基于三角形剖分的最小二乘混合元超收斂性研究

2024年3月12日發(fā)(作者：乞巧古詩(shī)的詩(shī)意)

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第２４卷第１期　

湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)　

ｖｄ．２４Ｎｏ．１　

２ＯＯ２年３月　

Ｎａｔｕｒａｌ?。樱洌澹颍悖濉。剩铮澹睿洹。埃妫兀椋幔颍簦幔睿眨桑欤椋觯迳逃?jì)　

Ｍａｒ．２Ｏ皿　

基于三角形剖分的　

最小二乘混合元超收斂性研究　

楊菊娥，　陳艷萍　

（湘潭大學(xué)計(jì)算與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，湖南湘潭４ＩＩｉｏ５）　

【摘要】ｉ，－ｔ￣了二階橢圓問(wèn)題的最小二粟混合元方法及其超收斂性，采用一致三角形剖分、分片一次多項(xiàng)式空問(wèn)對(duì)未知　

函敷作有限元逼近．而對(duì)其通量且　采用最低階的Ｒａｖｉｓａ＇ｔ一１１哪峭元逼近．通過(guò)投影算子和輔助算子的拄術(shù)，得捌了精度為　

０（＾擾）的超收斂結(jié)果．　

關(guān)鍵詞：最小二乘混臺(tái)有限元．超收斂性．一致三角形剖分．插值算子　

中圈分類號(hào)：位１４　立ｔ標(biāo)識(shí)碼：Ａ　文章墑號(hào)：１（３００一舢ｌ２００２Ｉｏ１一∞∞－０５　

Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ?。铮妗。蹋澹幔螅簟樱瘢酰幔颍澹蟆。停椋澹洹。疲椋睿椋簦濉。牛欤澹恚澹睿簦蟆?/p>

ｆｏｒ?。牛欤欤椋穑簦椋恪。校颍铮猓欤澹恚蟆。铮睢。裕颍椋幔睿纾酰欤幔簦椋铮睢?/p>

ＹＡＮＧｎ一　ｔ?。悖龋牛巍。伲幔枰环?/p>

ｌｌ￣ｄｔｕｔｅｆ?。褨牛穑酢。都　。澹睿洌迯棧欤椤。蓿桑伞〖矗哐。?Ｘｌ　Ｕｎｌｖｅ￣ｔｙ－）ｃｉＩ噼?。桑矗保桑保埃怠。茫瑁欤颍臁?/p>

【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｉｎ崎ｐａｐｅｒ　唧∞?。桑澹拢桑欤桑欤椋蟆。猓簦瑁澹欤澹幔螅簟。螅瘢酰幔桑伞　荆濉。澹欤澹恚澹恚澹簦瑁铮洌妫铮颉?/p>

ｔｈｅ鴕ｃ０Ｉ．ｄ?。铮欤洌澹颉。洌欤椋小∵螅铮睢∪纾纾酰煊模伞。裕瑁澹螅濉。遄匝{ｂｅｓｅｄ?。铮睢。鸾校澹恪。铮穑澹颍幔簦铮颍蟆。幔睿洹。幔睢。螅酰椋欤椋螅颍?/p>

畸ｅ　冊(cè)?。鳎瑁铮恚鑴h　如舭ｌａｒｌｌ?。澹欤澹恚澹「滓唬浴。校迦ぃ伞。颍澹纭尽“肌『鳌?/p>

ａ玎ｇＬｄ　。鳴ａｒｅ?。酰螅澹洹。鳎濉。悖幔睢。铮猓簦钊眨蹋欤穑濉捱啤∧浚澹颉。鬻歉讗u凹０ｆ?。猓铮簦琛。簦瑁濉。椋颍颍伞×耍螅铮保铮钣。校伞蕖》酰簟。幔颍洹。簦瑁濉?/p>

ｌｆｕｘ叩ｐＩ啦ｉｍｌ?。穑鳎檠簦瑁濉蓿悖欤。埃欤蕖。?/p>

Ｋ?。祝希妫海簦瑁澹欤澹幔螅簟螅瘢酰幔睿洌澹洌妫椋睿椋簦濉。澹欤澹恚澹睿簦获Zｐｅ嗍ｖｅｒｇｅｒ啪；ｌｏＷｅ嚏ｏｌｄｅｒ；　且ｒ?。颍幔颍澹妫椋澹蟆。埃妫酰睿铮颍怼。?/p>

