BSM模型

Black—Scholes 模型

波動率

某變量在單位時間內連續復利收益率的標準差σ被定義為這一變量的波動率期權。當波動率

被用于期權定價時時間單位通常定義為一年，因此波動率就是一年的連續復利收益率的標準

差；但當波動率被用于風險控制時，時間單位通常是一天，此時的波動率對應于沒天的連續

復利收益率的標準差。

一般來講，σT等于變量ln為市場變量在時間T的價格，S是此市場

√

(

S

T

)

的標準差這里的S

T0

0

S

變量的當前價格，表達式ln

(

S

T

)

等于變量在時間T的連續復利收益率（這里的收益并不對應

0

S

于單位時間收益）。當σ對應于每天的波動率，T就應該以天來計算；當σ對應于每年的波動

率，T就應以年來計量。

當所考慮的時間展望期較為短暫時，以標準差計量的將來股票價格的不確定性與我們展望期

限的平方根成正比。例如，股票價格4周變化的標準差近似等于每周變化的標準差的兩倍，

這一結論也就是著名的格言“不確定性與時間的平方根成正比”。

在計算波動率時，會產生以下問題，我們應該采用日歷天數還是交易天數。研究人員已經證

明在交易開盤交易時的波動率比交易所關閉時的波動率要大很多，因此，當有歷史數據估計

波動率時，分析員常常忽略交易所關閉的天數，在計算時通常假定每年有252個交易日。

假設σ為某一資產的年波動率，σ為相應的日波動率，連續復利收益率的標準差分別為σ和

ydy

σ252，即

d

√

σ=σ

yd

√252

或

σ=

d

以上關系式說明，日波動率大約為年波動率的6%。

隱含波動率

期權公式中唯一不能直接就是股票價格的波動率，隱含波動率是交易員從期權價格中計算出

的隱含的波動率。

為了解釋如何計算隱含波動率，我們假設某股票價格為21美元，期權行使價格為20美元，

無風險利率為10%，期權期限為3個月，期權類型為歐式看漲期權，標的資產不支付任何股

息，期權的市場價值為1.875美元，隱含波動率是對應于c=1.875時，Black-Scholes公式中σ

的取值。不幸的是，我們不能 直接反解Black-Scholes公式并將波動率表示為期權價格以及

其他變量的函數，但是我們可以用迭代的方式來丘吉爾隱含波動率。例如，開始時令σ=0.20，

√

252

σ

y

對應這一波動率，期權價格為1.76美元，這一價格比市價1.875美元要小，由于期權價格

為σ的遞增函數，令σ=0.30，對應的期權價格為2.10美元，此值高于市價，這意味著σ一定

介于0.2~0.3之間；接下來，令σ=0.25，此值對應的期權價格也偏高，所以σ應該在0.20~0.25

之間，這樣繼續下去，每次迭代我們可以使得σ所在的區間減半因此可以計算出滿足任意精

度的σ的近似值。在本例中，隱含波動率σ=0.235，既每年23.5%。

隱含波動率被廣泛應用于交易之中，但在風險管理領域，基于歷史數據的波動率更為流行。

采用歷史數據來估算波動率

根據歷史數據估計變量的波動率時，觀察時間的間隔通常為某一固定時間區間（如1天、一

周或1個月）。定義

n+1:觀察次數

S

i

:第i個時間段結束時變量的價格，i=0，1，…，n

τ：單位時間間隔的長度

令

S

i

u=ln?()

i

S

i?1

式中，i=1,2，…，n。

u

i

的標準差的估計式s為

1

s=∑u?u?

√

()

i

2

n?1

i=1

n

或

11

s=∑u?(∑u)

√

2

i

i

n?1n(n?1)

i=1i=1

nn

2

式中，u?為u的均值。

i

如前所述，u的標準差為στ，其中σ為變量的波動率。因此變量s是στ的估計值，σ近似

i

√√

為σ?，其中

s

?=σ

√

τ

以上估計式的標準差為σ?2n。當τ以年為計量單位時，計算出的波動率對應于年變化率；

?

√

當τ以天為計量單位時，計算出的波動率對應于日變化率。

信用風險來源于貸款的借貸方、債券發行人及衍生產品的交易對手的違約可能性。

期望收益率

股票的期望收益率μ取決于股票的風險。風險越大，股票的期望收益率越高。同時，股票的

期望收益率還取決與利率水平，它與利率水平同方向變動。然而，我們不需要關心有哪些因

素決定μ的大小，可以證明，用標的股票價格來表示股票的價值時，股票期權的價值與μ

完全無關，但是有一個關于股票期望收益率的問題很容易引起誤解，在此簡單解釋一下。

Black-Scholes模型的潛在假設是，在不支付股利的條件下，短期股票價格變動的百分比大致

服從正態分布，在連續的幾個短期內股價變動之間是相互獨立的，股價變動百分比就是股價

的收益率，而在連續時期內變動隨機且相互獨立的變量被稱為服從隨機游走。因此這以假設

可以表述為股票價格收益率服從隨機游走。定義：

μ：股票的年預期收益率

σ：股票價格的年波動率

在時間段?t內股票價格變動百分比的平均值為μ?t，股價變動百分比的標準差為σ?t。因此，

√

Black-scholes模型的潛在假設可以表示為：

?S

S

~?(μ?t，σ?t) (1)

