加減乘除的由來

2024年3月9日發(作者：相關英語)

加減乘除的由來

+

加號的由來

運算符號并不是隨著運算的產生而立即出現的。我國在商代就已經有加法、減法運算，

但同埃及、希臘和印度等文明古國一樣，都還沒有加法符號，只是把兩個數字寫在一起來

表示相加。公元6世紀，印度人開始把單詞的縮當成運算符號。后來歐洲人承襲印度人的

做法，如16世紀，意大利科學家N·塔塔里亞用意大利文'Più'（加的意思）的第一個字母

表示加。1489年，德國數學家魏德曼首先使用“+”當加號，“+”是在橫線上加一豎來表

示增加的意思。1514年，荷蘭數學家V·赫克把它用作代數運算符號之一，后來又經過法

數數學家F·韋達的宣傳和提倡，“+”開始普及，但直到1630年才得到公認。

德國數學家魏德曼首先使用了加號“+”。

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減號的由來

最初減號由拉丁文'minus'縮寫成“m-”，意為“減去”，后來又被略去字母m,表示為

“-”。

15世紀，德國數學家魏德曼在創造出來“+”后不久，經過多次分析和研究，又創造

了減號，即“-”。在加號上減去一豎，表示減少。

也有人說，“-”出現于中世紀。當時酒商在售出酒后，用橫線標出酒桶里的存酒，而

當桶里的酒又增加時，便用豎線把原來畫的橫線劃掉。于是就出現了用以表示減少的“-”

和用以表示增加的“+”。

中世紀酒商用橫線或豎線標示存酒量的變化。

×

乘號的由來

人類很早就掌握了乘法運算。在我國，早在2000多年之前就已出現了“九九”乘法

表，在西方也出現了格子乘法。1540年，德國數學家史提非用拉丁字母'm“表示乘法，

它是拉丁語乘法”multiplicntio'一詞的第一個字母。1631年英國數學家W·奧特雷德提出

用“×”表示相乘，但是由于“×”號易與拉丁文'x'相混，17世紀末，德國數學家萊布尼

茨提出改用“·”表示相乘。

在我國，這兩種符號都采用，數字的乘法用“×”，而數字和字母相乘，或字母之間相

乘則用“·”或者省略不寫。

英國數學家W·奧特雷德發明了乘號“×”

÷

除號的由來

我國古代數學著作《孫子算經》上說：“凡除之法，與乘正異。”當時，人們用算籌和

口訣來計算除法。阿拉伯人曾用過兩個數之間加一條短線“-”的方法表示相除，1631年，

數學家W·奧特雷德也曾設想過用符號“：”表示除法，但沒有推廣開來。數學中正式把目

前的除號作為除法運算符號的，是瑞士數學家哈納。哈納在計算時，遇到一個整數分成幾

份的問題，卻沒有恰當的符號表示這種算法。于是他把阿拉伯人表示除法的小短線“-”和

奧特雷德的除法記號“：”合二為一，用一條橫線段“-”和兩個小圓點“：”從中間分開，

產生了表示除法的新記號“÷”，即除號。

瑞士數學家哈納發明了除號“÷”

