FRM知識(shí)點(diǎn)：兩基金分離定理
1前言
美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨1952年發(fā)表論文《資產(chǎn)組合的選擇》，標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的開(kāi)端。他利用均值--方差模型對(duì)投資組合進(jìn)行分析，提出投資組合理論，并進(jìn)行了系統(tǒng)、深入和卓有成效的研究，后得出這樣的一條曲線（上雙曲線）——有效前沿，在該前 沿上的投資組，均滿足一定風(fēng)險(xiǎn)下的高收益，一定收益下的低風(fēng)險(xiǎn)，給投資者資產(chǎn)組合的
選擇提供了理論基礎(chǔ)。
然而，馬科維茨組合理論雖然給出了組合選擇的方法，在實(shí)務(wù)操作中卻較難實(shí)施，因
為要獲得優(yōu)組合的各個(gè)投資標(biāo)的的權(quán)重，需要每個(gè)投資標(biāo)的的收益、方差（或標(biāo)準(zhǔn)差），
以及各個(gè)標(biāo)的間的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算要求極高，當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)硬件發(fā)展不匹配。因此，資產(chǎn)組
合理論后續(xù)發(fā)展的“兩基金分離定理”、“單一因素模型”等，都極大的推動(dòng)了投資組合理論的實(shí)際應(yīng)用。
2文章思路
兩基金分離定理包括兩層涵義，因此本文從以下兩方面展開(kāi)：其一，投資組合僅有風(fēng)
險(xiǎn)資產(chǎn)，不包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因其引申自馬科維茨組合管理理論（本文不再贅述），所以
主要從定理、定理證明和現(xiàn)實(shí)意義進(jìn)行闡述；其二，引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的兩基金分離定理，
也主要從以上三方面展開(kāi)，然而會(huì)引出資本市場(chǎng)線、市場(chǎng)組合等重要概念。
3僅有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)
3.1定理
在只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，有效前沿是一條上雙曲線，在這條線上，任意兩個(gè)分離的
點(diǎn)都代表兩個(gè)分離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點(diǎn)所代表的有效投資組
合，都可以由這兩個(gè)分離的點(diǎn)所代表的有效投資組合的線性組合生成。
3.2證明
由馬科維茨的投資組合理論可知，過(guò)任意兩個(gè)分離的各自代表有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的點(diǎn)可以生
成一條雙曲線。所以，有效組合邊界上的兩個(gè)分離的點(diǎn)可以看作兩項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，它們也
就可以生成一條雙曲線。然而，有效組合邊界本身是一條雙曲線。
首先，任意兩條不同的雙曲線不可能在同一側(cè)有兩個(gè)分離的切點(diǎn)。
其次，如果這兩條雙曲線在這兩個(gè)點(diǎn)是相交的話，則由兩個(gè)點(diǎn)生成的雙曲線一定會(huì)有
一部分落在有效組合邊界所圍區(qū)域的外面。然而，由有效組合前沿的定義知這是不可能的，所以這兩條雙曲線一定重合。
綜上，兩基金分離定理成立。
3.3意義
以市場(chǎng)上的機(jī)構(gòu)投資者——共同基金為例。共同基金一方面發(fā)行小面額的收益憑證作
為自己的負(fù)債，另一方面則把籌集到的大筆資金進(jìn)行分散化投資，形成自己的投資組合。
如果有兩家不同的共同基金，它們都投資于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而且都經(jīng)營(yíng)良好，經(jīng)營(yíng)良好意味
著它們的收益/風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系都能落到有效組合前沿。
那么，根據(jù)兩基金分離定理，任何別的投資于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的共同基金，如果經(jīng)營(yíng)良好
（即為有效組合前沿上的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合），其有效投資組合一定與原來(lái)那兩個(gè)共同基金的
某一線性組合等同。
因此，只要找到這樣兩家不同的經(jīng)營(yíng)良好的共同基金，把自己的資金按一定的比例投
資于這兩家基金，就可以與投資于其他經(jīng)營(yíng)水平良好的共同基金（即其他不同收益/風(fēng)險(xiǎn)配
比的有效組合）獲得完全一樣的效果。這一結(jié)論對(duì)投資策略的制定無(wú)疑有重要的意義。
4含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)
4.1定理
在引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，有效前沿就變成是一條射線，在這條線上，任何一個(gè)的
有效資產(chǎn)組合都可以由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)市場(chǎng)組合的線性組合生成，但是其中一個(gè)關(guān)鍵的
地方是，該市場(chǎng)組合是作為所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的代表，投資者投資在該風(fēng)險(xiǎn)組合的每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資
產(chǎn)的投資比例不隨投資者的偏好而改變。
4.2證明
該定理的證明首先需要引出資本市場(chǎng)線，然后進(jìn)行論證。
4.2.1資本市場(chǎng)線
在所有可能有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合所構(gòu)成的雙曲線所圍成區(qū)域的有效組合邊界左下端，就是
小方差組合。因?yàn)橛邢到y(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)存在，小方差組合不是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，其預(yù)期收益率也一定高于
無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率R f點(diǎn)。于是，在標(biāo)準(zhǔn)差——預(yù)期收益率圖中：有效組合邊界和表示預(yù)期收益率