√

其中，?S是時間段?t內股票價格S的變動，?(μ?t，σ?t)定義了一個均值為m標準差為s

√

的正態分布。

對數正態分布

(1)式的假設表明在未來任意時刻的股票價格都服從對數正態分布。對數正態分布與一般的

正態有很多不同之處，正態分布的變量可以取任意正值和任意負值，而對數正態分布的變量

只能取正的值。正態分布是對稱的；而對數正態分布則是不對稱的，它的均值、中位數和眾

數均不相同。

若一個變量服從對數正態分布，換而言之就是對這個變量取自然對數后的新變量服從正態分

布。所以，根據Black-Scholes模型對股票價格的潛在假設，lnS服從正態分布，其中，S是

TT

未來時刻T的股票價格。lnS的均值和標準差分別可以表示為：

T

lnS+?T 和 σT

0

(μ)

σ

2

2

√

其中S是股票價格。因此可將股票收益率的分布表示為：

0

lnS~?[lnS+?T，σT] (2)

T0

(μ)

σ

2

2

√

ES=Se

()

T0

μt

那么S的均值和方差分別可以表示為

T

2

2μtσT

varS=Se(e?1)

()

T

0

根據式(2)和正態分布的性質可以得到

σ

2

lnS?lnS~?[(μ?)T，σ√T]

T0

2

2

即

ln~?[(μ?T，σT] (3)

S2

T

0

Sσ

2

)

√

當T=1時，表達式ln?(S

T0

?

S)是股票按連續復利計的年收益率，因此，按連續復利計的年收

益率的均值和標準差分別為μ??σ^2/2和σ。

式(1)表明μ?t是在一段非常段得時間內的股票價格的。。期望變動百分比。這樣，很容易假

設μ是按連續復利計的股票預期收益率。而事實并不是這樣，我們定義R為在長為T年的期

限內真正實現的按連續復利計的收益率，即

S=Se

T0

RT

因此

R=ln

1S

T

TS

0

等式(3)表明R的期望值為E(R)=?μ??σ^2/2

引起按連續復利計的期望收益率與μ之間的原因是很微小的，但卻十分重要，假設我們考慮

一系列非常短的、長度為?t的時間段，定義S為第i段時間段末的股票價格，定義?S為S

iii?1

?

S

i

。在模型對股票價格作出的假設下，每個時間間隔的股票收益率的平均值將接近于μ。這

就意味著，?S

ii

?

S的算術平均值近似為μ?t。而在整個數據期間內，按期限?t計復利的期望

收益率為μ??σ^2/2，并非是μ。

它的數學證明也很簡單，首先我們對等式

ES=Se

()

T0

μT

取對數可得

lnES=lnS+μT

[

()]()

T0

令

lnES=ElnS

[[

()]()]

TT

所以

ElnS?lnS=μT

[

()]()

T0

即

ElnSS=μT

[

(?)]

T0

進而推出

ER=μ

()

但是，不能這樣簡單的推導，因為自然對數函數ln是一個非線性函數。實際上，

lnES>ElnS

[[

()]()]

TT

所以有

ElnSS<μT

[

(?)]

T0

即

ER<μ

()

如前所述E(R)=?μ??σ^2/2。這一現象源于數學家們所熟悉的一個結論，一組不完全相等的

數值的幾何平均值總是低于其算術平均值。

信用評級

穆迪及標準普普爾等評級公司專門從事信用評級業務，這些公司對企業債券提供信用評級。

在穆迪的系統中，信用的最佳級別為Aaa，具有這種級別的債券幾乎沒有違約的可能。接下

來的一個次好級別為Aa，在網下由好到壞信用級別的排序為A，Baa，Ba，B及Caa。高于

Baa的債券被稱為投資級別債券。標準普爾與穆迪Aaa，Aa，A，Baa，Ba，B及Caa相對應

的信用級別分別是AAA，AA，A，BBB，BB，B，CCC。為了產生更細的信用等級，穆迪將等

級分為Aa1，Aa2及Aa3，并又將A等級分為A1，A2及A3等；類似地，標準普爾將AA級

分為AA+，AA及AA-，并將A等級分為A+，A及A-，等等（穆迪對Aaa及標準普爾對AAA

級沒有在細分）。

信用級別反映了有關違約概率的信息，所以人們往往可能認為公司信用級別會經常隨好消息

或換消息到達市場時而被調整。