ｎｇ山ｄｍ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ?。穑蜻汀　蕖?/p>

ＡＭＳ　ｓＩＩ?。濉。嵩健　荆憬恤埃海叮担危常啊?/p>

０弓ｌ言　

我們就二階橢圓型方程的Ｄｉｒｌｃｈｌｅｔ邊界問(wèn)題來(lái)討論．　

ｆＬ　１４

，＝

０　∈ａｎ　

ｎ　（

…　

０　１）　

其中ｎ?。谩∈怯薪玳_(kāi)子集，ｖ是邊界如的外法向．ｆＥ　（ｎ），ａ（ｘ）∈ｃＪ（ｘ）并且存在正常數(shù)ａ．和　

ａ　滿足對(duì)所有　∈五　

口＿≤ｏ（　）≤口２　（０　２）　

設(shè)ｐ＝一ａ（ｘ）ｇｒａｄⅡ，ｐ＝（Ｐ．。ｐ：），得到與（Ｏ?。保┑葍r(jià)的一階方程組：　

ｒｐ＋０（　）ｇｒａｄｕ＝０　∈ｎ　

｛ｄｉ

【ｕ：０　

ｖｐ一，＝０　∈力　

∈ａｎ　

（０．３）　

７０年代Ｐ．Ａ．Ｒａｖｉａｒｔ和Ｊ．Ｍ?。裕瑁铮恚幔筇岢隽嘶旌嫌邢拊椒ā。剩模铮酰纾瑁蟆。剩颍。遥拧。牛鳎椋睿纾郏悺?/p>

艷萍　等人把混合元方法＿用于可混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的求解，通過(guò)解的正則性處理，成功地得到了二階橢圓　

００７１０￣）；２．高等學(xué)校教育部骨干教師基金資助項(xiàng)目（。Ｇ—ｌｌＯ一１０５３０—１０∞）；３國(guó)家　

頊?zhǔn)垦芯可?/p>

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第ｌ期　楊菊娥等　基于三角形剖分的最小二乘混臺(tái)元超收斂性研究　９　

問(wèn)題混合元方法的超收斂性，提高了數(shù)值解的精度．但混合有限元空間要求滿足匹配條件（ＬＢＢ），導(dǎo)出　

的剛度矩陣非對(duì)稱正定，這種線性方程組的求解是相當(dāng)困難的，大型科學(xué)計(jì)算問(wèn)題更是如此．　

為此，對(duì)該問(wèn)題，本文首先導(dǎo)出混合元最小二乘方法的等價(jià)弱形式，然后用該方法來(lái)求解二階橢　

圓微分方程．該法的優(yōu)點(diǎn)：１）混合元空間不受匹配條件的影響；２）導(dǎo)出方程的系數(shù)矩陣對(duì)稱正定，容易　

求解．Ａ．Ｉ．Ｐｅｈｌｉｖａｎｏｖ等人在文　用最Ｊｂ－－乘混合元法求解二階橢圓問(wèn)題，后來(lái)，陳艷萍教授用最Ｊｂ￣－　

乘混合元法求解可混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題　和退化的橢圓問(wèn)題　，得到了最優(yōu)階誤差估計(jì)．在此基礎(chǔ)上，本文　

采用一致三角形剖分，利用一些適當(dāng)?shù)耐队八阕樱贸隽硕A橢圓問(wèn)題最小二乘混合元方法的超收斂　

性結(jié)果．　

１最ｔＪ￣＇－乘混合有限元方法　

定義　

：

｛”∈／－／‘（１＂１）：?。剑埃剩幔睿臁。ǎ保保?/p>

Ｑ＝ｔ　ｑ∈（￡　（１＂１））??；ｄｉｖ口∈ｒ（１＂１）｝?。ǎ保玻?/p>

具有范數(shù)　

