2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三(上

2023年12月31日發(fā)(作者：人物傳記推薦)

2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。）

1．已知命題：?x∈Z，|x|∈N，則該命題的否定是（ ）

A．?x∈Z，|x|?N B．?x∈Z，|x|∈N C．?x∈Z，|x|?N D．?x?Z，|x|?N

2．已知集合??={??|??=√??????0.5(4???3)}，??={??|3??2?8??+4≤0}，則A∩B＝（ ）

A．(，2]

34B．[，2]

23C．[，1]

23D．(，1]

343．下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是（ ）

A．y＝cos|x|

C．y＝|cosx|

→→B．??=??????2

??

??D．??=??????(4??+2)

→→→→→→4．已知△ABC的外接圓圓心為O，且????+????+2????=0，|????|=|????|，則向量????在向量????上的投影向量為（ ）

1→A．?????

4B．????

41→C．?√3→4????

√3→D．????

45．（多選）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），則下述正確的是（ ）

A．g（x）為奇函數(shù) B．g（x）為偶函數(shù)

D．h（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)

2????，D點(diǎn)為AC上一點(diǎn)且∠??????=，????=32C．h（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)

6．在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠??????=3，則a+2c的最小值為（ ）

A．2√3 B．9√3 C．6√3 D．√3

7．已知a＝e﹣2，b＝1﹣ln2，c＝ee﹣e2，則（ ）

A．c＞b＞a

??B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b

13+3，??≤18．已知函數(shù)??(??)={3，則函數(shù)??(??)=??[??(??)]?3??(??)?2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）

|??????3(???1)|，??＞1B．5 C．4 D．3 A．6

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）

第1頁(yè)（共18頁(yè)）

9．已知a，b∈R，則使“a+b＞1”成立的一個(gè)必要不充分條件是（ ）

A．a(chǎn)2+b2＞1 B．|a|+|b|＞1 C．2a+2b＞1 D．+??4??+1??＞10

10．水車(chē)是我國(guó)勞動(dòng)人民創(chuàng)造發(fā)明的一種灌溉工具，作為中國(guó)農(nóng)耕文化的組成部分，充分體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，見(jiàn)證了中國(guó)農(nóng)業(yè)文明．水車(chē)的外形酷似車(chē)輪，在輪的邊緣裝有若干個(gè)水斗，借助水勢(shì)的運(yùn)動(dòng)慣性沖動(dòng)水車(chē)緩緩旋轉(zhuǎn)，將水斗內(nèi)的水逐級(jí)提升．如圖，某水車(chē)輪的半徑為6米，圓心距水面的高度為4米，水車(chē)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)2圈，當(dāng)其中的一個(gè)水斗A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)水車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)t（分鐘）時(shí)水斗A距離水面的高度（水面以上為正，水面以下為負(fù)）為f（t）（米），下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A．f（t）＝6cos4πt+4（t≥0）

??

12B．??(??)=6??????(????+2)+4(??≥0)

C．若水車(chē)的轉(zhuǎn)速減半，則其周期變?yōu)樵瓉?lái)的

D．在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，水斗A距離水面高度不低于7米的時(shí)間為10秒

11．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前和項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，且滿(mǎn)足條件a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A．0＜q＜1

B．S2022+1＜S2023

D．T4043＞1 C．T2022是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)

2??112．已知函數(shù)??(??)=??+1，令??1=2，????+1=??(????)，則下列正確的選項(xiàng)為（ ）

A．?dāng)?shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為????=B．??1+??2+?+????＜3???6

2122???1???1+1，??∈???

C．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣6，則f（a1）+f（a2）+?+f（a6）＝12

D．??1???2???3???????+1＞2??

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

第2頁(yè)（共18頁(yè)）

1

13．已知??+??=→??，??，??均為銳角，則（1+tanα）（1+tanβ）＝ ．

4→→→→→14．已知向量??，??不共線(xiàn)，且向量????+??與??+(2???1)??的方向相反，則實(shí)數(shù)λ的值為 ．

15．若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列{an}滿(mǎn)足：ai＝an+1﹣i（i＝1，2，3?n）我們稱(chēng)其為n項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{cn}為2k﹣1（k≥2）項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中c1，c2，c3，…，ck是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)等于8．記數(shù)列{cn}的前2k﹣1項(xiàng)和為S2k﹣1，若S2k﹣1＝32，則k＝ ．

16．若不等式sinx﹣ln（x+1）+ex≥1+x+ax2?x3恒成立，則a的取值范圍為 ．

四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）

17．（10分）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S50．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足???????????√3??????????=???2??．

（1）求角A；

1→（2）已知AB＝2，AC＝6，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線(xiàn)段AC上且|????|=|????|，點(diǎn)P為AM與BN3→13的交點(diǎn)，求∠MPN的余弦值．

19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，AB⊥AC，∠A1AB＝∠A1AC，D是棱B1C1的中點(diǎn)．

（1）證明：BC⊥平面A1AD；

（2）若三棱錐B1﹣A1BD的體積為98√2，求平面A1BD與平面CBB1C1的夾角θ．

第3頁(yè)（共18頁(yè)）

20．（12分）在一次數(shù)學(xué)隨堂小測(cè)驗(yàn)中，有單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩種．單項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)正確，選擇正確得5分，選擇錯(cuò)誤得0分；多項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選擇錯(cuò)誤的得0分．

（1）小明同學(xué)在這次測(cè)驗(yàn)中，如果不知道單項(xiàng)選擇題的答案就隨機(jī)猜測(cè)．已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測(cè)的概率都是．問(wèn)小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對(duì)的條件下，求他知道21這道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率；

（2）小明同學(xué)在做多選題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概5522率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根51據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

21．（12分）設(shè)點(diǎn)P為圓C：x+y＝4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足2????=√3????（點(diǎn)P、Q不重合）

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；

（2）若過(guò)點(diǎn)T（4，0）的動(dòng)直線(xiàn)與軌跡E交于A、B兩點(diǎn)，定點(diǎn)N為(1，)，直線(xiàn)NA的斜率為k1，直線(xiàn)NB的斜率為k2，試判斷k1+k2是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝asin（1﹣x）+lnx，a∈R．

（1）討論函數(shù)f（x）在x∈（0，1）上的單調(diào)性；

（2）證明：??????

1111111+??????+??????+?+??????＜????2+(+)．

22222??+1??234(1+??)3222→→

第4頁(yè)（共18頁(yè)）

2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。）

1．已知命題：?x∈Z，|x|∈N，則該命題的否定是（ ）

A．?x∈Z，|x|?N B．?x∈Z，|x|∈N C．?x∈Z，|x|?N D．?x?Z，|x|?N

解：根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題知，

命題：?x∈Z，|x|∈N，則該命題的否定是：?x∈Z，|x|?N．

故選：C．

2．已知集合??={??|??=√??????0.5(4???3)}，??={??|3??2?8??+4≤0}，則A∩B＝（ ）

A．(，2]

34B．[，2]

3423C．[，1]

23D．(，1]

2334解：??={??|0＜4???3≤1}={??|＜??≤1}，??={??|(3???2)(???2)≤0}={??|≤??≤2}，

∴??∩??=(4，1]．

故選：D．

3．下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是（ ）

A．y＝cos|x|

C．y＝|cosx|

B．??=??????2

??3

??2D．??=??????(4??+)

解：由于y＝cos|x|＝cosx是偶函數(shù)，且它的周期為2π，故A不滿(mǎn)足條件；

由于y＝tan是奇函數(shù)，故B不滿(mǎn)足條件；

2??由于y＝|cosx|是偶函數(shù)，且它的周期為×2π＝π，故C滿(mǎn)足條件；

21由于y＝sin（4x+2）＝cos4x是偶函數(shù)，且它的周期為故選：C．

??2??4=??2，故D不滿(mǎn)足條件，

4．已知△ABC的外接圓圓心為O，且????+????+2????=0，|????|=|????|，則向量????在向量????上的投影向量為（ ）

1→A．?4????

→→→→→→→→B．????

4→→1→C．?4????

→→√3→√3→D．????

4解：∵△ABC的外接圓圓心為O，且????+????+2????=0，

第5頁(yè)（共18頁(yè)）

∴△ABC為直角三角形，∠ABC=3，向量????在向量????上的投影向量為?4????，

故選：A．

5．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），則下述正確的是（ ）

A．g（x）為奇函數(shù) B．g（x）為偶函數(shù)

D．h（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)

??→→1→C．h（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)

解：因?yàn)間（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），

所以g（﹣x）＝f（2+x）﹣f（2﹣x）＝﹣g（x），即g（x）為奇函數(shù)，A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閔（x）＝f（2﹣x）+f（x），

所以h（2﹣x）＝f（x）+f（2﹣x）＝h（x），即h（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，C正確，D錯(cuò)誤．

故選：AC．

6．在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠??????=3，則a+2c的最小值為（ ）

A．2√3 B．9√3 C．6√3 D．√3

2????，D點(diǎn)為AC上一點(diