(北師大版數學)九上第1至4章知識點(再總結)

2024年3月12日發(作者：采摘葡萄)

第一章 《特殊的平行四邊形》

一.知識點：平行四邊形，菱形，矩形，正方形，各自的性質和判定(看筆記)；

(一)菱形：

(1)有一個內角是60°(或120°)，較短的對角線將菱形分成了兩個等邊三角形，較短的對角

線等于邊長，較長的對角線=邊長的

3

倍；

(2)菱形的對角線平分一組對角(即具有角平分線的性質)，兩條對角線分成的四個小直角三角

形全等；

(3)面積=底×高=

1

對角線乘積；

2

(4)是軸對稱圖形(分別是兩條對角線所在的直線)，也是中心對稱圖形(對稱中心為對角線的交

點)，過對稱中心的任意一條直線都可以將它的面積平分；

(5)兩條寬度相等的矩形紙條重合，重合部分是菱形.

(二)矩形

(1)是軸對稱圖形(即過對邊中點的直線)也是中心對稱圖形；兩條對角線分成的四個三角形面

積相等，而且是四個等腰三角形(注意：相對的兩個等腰三角形全等)；

(2)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半(特別重要，在等腰三角形，△的全等，△的相似

中經常用到)；

例如：如圖，AD是△ABC的高，E，F分別是AB，AC的中點．求證：△DEF∽△ABC.

11

AB，DF=AC（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），

22

1DEDFEF1

EF=BC(三角形的中位線性質)，∴

???

，∴△DEF∽△ABC(三邊對應成比

2ABACBC2

提示：DE=

例的兩個三角形相似)

(三)正方形

(1)四條對稱軸，一個對稱中心；對角線分成的四個三角形是全等的等腰直角三角形；

(2)注意正方形在相似中的作用，利用勾股定理表示三角形的邊經常用到.

特別注意：

如果要從對角線入手判定四邊形是特殊的平行四邊形，“互相平分”是前提，沒有這個條件，

添加其它再多的條件都是沒有意義的；

二.中點四邊形：(只與原四邊形的對角線“相等”還是“垂直”有關系，與互不互相平分無

關)

(1)對角線既不相等也不垂直的四邊形的中點四邊形是平行四邊形(如：一般的四邊形，平行

四邊形的中點四邊形都是平行四邊形)；

(2)對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形(如：矩形，等腰梯形它們的中點四邊形都是菱

形)；

1

(3)對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形(如菱形，箏形它們的中點四邊形都是矩形)；

(4)對角線既相等又垂直的四邊形的中點四邊形是正方形(如：正方形的中點四邊形是正方形，

當然還有其它滿足條件的四邊形)；

三.特殊三角形邊的關系

(1)30°，60°，90°的直角三角形：三邊的比是：1:

3

：2；

(2)45°，45°，90°的直角三角形：三邊之比是：1:1:

2

；

(3)30°，30°，120°的等腰三角形：三邊之比為：1:1:

3

；

(4) 邊長為a等等邊三角形面積為：S=

3

2

a

.

4

習題：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，E是BC的中點，點P以每秒1個

單位長度的速度從點A出發，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點

C出發，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當運動時間為幾秒時，

以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．

第二章 《一元二次方程方程》：

一.判斷是不是一元二次方程方程的標準：

首先必須要把方程化成一般式，并且要化到最簡[ax2+bx+c=0(a≠0)]再判斷,關于誰的方程，

誰就是未知數，其它的字母當做已知數對待，例如：a2-a+x=0，是關于a的一元二次方程，

2