Ｉ　ｌ．?。海ā。欤欤海。桑薄。纾颍幔洹保欤臁＃玻。薄。ǎ保常?/p>

ｌｌ?。瘛。欤伞。恚海ǎ保臁。瘛。睿欤臁。洌椋觥。瘛。桑臁?、?。。ǎ保矗?/p>

定義問(wèn)題（０．１）的泛函　

，（　，ｇ）：（ｄｉｖ?。瘛妫洌椋觥。褚弧?。＿ｎ＋（ｑ＋口（?。纾颍幔洹?，口（?。。瘢纾颍幔洹。?。．口?。ǎ保担?/p>

則問(wèn)題（０．３）的解Ⅱ，ｐ等價(jià)于求，（”，ｑ）的最小值，即ｕ，ｐ滿足　

，

ｐ）＿?。拧。ā。。ǎ保叮?/p>

定義算子口（ｕ，ｐ；　，ｑ）為　

口（ｕ，ｐ；　，ｑ）：（ｄｉｖ?。?，ｄｌｖ?。瘢埃睿ǎ穑冢ā。纾颍幔洹。酰谝弧。ā。瘢纾颍幔洹保恚睢。ǎ保罚?/p>

由變分原理知，（１．６）的弱形式即：找Ⅱ∈Ｖ，ｐ∈Ｑ，滿足　

ａ（ｕ，ｐ；　，?。剑ǎ妫洌椋觥。瘢。帧　省?，早∈Ｑ?。ǎ保福?/p>

引理１對(duì)　∈　，ｑ∈ｐ，則存在一個(gè)正常數(shù)ｃ＞０，成立　

ｃ（　＋　ｑ?。妗、瑁芸冢ā?，口；”，ｑ）?。ǎ保梗?/p>

證明過(guò)程見(jiàn)［１，２，１２］．引進(jìn)有限元子空間為　

＝

｛　∈ｃ０（１＂１）：?。欤伞剩校保ā。郑恕省　海恚海埃伞。ǎ保保埃?/p>

Ｐ?。ā∈谴螖?shù)為１的完全多項(xiàng)式　向量函數(shù)場(chǎng)則取為最低階的Ｒ　一　０ｒｎ８ｓ（　：０）空間　

口＾（Ｋ）：｛　∈Ｑ：ｑ＾『　∈（（Ｐｏ（Ｋ））?。埃椤。校埃ǎ耍帧。恕省。伞。ǎ保保保?/p>

這里我們要求剖分　為一致三角形剖分，即任意兩個(gè)相鄰的三角形都可以形成一個(gè)平行四邊形．　

Ｋ是　中任意的三角形，記?。槠渥罱咏坏膬蓷l外法向量，若　，　是兩相鄰三角形，且?。ā?/p>

：１，２）是公共邊的外法向量，則記Ⅳ，＝ＫＩ　Ｕ?。ǎ椋剑?，２）．從而ｎ就被分解為平行四邊形Ｍ和一些　

邊界三角形　（ｉ＝１，２）．所有　

．

的集合記為　，所有邊界三角形　的集合則記為ａｑ

，．　

引理２設(shè)Ｎ＝Ｋ１?。铡。耍簦∈莾蓚€(gè)三角形．Ⅱ＾為最低階的ｔｌａ￣－ｔ—　∞投影　］，對(duì)所有的　

ｑ∈［伊。（Ｎ）］?。痢＃ǎ危剩校?，ｖ）成立　

ｑ一Ⅱ＾ｑ）ｄｘｄｙ＝０?。ǎ保保玻?/p>

現(xiàn)在，對(duì)　和口＾，（１．８）的離散形式即：找　∈　，　∈口＾滿足　

口（　．??；　，?。剑ǎ?，ｄｉｖ?。。帧　省。　省。ǎ保保常?/p>

根據(jù)Ｌ“一Ｍｉｌｇ￣定理知．最小二乘變分問(wèn)題（１．８）及其離散形式（１．１３）有唯一解　

而且（１．１３）減去　

（１．８）得到誤差方程滿足正交性質(zhì)　

口（ｕ—ｕ＾，ｐ—??；?。。剑啊。帧　省。　士冢蕖?/p>

（１．１４）　

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１０　湘潭太學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)?。玻啊弈辍?/p>

２超收斂估計(jì)　

引理３　

（所有　

是ｎ的一致三角形剖分，假定ｎ被分解成平行四邊形　和邊界三角形　，那么對(duì)　

的集合），存在某一個(gè)正常數(shù)ｃ，滿足　

（ｐ一Ⅱ　，ｑ?。?。．　≤ｃｈ　ｌ?。欤稹。欤伞。玻。妗。桑欤薄＃。挚冢蕖省?/p>

引理４　是ｎ的一致三角形剖分，則　

（２??。?/p>

（ｄｉｖ（ｐ一Ⅱ　），ｄｉｖ　）口＿ｎ＝０?。觥?/p>

引理５　

（所有　

∈Ｑ＾?。ǎ玻玻?/p>

引理３．１和引理３．２的證明可利用分部積分Ｎ［３Ｕｏｅ￣定理１．４以及引理１．２５—１．２９．　

是ｎ的一致三角形剖分，假定ｎ被分解成平行四邊形　和邊界三角形　，那么對(duì)　

