,不足一尺.問(wèn)木長(zhǎng)幾何?”意思是“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木,繩子還剩余4.5尺;將繩子對(duì)

折再量長(zhǎng)木,長(zhǎng)木還剩余1尺.問(wèn)木長(zhǎng)多少尺.”設(shè)木長(zhǎng)為x尺,繩子長(zhǎng)為y尺,則下列符合題意的方程組是( )

A. B.

C. D.

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”數(shù)學(xué)名題,小敏將該題改編為:今有雞兔同籠,上有33頭,下有88足,問(wèn)雞兔各幾何?此時(shí)的答案是 .

4.《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題,原文如下:

今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡.問(wèn):城中家?guī)缀?

大意為:

今有100頭鹿進(jìn)城,每家取一頭鹿,沒(méi)有取完,剩下的鹿每3家共取一頭,恰好取完.

則城中有 戶人家.

一元二次方程的幾何解法

你知道嗎,對(duì)于一元二次方程,我國(guó)及其他一些國(guó)家的古代數(shù)學(xué)家還研究過(guò)其幾何解法呢!

下面我們以方程x+2x-35=0為例加以說(shuō)明.(方程可轉(zhuǎn)化為x+2x=35,x(x+2)=35兩種形式)

22

圖(1)

三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽(約公元3世紀(jì))在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是:2如圖(1),構(gòu)造邊長(zhǎng)為(x+x+2)的正方形,則大正方形的面積(x+x+2),另一方面,大正方形是由四個(gè)長(zhǎng)和寬分別為x+2,x的矩形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形組成的,所以大正方形的面積2等于四個(gè)矩形加上中間小正方形的面積,即大正方形的面積為4×35+2,故2(x+x+2)=144,x>0,解得x=5.

2說(shuō)明:趙爽的解法是把x+2x=x(x+2)看作矩形的面積,然后用四個(gè)這樣的矩形及一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形組成一個(gè)邊長(zhǎng)為(x+x+2)的正方形,再由面積公式求出x.

圖(2)

公元9世紀(jì),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子密采用的方法是:構(gòu)造圖(2),阿爾·花拉子密22的方法直接從“形”上反映了配方法,一方面,正方形的面積為(x+1),即(x+2x)+1;另一方面,它又等于36,即35+1,據(jù)此同樣可得x=5.其實(shí)趙爽的方法和阿爾·花拉子密的方法本質(zhì)上是一致的.

利用幾何法解一元二次方程,巧妙之處在于不用過(guò)多的語(yǔ)言和運(yùn)算即可解決求方程的解的問(wèn)題.賦予代數(shù)式的幾何意義是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

需要指出的是,一元二次方程的幾何解法,反映了古代數(shù)學(xué)家在探索一元二次方程的求解過(guò)程中留下的足跡,如果遇到負(fù)根,就無(wú)法求解,這也說(shuō)明了這種方法的局限性.后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=性.

參考答案

《九章算術(shù)》(涉及方程)

2,克服了這種局限1.C 由題意知,算籌圖表示的方程組是解得故選C.

2.53 設(shè)有x個(gè)人共同購(gòu)買(mǎi)這個(gè)物品,根據(jù)題意得8x-3=7x+4,解得x=7.則8x-3=8×7-3=53(元),故該物品的價(jià)格是53元.

3.37.5 25 設(shè)甲持錢(qián)為x,乙持錢(qián)為y,依題意列方程組為錢(qián)數(shù)為37.5,乙的錢(qián)數(shù)為25.

《算法統(tǒng)宗》(涉及方程)

解得故甲的1.20 15 設(shè)索長(zhǎng)為x尺,竿子長(zhǎng)為y尺,根據(jù)題意,得解得

2.8 63 設(shè)該店有客房x間,根據(jù)題意得,7x+7=9(x-1),解得x=8,7×8+7=63.故該店有客房8間,房客63人.

3.36 設(shè)這位牧羊人趕的這群羊共有x只,依題意,得x+x+x+x+1=100,解得x=36,故這位牧羊人趕的這群羊共有36只.

《孫子算經(jīng)》(涉及方程)

1.B 設(shè)竹竿的長(zhǎng)為x尺,根據(jù)題意得,竹竿的影長(zhǎng)為一丈五尺,即15尺,標(biāo)桿的長(zhǎng)為一尺五寸,即1.5尺,標(biāo)桿的影長(zhǎng)為五寸,即0.5尺,則=,解得x=45.故選B.

2.B 根據(jù)“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木,繩子還剩余4.5尺”可列方程y=x+4.5;根據(jù)“將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木,長(zhǎng)木還剩余1尺”可列方程y=x-1.故選B.

3.雞22只,兔11只 設(shè)雞有x只,兔有y只.依題意得方程組22只,兔有11只.

4.75 設(shè)城中有x戶人家,根據(jù)題意,得x+=100,解得x=75.故城中有75戶人家.

解得故雞有