直線恒過定點專題

2024年2月21日發(作者：風景的景怎么寫)

直線恒過定點專題

一、直線恒過某個定點問題

1．直線方程：y=kx+b，若k為參數，則直線恒過定點（0，b），若b為參數，則直線是一系列平行線；

2．直線方程：y=k（x - x0）+y0，則直線恒過定點（x0，y0）；

3．已知直線：l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。

則直線A1x+B1y+C1+m（A2x+B2y+C2）=0恒過定點的求法是：

?x?x0?Ax+B1y+C1=0解方程組：?1，解得：? 那么定點是（x0，y0）。

?A2x+B2y+C2=0?y?y0例題一：求直線y=kx+ - k恒過定點的坐標。

x?1?0x?1解：方程可化為y=k（x - 1）+3，解得：? 得?所以過定點是（1，3）。

???y?3?y?3，例題二：不論m為何實數，直線（m - 1)x - y+2m - 1=0恒過定點？

x?2?0x??2解：化簡方程可以為m（x+2) - x - y=0 - 1)x - y+2m - 1=0得?得?恒過定點為（ - 2，1）

????x?y?1?0?y?1二、動點在某條定直線上的問題

1．動點P（a，b），若a為常數，b為參數，則點P在直線x=a上，若a為參數，b為常數，則點P在直線y=b上。

x?f(m)2．動點P（f（m)，g（m））可令?消去m可得x、y方程。

?y?g(m)?例題一、 動點P（1，n），則P在直線x?1上，動點P（m，1），則P在直線y?1上，

例題二 、函數y1=kx2+ax+a 的圖象與

x軸交于點 A， B (點 A 在點 B 的左側)， 函數y2=kx2+bx+b 的圖象與 x 軸交于點 C， D (點 C 在點 D 的左側)，其中k≠0，a≠b。

（1）求證： 函數 y1與 y2的圖象交點落在一條定直線上；

（2）若 AB ＝CD，求 a、b 和k應滿足的關系式；

（3）是否存在函數y1與 y2 ， 使得 B、C 為線段 AD 的三等分點? 若存在，求a、b的值；若不存在，說明理由．

?y?kx2?ax?ax??1（1）解：聯立?解得，?所以交點在直線x= - 1．

?2?y?k?y?kx?bx?b例題三：已知無論m為任何實數，二次函數y=(x - 2m)+m的圖像的頂點總在定直線上，則此直線的解析式?

1

x?2m解：依題意得，頂點坐標是（2m，m）消去m得直線x - 2y=0。

（2m,m)即??y?m?例：若拋物線y=x2＋bx（b＞2）上存在關于直線y=x成軸對稱的兩個點，求b的取值范圍。

練習：

1．求方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直線恒過定點的坐標。

x?3?at2．求證：直線?（t為參數）恒過定點。

??y??1?4t分析：將已知參數方程通過移項，消去t，從而得到曲線C的普通方程，再研究過何定點。

解：將已知參數方程移項得x-3=at ∈，y+1=4t ∈?！省?-∈×a消去a得：

化為普通方程得4（x-3）-a（y+1）=0．

當x=3且y=-1時，此方程對于任意a都成立，

所以直線恒過定點（3，-1）．

點評：本題考查了直線的參數方程，及直線過定點問題．屬于基礎題．

3．已知直線L:(m+2)x-(2m-1)y-3(m-4)=0，求點A（-5，-3）到直線L的距離的最大值。

4．已知直線（m+2）x-（2m-1）y-3（m-4）=0。

（1）求證：不論m怎樣變化，直線恒過定點；

（2）求原點（0，0）到直線的距離的最大值。

分析：

（1）把已知直線的方程去掉括號重新結合，得到m（x-2y-3）+2x+y+12=0，然后聯立x-2y-3=0與2x+y+12=0得到一個關于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到兩直線的交點，即為已知直線恒過的定點。

2

（2）寫出原點的坐標，由題意可知原點到已知直線的距離的最大值即為原點到直線恒過的頂點間的距離，所以利用兩點間的距離公式求出原點到定點間的距離即為距離的最大值。

解答：解：（1）證明：直線方程變為m（x-2y-3）+2x+y+12=0，

21?x???x?2y?3?0?5 ∴? 解得：???2x?y?12?0?y??18?5?∴不論m怎樣變化，直線恒過定點（-2118，-）。

552118，-）的距離d。

55（2）原點（0，0）到直線距離的最大值，即為原點（0，0）到點（- ∴d=(?2118?0)2?(??0)2

55點評：此題考查學生會根據兩直線的方程求出兩直線的交點坐標，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題。

5．已知直線方程為（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0。

（1）證明：不論λ為何實數，直線恒過定點。

（2）直線m過（1）中的定點且在兩坐標軸的截距的絕對值相等，求滿足條件的直線m方程。

分析：

x?2y?0x??2（1）直線方程即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由

? 解得：?，

???3x?y?7?0?y?1從而求得直線恒過定點A（-2，1）。

（2）當直線過原點時，由點斜式求得直線方程為 y= -1x；當直線不過原點時，設方程為x+y=a，或 x-y=b，2把定點A的坐標代入所設的方程，求出a、b的值，即可求得滿足條件的直線m方程。

解：（1）證明：∵直線方程為（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0，即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，

x?2y?0?x??2 ∴

? 解得：???3x?y?7?0?y?1故不論λ為何實數，直線恒過定點A（-2，1）．

（2）由題意可得，直線m經過定點A（-2，1），且在兩坐標軸的截距的絕對值相等。

①當直線過原點時，由點斜式求得直線方程為 y=-1x。

2 ②當直線不過原點時，設方程為x+y=a，或 x-y=b，把定點A的坐標代入可得-2+1=a，或-2-1=b，

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解得 a=-1，b=-3，故直線的方程為 x+y+1=0，或 x-y+3=0．

綜上可得，所求的直線的方程為 x+2y=0，或 x+y+1=0，或 x-y+3=0．

點評：本題主要考查直線過定點問題，求直線的方程，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題。

6．已知直線方程為（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．

（1）證明：直線恒過定點；

（2）m為何值時，點Q（3，4）到直線的距離最大，最大值為多少？

（3）若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A．B兩點，求∈AOB面積的最小值及此時直線的方程。

7．已知函數y=x2＋(2m＋1)x＋m2－1（m∈R）。

（1）m為何值時，y的極小值是0？

（2）求證：不論m是什么數值，函數的圖象(即拋物線)的頂點都在同一條直線l1上.

（3）平行于l1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于l1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等.

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