的集合），那么存在某一個(gè)常數(shù)ｃ＞０滿足　

（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ?。埽悖琛。伞海小。欤祚Y．日Ｉ１?。桑薄。薄。睢。帧?/p>

知，在所有平行四邊形　的集合　上有　

∈?。ǎ玻常?/p>

證明對(duì)任意　∈　，ｇｒａｄｖ＾是常數(shù)（見(jiàn)２．ｉｏ），顯然　滿足引理２中的Ｎ的條件，從而由（１．１２）　

（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ?。埃。剑啊?/p>

對(duì)于邊界三角形　的集合　，利用Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ＇不等式和逼近性質(zhì)可得　

（２．４）　

ｌ?。桑保薄?，ｎ（２?５）　

（２　６）　

（（ｐ一１－Ｉ￣），ｇｒａｄ?。?。．　≤ｃ?。伞海幸虎颉。欤?。．?。欤伞。欤伞А　堋。欤臁。稹。桑薄?/p>

定義　＝｛　∈ｎ　Ｉ?。辍。佟剩幔睿海洌椋螅簦ǎ伲埽瑁齽t由Ｓｏｂｏｌｅｖ空間的基本理論得　

ｌＩ?。小。保幔簦欤埽臁。欤小。欤臁。?，０ａ≤ｃｈ?。桑薄。小。啊。恚睢?/p>

（２．６）代人（２．５）有　

（（ｐ一Ⅱ　），ｇｒａｄｖ￣，）　≤ｃｈ?。桑伞。稹。欤伞。睢。桑伞。桑臁。?，ｎ?。ǎ玻罚?/p>

引理得證．　◇　

定理３．１設(shè)　為ｎ上的一致三角形剖分，（　，?。┦菃?wèn)題（０．１）的解，則對(duì)ｕ∈曠（ｎ），Ｐ∈　

（Ｈ２（ｎ）　有如下超收斂估計(jì)：　

ｌＩ　一Ｐ?。酢。桑臁。埃睿桑伞。穑抟虎颉。桑伞。ㄇ。埽悖枥玻ǎ保臁。小。欤沈罚。。欤伞。小。桑臁。睿欤伞。酢。桑?，．ｎ）（２．８）　

證明引進(jìn)投影算子　

（４（　）ｇｒａｄ（口一　口），ｇｒａｄ　）ｏ．ｎ＝０　對(duì)所有　∈?。ǎ玻梗?/p>

Ｉ１口一ｓ＾口Ｉ?。欤埃保睿琛】谝唬螅蕖。桑薄住埽悖琛。桑薄。啤。欤伞。睢。ǎ玻保埃?/p>

【?。欤蟆。酢校耄酢。欤桑桑睢埽悖琛。桑伞。酢。睢?/p>

利用引理１和正交性質(zhì)（１．１４）可得　

（２．１１）　

ｌ?。眨琛。酢。臁海穑抟虎颉。桑臁。ā。睿埽悖铮ā∫唬校蓿酰∫虎颉。弧∫唬校瑁?，Ｐ　一Ⅱ＾ｐ）＝　

ｃ。（ｕ—　，Ｐ一Ⅱ　；　一Ｐ＾ｕ，Ｐ　一Ⅱ　）＝　

ｃ（ｄｉｖ（ｐ一Ⅱ　），ｄｉｖ（　一Ⅱ?。睿睿ǎ鹨虎颉。校睿ā。?。（ｐ＾一Ⅱ?。＃恚?/p>

（ｇｒａｄ（ｕ—?。酰?，Ｐｈ一Ⅱ?。瑁ǎ鹨虎颉。纾颍幔洌ā∫患矗祝?/p>

５　

（口（　）ｇｒａｄ（ｕ—　ｕ），ｇｒａｄ（　一Ｐ＾ｕ））?。健疲蕖?/p>

由引理４知　

（２?。保玻?/p>

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第ｉ期　楊菊娥等　基于三角形剖分的最小二乘混合元超收斂性研究　