大小的縱坐標(biāo)軸是不相接觸的，而代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益/風(fēng)險(xiǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)落在縱軸上。
因而，在加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券后，代表新的組合的點(diǎn)一定落在連接R f點(diǎn)和包含所有可能的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的雙曲線所圍區(qū)域及其邊界的某一點(diǎn)的射線上。
如此的射線有無(wú)數(shù)多條。但是，當(dāng)射線圍繞R f點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，不管投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好如何（即不管效用函數(shù)的曲線形狀如何），越在上面的射線上的點(diǎn)，其效用值越
大。于是，效用值大的射線一定是與有效組合邊界相切的那一條，即連接R f點(diǎn)和M點(diǎn)的射線。
這條射線實(shí)際構(gòu)成了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效組合邊界資本市場(chǎng)線。
4.2.2論證
資本市場(chǎng)線上點(diǎn)（0，Ｒf ）代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，點(diǎn)
M （σM ，Ｅ(R M )）有風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)組合，而該資產(chǎn)市場(chǎng)線上的任意投資組合為（σ
P ，Ｅ(R P )），設(shè)ω為該組合配置風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的
比例，則：E (R P )=(1-ω)?R f +ω?E (R M )
σP =ωσM
得
ω=σP σM
該投資組合配置σP σM 比例的有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合，（1-σP σM
）
比例的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。該投資組合收益Ｅ(R P )為：
E (R P )=R f +σP E(R M )-R f σM
該方程也就是資本市場(chǎng)線的表達(dá)式。
此時(shí)，其中一項(xiàng)基金是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，而另一項(xiàng)則是切點(diǎn)M 所代表的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合。資本市場(chǎng)線上任意一點(diǎn)所代表的投資組合，都可以由一定比例的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和由M 點(diǎn)所代表有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合生成。在這個(gè)包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效組合邊界（即資本市場(chǎng)線）上，兩基金分離定理實(shí)際上依然成立。
代表小方差組合的點(diǎn)位于R f 點(diǎn)的右上方，從而保證了切點(diǎn)（M 點(diǎn)）的存在性（如果小
組合的預(yù)期收益率與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率相等的話，雙曲線上的切點(diǎn)會(huì)不存在，資本市場(chǎng)線會(huì)變
成雙曲線的漸近線）。資本市場(chǎng)線在M點(diǎn)右上方的部分所包含的投資組合，即ω>1，是賣空了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券（即以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸款）后，將所得的資金投資于M點(diǎn)所代表的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。
4.3意義
4.3.1現(xiàn)實(shí)意義
兩基金分離定理為從事投資服務(wù)的金融機(jī)構(gòu)提供了理論指導(dǎo)，不管投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，只需要找到切點(diǎn)M所代表的有風(fēng)險(xiǎn)投資組合，再加上無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，就能為投資
者提供佳的投資方案，而投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好，就只需反映在組合中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券所占的比重。這一佳投資方案的設(shè)計(jì)與投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)的結(jié)果，更能說(shuō)明兩基金分離定理中“分離”一詞的涵義。
M點(diǎn)所代表的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合是什么樣的組合，投資者如何才能構(gòu)建這樣的組合？
4.3.2市場(chǎng)組合
資本市場(chǎng)線與有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合邊界的切點(diǎn)M所代表的資產(chǎn)組合就是有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合。市場(chǎng)組合包含所有市場(chǎng)上存在的資產(chǎn)種類，以及各種資產(chǎn)所占的比例和每種
資產(chǎn)的總市值占市場(chǎng)所有資產(chǎn)總市值的比例相同。有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合就是指從市場(chǎng)組
合中剔除無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券后的組合。
首先，任何市場(chǎng)上存在的資產(chǎn)須被包括在M所代表的資產(chǎn)組合里。因?yàn)椋硇缘耐顿Y者都會(huì)選擇資本市場(chǎng)線上的點(diǎn)作為自己的投資組合，不被M所包含的資產(chǎn)就會(huì)變得無(wú)人問(wèn)津，其價(jià)格自然會(huì)下跌，從而收益率會(huì)上升，直到進(jìn)入M所代表的資產(chǎn)組合。
其次，當(dāng)市場(chǎng)均衡時(shí)，對(duì)任何一種資產(chǎn)都不會(huì)有過(guò)度的需求和過(guò)度的供給。因?yàn)椋?/span>