（一）、通過創設情境，展現數學知識的產生背景，滲透數學文化

以數學知識的產生為背景創設情境，充分展現數學學科的形成過程以及數學概念的形

成。在這種追根溯源的過程中，不僅有助于學生全面深刻地理解數學知識，而且開闊了學

生的眼界，認識數學既是創造的，也是發明的。如在講《求不規則圖形的體積》的時候，

可以創設“阿基米德檢驗皇冠”的故事情景引領整個教學。該例子的內容講述的是：敘古

拉國王艾希羅交給金匠一塊黃金，讓他做一頂王冠。王冠做成后，國王拿在手里覺得有點

輕。他懷疑金匠摻了假，可是金匠以腦袋擔保說沒有，并當面拿秤來稱，結果與原來的金

塊一樣重。國王還是有些懷疑，可他又拿不出證據，于是把阿基米德叫來，要他來解決這

個難題。 回家后，阿基米德閉門謝客，冥思苦想，但百思不得其解。一天，他的夫人逼他

洗澡。當他跳入池中時，水從池中溢了出來。阿基米德聽到那嘩嘩嘩的流水聲，靈感一下

子冒了出來。他從池中跳出來，連衣服都沒穿，就沖到街上，高喊著："優勒加！優勒加！

（意為發現了）"。夫人這回可真著急了，嘴里嘟囔著"真瘋了，真瘋了"，便隨后追了出去。

街上的人不知發生了什么事，也都跟在后面追著看。原來，阿基米德由澡盆溢水找到了解

決王冠問題的答案。通過講述該例子，可以讓學生深刻體會數學來源于生活，并形成于對

生活現象的探索和總結。同樣還可以介紹如球體積公式的歷史、祖沖之的圓周率，楊輝三

角等等例子，從而充分的發揮數學文化在數學教學中的烘托作用，引導了學生了解數學學

科與人類社會發展之間的相互作用。

（二）通過創設情境，尋找數學家的足跡，滲透數學文化

例如：在學生第一次認識分數時，設計這樣的生活情境，小紅和小明去旅游，他們帶

了4瓶礦泉水，2個蘋果，1個蛋糕。提問學生，你打算怎么分配這些食物？學生的回答

也是精彩紛呈，有的說要根據他們的喜好分配；有的說可以給小明多分一點食物，因為他

是男生，他的胃口肯定比女生大，但是女生表示不贊成，她們的理由是在外旅游都很累了，

所以吃的并不會比男生少。雙方僵持不下，經過討論，決定只有平均分才顯得公平。從而

自然得到把一個蛋糕平均分成兩份，每人吃其中一份，怎么用一數表示的問題？這在學生

已有的認知結構中是不能解決的問題。通過與另外兩種食物平均分得的結果：2瓶礦泉水，

1個蘋果的對比，學生由此體會到，當一個問題看來不可解時，人們可以創造一些新的字

符或形式來表達一種新的概念和新的觀點。使學生體會到數學既是創造的，也是發明的，

從而讓學生看到它的文化功能。

在小學階段，有好多內容蘊涵著豐富的思想方法比如概率、統計的思想，轉化的思想

方法等等，所以在平時的教學中我們要重視和滲透這些思想方法。例如：在教學統計與可

能性時，書上設計的是摸球實驗，可是書上的要求只有10次實驗，這對于實驗的精確性

來說，實驗的次數太低了。數學家是在做了幾千幾萬次實驗后才得到對于個數相等的球，

每次任意摸一個，摸到的概率是相等的。并且實驗次數越多，實驗結果將會越接近這個實

驗結果。于是，可以結合書上的例題，把此相關背景資料介紹給學生，并且讓學生自己動

手實驗，在做了40次實驗后結果才比較接近。讓學生體會到概率的思想。同時，學生對

書上的只要求10次的實驗提出了質疑，并且對數學實驗產生了濃厚的興趣。

此外學生對數學史比如講述符號的歷史，介紹某一個數學問題解決的艱辛歷程，介紹

數學家的名言和故事更感興趣。對此，教師可以帶著孩子們通過多種途徑一起去欣賞古今

中外的數學史料。祖沖之、阿基米德、高斯、加羅華等等數學大師成了孩子們經常討論和

崇拜的人物。介紹給孩子聽數學史上的三次危機、哥德巴赫猜想等等，雖然學生還不太懂，

但是，通過這些補充，學生了解了數學原來是如此的豐富和神奇，等待著他們去研究和探

索里面的奧秘。通過一些積累以后，學生可以講述自己眼中的數學，與同學們分享自己課

外的數學知識和趣事等等。用一種無形的方式去陶冶他們。一定能夠影響到他們今后的學

習和工作。

《小學數學文化滲透的研究》結題報告

一、課題的現實背景及意義

數學文化是校園文化的一個重要組成部分，數學文化是培養理性思維的重要載體，數

學通過研究模式結構，運用判斷、分析、綜合、演繹、推理、論證等理性思維方法，增強

分析能力，啟迪創新意識，提高思維品質，是構成人的文化素質的重要組成部分；數學又

是美的藝術，它抽象、嚴謹、深沉而含蓄，是一種理智的美。因此數學文化在校園文化中

具有十分重要的地位，在培養學生理性思維和審美情操、促進學生智力發展的過程中發揮

著獨特的、其它學科不可替代的作用。該課題的提出，對學生而言，利于開闊視野、激發

興趣、推動創新，提高學的趣味性；對教師而言，利于豐富教學資源、優化教學方法、深

化知識深度，提高教的有效性；對學校而言，利于拓寬素質教育渠道、擴大素質教育領域、

推進素質教育進程，促進學校可持續發展。所以，我們試圖通過該課題的研究，促使學校、

教師、學生都能浸潤在“數學文化”這樣的環境中，從本質上改變學生學習數學的目標，

從而達到讓數學這門課程成為學生和諧成長的重要元素。

二、課題的核心概念及其界定

教師利用并挖掘教材的潛在功能，使我校校園數學文化建設方面取得優異成績。

三、研究目標

（1）充分利用教材，展現數學與文化的聯系，使學生熱愛數學提高學習數學的興趣。

（2）充分利用一切可利用的資源，對學生進行數學文化的滲透，使學生領悟到數學知

識的豐富、數學方法的精巧、數學思想的博大、數學思考的美妙，從本質上改變學習數學

的目標，從而讓文化浸潤孩子的心靈、啟迪孩子的智慧。

（3）創新教學方式，積累一定量的、有指導和借鑒意義的“數學文化滲透”的經典課

例，為今后數學文化課堂的構建提供有力支撐。

四、研究內容

1.選取典型課例，探索數學四大領域滲透數學文化的一般策略。數學文化魅力的獨特，

只有讓學生真正領悟到數學知識的豐富、數學方法的精巧、數學思想的博大、數學思考的

美妙，才能促使學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學，從本質上改變學習數學的目

標。因此，選取典型課例，探索出數學四大領域滲透數學文化的一般策略，是本課題研究

的重要內容。

2.整合地域特色文化和數學文化，構建生命的、生本的、生活的數學課堂文化。在數

學課堂教學中，要為學生的學習創設一個主動攝取、積極建構的數學文化場景，發揮數學

的無限魅力，去激發和澆灌學生與生俱來的靈性和好奇心，傾聽學生生命的自由感悟，光

大學生探究的天性，就必須整合區域特色文化和數學文化，構建生命的、生本的、生活的

數學課堂文化。只有這樣，才能讓數學課堂涌動生命的靈性、顯現智慧的個性。

五、研究重難點

要讓小學數學課堂變得生動有靈性、智慧有個性，就必須在小學數學課堂教學中滲透

數學文化。如何結合小學數學課程的內容滲透數學文化，即探索出數學文化滲透的一般策

略，是本課題研究的重點；如何構建生命的、生本的、生活的數學課堂文化，讓學生在課

堂及生活中感悟數學文化是本課題研究的難點。

六、研究方法

1.教育調查法：按照確立的研究對象，對實驗師生進行有計劃、有目的、有系統地訪

談或問卷，收集關于研究對象的第一手資料，并定期進行數據整理。

2.文獻資料法：針對調查中了解到的現狀，廣泛收集和查閱有關資料，關注國內外已

有的成功經驗，為研究提供理論和實踐參照。

3.行動研究法：在教與學的過程中，邊實踐，邊探索，邊檢驗，邊完善，把研究與實

踐緊密地結合起來；邊歸納，邊總結，邊反思，邊修正，不斷探索最佳實施策略。

4.比較法：一例多堂，對比分析相關要素的關系。

5.個案分析法：對研究對象盡可能搜集更多的資料加以分析、綜合運用各種方法探討

數學文化滲透的教學策略。在實踐中發現問題，在問題中尋求突破，在突破中實現提升，

最終提煉出共性的結論來。

6.經驗總結法：按計劃分階段收集和總結數學教學各領域各年級研究過程中的數據資

料，對各種內在因素進行深入分析歸納和整理，逐步形成成果，促進項目研究步步深化。

七、研究進度計劃及具體工作

第一階段：準備階段（2015 年3月—2015年4月）

（1）選定研究課題——《數學文化滲透的研究》。

（2）搜集研究資料——占據與本課題有關的情報資料。

（3）確立研究方向——整理、分析情報資料，調查、了解當下小學數學課堂教學現

狀并分析優劣，確定研究內容。

（4）制定研究計劃——構建基本研究框架。

（5）成立研究小組——成立研究小組。

（6）組織課題申報——填寫課題申報評審書并上報。

第二階段：啟動階段（2015年4月—2015年5月）

（1）落實實驗項目——按照申報評審書的分工，落實實驗項目。

（2）擬定實施方案——立足校本，聚焦課堂，認真調研，深入剖析，撰寫詳實可操

作的課題研究方案。

（3）培訓實驗教師——廣泛收集資料，組織教師學習有關數學文化方面的文獻資料。

第三階段：實施階段（2015年6月—2016年10 月）

（1）開展研究工作——按實施方案認真開展實驗研究工作，并把每一個細節落到實

處。

（2）測評實驗效果——定期對實驗班級進行學習態度、學習習慣、學習效率、學業

成績等進行實驗測量，不定期對實驗教師的研究狀態、研究進展情況等進行了解和調研，

以形成基礎研究數據，建立研究檔案。

（3）總結實驗經驗——定期召開課題研究例會和專題研討及培訓活動，不定期召開

課題研究進展情況匯報會，總結實驗經驗及教訓，及時調整研究策略。

（4）完善實驗方案——采取邊實驗邊思考，邊學習邊總結的方法，不斷調整和完善

課題研究的方案，以明確下一步的研究工作。

（5）梳理實驗成果——交流研究體會，總結研究經驗，撰寫研究論文，積累研究成

果，并邀請專家對課題進行中期評估。

第四階段：總結階段（2016 年11月）

（1）匯總、提煉實驗過程的數據、資料，進行全面、系統地分析和總結。

（2）對比研究數據，整理研究成果，總結研究經驗，撰寫研究報告和工作報告。

（3）申請結題，邀請相關領導和專家進行結題驗收。

（4）推廣實驗研究成果，加快推進數學素質教育進程。

八、課題取得的成果

經過這么長時間的研究，課題主持人周旭貴老師執教了《圓的認識》一課，王曉燕老

師執教的《認識百分數》一課，顧德風老師執教的《間隔排列規律》一課，袁衛老師執教

的《兩位數乘三位數》均有機滲透了數學文化教育，課題主持人周旭貴撰寫《巧編小故事

讓數學染文味》一文、《評課的好幫手》在教育視界》發表，王曉燕《融入數學課堂，

體察學生期待》在江蘇教育發表。對于在課堂中如何有機滲透數學文化有了初步探索。具

體體現在以下幾個方面：

1．通過本課題的觸發了教師對數學文化的關注。數學教師尤其是小學數學教師，對于

自己每天教學的數學這門課程很少去想一個為什么，研究教材也多是就題論題，很少從數

學文化的視野去關注所要教學的知識和思想方法，通過這次研究，觸發了老師的思維，他