，】＝（ｄｉｖ（ｐ一Ⅱ＾Ｐ），ｄｉｖ（　一Ⅱ　＝０　

對(duì)任意的　∈　，取ｎ一‘（?。┰谄叫兴倪呅巍〉钠骄怠?，則ｌ?。睢。ā。┮弧。臁埽茫?于是，　

由引理３和逼近性質(zhì)可得　

Ｍｌ＝（ｐ一Ⅱ　，ａ－Ｉ（?。ā∫虎颉。?。．?。健?/p>

［（ｐ一Ⅱ　，（。一　（?。┮弧。ā。睢?。．?。ǎ鹨虎颉。。ā、颉　＃。荨堋?/p>

∈　‘　?！?/p>

∑［Ｃｈ　一ｎ　。．　一Ⅱ　。．　ｌ—ａＡｆ＇ｔ?。ǎ鹨虎?，，　一Ⅱ?。！。T≤　

∈門Ｊ?。獭。?/p>

ｃｈ　一Ⅱ　。．?。ǎ?１３）　

以＾√　為新基定義坐標(biāo)變換Ｆ，其中　，＾是剖分三角形單元接近正交的兩條外法向量，則Ｆ～＝　

（　，五）．記ｅ．，ｅ　為　的單位向量，那么　

＝

（ｐ一Ⅱ，．。（　）一　（　一Ⅱ　））　＝（Ｆ（　一Ⅱ　），　。（　）‘。（ｐ一Ⅱ　氣＝　

∑Ｊ　（Ｆ（　一Ⅱ?。。啤幔ā。?。（ｐ—ｎ　）ｄ?。洌剿C　“?。ǎ玻保矗?/p>

其中　

一

Ⅱ　出　一Ⅱ?。?/p>

取邊界三角形的內(nèi)邊的中點(diǎn)為Ｍ，則由（ｏ．２）式和矩陣Ｆ　的規(guī)范性知：在　上　

ｄ（?。澹裕埔弧。澹ā。剑铮ā。濉。埔弧。濉。ā。模ǎ蓿。ǎ玻保担?/p>

于是　

ｌ　１１　ｌ≤∑ｌ（ｅ?。啤。睿ā。濉。ā。省。?/p>

‘＾　

ＴＦ（ｐ　一?！。ǎ鹨虎?，）?。濉。洌洌。欤?/p>

∑ｃ

＇ｌ　

ｈ　ｌ?。臁。?/p>

＾　

?。疲ā∫唬睢。ǎ鹨虎?，）?。澹洌洌。臁堋?/p>

ｌ?。洌澹簦ǎ疲欤欤欤ǎ澹裕啤?。（?。。∫虎颉?。．　一Ⅱ　氣　

　ｌｄｅｔ（Ｆ）ｌ　ｈ?。幸虎颉　А。幸虎颉?。．?。ǎ?１６）　

再一次利用Ｃａｕｅｈｙ—Ｓｅｈｗａｍ不等式和有限元逼近理論可得　

ｌ，】Ｉ≤ｃ?。臁。洌澹簦ǎ疲臁。伞。梢虎?，ＩＩ?。铮。ǎ保伞。濉。啤。幔ā。濉。桑桑保ǎ蕖。桑伞。稹。桑伞。睿蓿桑伞。稹。桑伞。?/p>

（２．１７）　

因此　

≤ｃｈ?。伞。桑小∫虎颍蓿小。桑伞祝ǎ蕖。桑伞。小。桑伞。桑伞。小。桑伞。?/p>

（２．１８）　

Ｌ≤ｃｈ?。桑伞。小∫唬保?，ＩＩ。．ｎ（＾　ＩＩ?。小。桑桑睿琛。伞。桑小。桑海睿桑伞。小。桑伞。睿?/p>

（２．１９）　

＝一

（ｕ—　，ｄｉｖ（ｐ　一Ⅱ　））。．ｎ≤　

ｃ?。桑伞。酢。酢。?。．?。伞。小∫虎颍桑伞　埽悖琛。桑伞。酢。桑桑海睢。桑伞。小∫虎颉。桑伞。妫瑁睢?/p>

（２．加）　

Ｌ＝（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ（　一Ｐ＾ｕ））。＿ｎ≤ｃｈ　ＩＩ　Ｐ　ＩＩ?。睢。桑伞。酢∫弧。酢。桑伞。撸睢?/p>

（２．２１）　

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１２　湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)?。玻铮铮舱?/p>

厶＝（Ａ?。纾颍幔洌ǎ螅蓿取校蔻颍纾颍幔洌ā∫唬校蓿龋铮睢堋?/p>

ｃ　ＲⅡ一Ｐ＾Ⅱｌｌ１．ｎ　０　一Ｐ＾?。欤欤桑睢叮悖瑁病。桑薄。取。欤臁。常欤睢∫唬校蓿酢。欤欤桑睢。ǎ玻郑?/p>

這里我們利用了Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｅｈｖ￣ｔｚ不等式和一些逼近性質(zhì)，引理５，以及算子ｓ＾的性質(zhì)．聯(lián)立（２．１１，（２．　

１８—２．２２）以及Ｓｏ￣ｌｅｖ空間的嵌入定理，有　

Ｉ　一Ｐ＾　Ｉ　Ｉｔｍ＋ＩＩ　Ｐ＾一ＩＩ，ｐ?。桑伞。恪。睿堋?/p>

ｃｈ３ｎ（ＩＩ　ｐ　

．

ｎ＋ｈ?！。臁。欤稹。桑伞浚睿??！。桑伞。稹。伞。桑。?。　Ｉ?。桑取。桑伞。睿琛。桑伞。酢。桑伞。常睿。ǎ玻玻常?/p>

綜上所述，定理得證．　◇　

參考文獻(xiàn)　

ｎ］　叫ｈ刪＾１，ｃ．￣－ｉｃ?。疲∏洌遥模镜亍∫荒龋籼兀颍澹浯！∩娇诔鞍选袄惭校湟徊啊◆薄埃荩Γ汀。省。拊剑保梗梗矗?/p>

（５）：１　３６８—１　３７７　

［２］Ｂ?。蹋睢。痢。保悖砂。恪。疲牛颍颍幔穑閯hｍ∞婦ｌｅａｓｔ一哪嘲“?。椋妫睿椋簦濉。淝、颍猓邸。遥粒恚稀。停欤簦琛。停铮洌澹煊稹。危怼。蓿簦欤?，１９９４，２８（５）｝４９９—　

５１６．　

［３］Ｌｉｎ　Ｑ，Ｙ礬Ｎ?。危龋椤。悖檫螅。萍。茫酰睿铮簦簟。猓椋郏停荩幔椋辏欤恚酰海取。酢≈瘢校猿埃保梗梗叮?/p>

［４］ＪＢ｜ＬＨ?。拢颍幔睿洌〈凄浴“辍。帷“。辍〕辍∨饗D　礎(chǔ)?。椋妫睿椋簦濉。洧恚猓郏剩荩危芍荩欤欤幔簦瑁保梗梗矗叮福海常保薄常玻础?/p>

［５］?。校?，．Ｉｌ啪塒ＪＩＶ１．＾Ｈ由　６　ｋ?、蚝穑舯{蛐２ｎｄ?。桑澹颉。濉Ы小♂叮郏悖荩腿眨欤伞。校宄觯埃妫欤欤恪。睢。欤迦漳年伲伞荆停取。饪Чぃ濉?/p>

Ｈ岫ｍ．?。汀。隆。睿骸。甭眩叮埃叮海玻梗玻常保担?/p>

［６］ＪＤ叫　蚰Ｊｒ．ｓ?。穑濉蓿怼√铩埃撸海椋睿欤欤恪。濉。恚椋睿欤欤恪。睿欤毙。埃妗。濉。洹。伞弈募矗欤郏省浚蓿省。蓿簦熳裕保保梗福?，盈：９曉一９６９．　

［７］Ｅ?。遥牛螅?即Ｊ．’?。桑欤纭。剩迯棧饶摹。埃婕础洝〕恚悖濉。祠薄。逶鳎椋睿欤欤闱模伞。埃妫澹欤猓欤澹洌伞〈＃氵取。睿欤郏剩荩澳摹。桑停澹?０ｄＢＡｇｐＩＭｅｅｈ　

Ⅱ　弭．１　ｌ，８９：７３—８４．　

［８］ｃ?。佟。小。螅设裕觯濉。酢。椋睢。隔摺　蓿埃妗∪眨洹。濉。怼。簦郏剩荩术省。Γ颓螅恪。保梗梗?，１８（３）：３２８—３３４．　

［９］　ｃｈ棚Ｙ?。?，Ｈｕａｎｇ?。佟。?，ｓ｝１哪ｚＨ．Ｌ蛐【一　岍?。椋簦澹潋摹∨踞叮妫铮颍椋钸蟆。濉海桑欤椤。摺〈＃阚》欤郏剩荩危酰恚澹颉。汀。省。埃妗。埃?。?！?/p>

ｒ啪ｅ?。酢D，２　．盈（３）：卵２—２７８（ｉｎ?。帷。?/p>

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