們樂于去看一看數學文化方面的書，多問幾個為什么，更多地主動去關注數學歷史發展的

曲折進程，并有意無意地向學生展示這種關注，正是他們自己的話：沒有數學文化，不會

怎么樣；有了數學文化，就會不一樣。

2．通過本課題的研究，激發了學生樂學，提高了數學理解力、思維力和創新力，使數

學課堂教學增強了文化性和人文性，使得數學課堂教學厚實起來，靈動起來。在課堂的適

當階段融入數學文化知識，展現數學知識、思想、方法產生的過程，讓學生更好地理解了

了數學的本質，激發了學生學習的熱情，感受了數學家的智慧，感受了數學的文化和數學

的精神。每一個孩子都應該知道他所學習的這門學科的更為人文或個性的一面。我們的努

力正向學生打開以歷史的視角關注數學的窗，。

3．通過本課題的研究，探索了一些在課堂上融入數學文化知識的模式。

課前引入，激發興趣 課前講述數學文化有關的有趣的小故事，數學家發現數學知識，

數學思想方法、數學思維方法的有趣的經歷，讓學生對數學知識產生親切感；課中結合，

加強探索，在新知識接觸過程中，引入知識產生的源頭和經過，讓學生可以感知數學知識

產生的最初形態，幫助學生記憶和理解，激發探究的欲望，幫助學生打開思路，或者有不

一樣的發現和靈感；課堂總結，余音繞梁，在新知識完結時，拓展新知，增加補充一些有

趣的數學文化的知識，引導學生課后搜集或探索，拓寬學生的視野；名題指導，發展思維，

在數學活動課上展示一些數學名題，揭示古人的做法和我們現在的方法進行比較，提高學

生學習數學的興趣，提升數學學習的思維品質。

九、下一步研究的打算

課題組成員經過這么長時間的研究，取得了一定的成果，但由于我們理論水平的限制，

對于課堂教學中數學文化的深度研究還有些困惑，有待于我們下一步的繼續研究。

《數學課程標準》指出：“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現

代文明的重要組成部分。”而在時下，各種考試壓力的作用下， 我們關注的是學生對數學

知識的接受， 忽視了引導學生對數學本質、數學價值的認識與數學文化的熏陶。作為一名

數學教師，我常想學生在離開學校若干年后，哪些知識還能用的上，我想，除了加減乘除，

其他的都還給了老師了吧。這不能不說是數學教學的悲哀。這也促使我們不得不再一次來

反思數學教育的價值。作為人類文化的重要組成部分的數學內涵十分豐富， 數學應該作為

一種文化走進小學課堂， 滲入實際數學教學， 努力使學生在學習數學過程中真正受到文

化感染， 產生文化共鳴， 體會數學的文化品位。使孩子走入社會不僅僅停留在加減乘除

上。

一、什么是數學文化

其含義十分抽象廣泛，很難用一二句話來表達。僅關于文化的定義，就有 160 余種

之多（見《文化：概念和定義述評》）。就我個人粗淺的認為，所謂數學文化，就是以數學

家主導的數學共同體在從事數學研究活動中所創造的物質與精神財富。顯性的，如具體的

數學知識及其物化的呈現形式，而隱性的則為內蘊于具體數學知識、過程之中的數學方法、

數學思想、數學觀念、數學精神等。我所理解的數學文化，內涵即在于此。在小學階段， 數

學教學要讓學生了解數學與人類社會發展的相互作用， 體會數學知識的形成過程， 體會

數學的應用價值、人文價值， 開闊視野， 領會數學的美學價值， 從而提高自身的文化價

值和創新意識。

二、如何在小學數學課堂上滲透數學文化

（一）教材本身就富含數學文化資源。

人教版小學實驗教材各冊中新增的“你知道嗎？”內容就富含數學文化資源。

下面是不同形式的閱讀材料在各年級的分布情況：

從內容的編排來看每一篇“你知道嗎？”的出現都是和本章內容有密切聯系的。 如在

二上年級乘法一章，出現了乘法口訣演變史簡介。 在三下年級年月日一章出現了通過天文

地理知識的結合來介紹年這個時間概念的相關知識背景。 又如大數的認識一章通過例舉有

關“億”這個計數單位的生活數據來豐富學生對億的具體感知并適時進行節能等環保意識

的滲透。這些閱讀材料無不滲透著數學的文化氣息。這就是教材本身對數學文化的直接滲

透。教師在課堂教學中要很好的加以利用。

（二）課堂教學中要注重學生數學文化素質的培養，及時滲透數學思想方法

如教學《用字母表示數》可直接用一則招領啟事引入：

師：這里的若干元，可能是多少元？

生： 1 元、2 元、2.7 元、50 元、1000 元……

師：到底是多少元？生：你猜想是多少元就是多少元！

師：能否從數學角度，用另一種符號把 “若干”兩字替換出來？

生： x、y、n、a、b……這就是在特定場合我們可以用一個字母來表示數。

結合學生的日常生活，進一步教學用字母來表示數：體育課同學們喜歡什么運動啊？

你喜歡跳繩嗎？7元一根，你想買多少根跳繩，要花多少錢？請用一個數學算式表示出來。

生 1：我買 45 根，班上同學每人一根。

生 2：我買 3 根，全家人每人一根。……

師：請兩個人上臺板演，學生開火車報出自己的算式，可還是有人報出不同的算式來。

能否用一個算式把你心里想的和黑板上列出的算式都表達出來呢？

生： x×7、y×7、z×7……

在教學中加強對思維方法的引領，為今后更好的學習方程打下基礎。數學教學就會通

過文化層面讓學生進一步理解數學，喜歡數學。

（三）有效提高課堂效率

例如： 在教學“可能性”時， 書上設計的是摸球實驗， 可是要求只有10次實驗，

這對于實驗的精確性來說， 實驗的次數太低了。讓學生自己動手實驗， 在做了40次實

驗后結果才比較接近。讓學生體會到概率的思想，并且對數學實驗產生了濃厚的興趣。

數學課堂是數學文化滲透的主要渠道。每冊教材都增加了《數學廣角》這一單元，比

如：找次品、植樹問題、雞兔同籠、打電話、抽屜原理等。都能使學生開闊眼界，在教學

中，改變呆板的單一題型，如打電話可以采用現場模擬的方法進行，找次品，可讓學生自

己動手操作。讓學生真正感受到了思維的快樂，情感的共鳴。

如平行四邊形面積計算的教學，教師可以為學生準備透明的方格紙和剪刀、直尺等學

具，要求學生或者獨立思考、或者小組合作，探討面積計算的方法。有的學生通過數方格

求出面積，有的通過剪、移、拼，將平行四邊形轉化成長方形

求出面積。最后學生發現這兩種方法其實質是相同的，都可以歸結為底×高。

（四） 體現數學的美感價值

數學中的文化是豐富多彩的， 數學美感就是數學文化的一部分， 在認識軸對稱圖形

時，出示了一系列軸對稱圖形：有“長方形、等腰梯形、等邊三角形、圓形”等平面圖形

的，有“故宮、天壇、趙州橋”等古建筑的，有“京劇臉譜、剪紙”等民間藝術的。教師

又引導學生到現實生活中去尋找對稱現象， 通過觀看蝴蝶、蜻蜓、瓢蟲等動物， 讓學生

領略自然界中的對稱美。帶領學生進入數學美的樂園， 陶冶精神情操， 激發他們的學習

興趣， 提高學生的審美能力， 培養創造性思維能力。同時， 數學公式的簡潔美、幾何圖

形的構造美、推理論證的嚴謹美， 都會給學生美的熏陶。

在數學文化的背景下學習，能促進他們人格個性、情感體驗的全面和諧發展。我們的

實踐研究尚處在嘗試階段，我們期待更多的數學教育工作者一起投身研究，讓孩子們從小

在數學文化的背景下學習數學、研究數學。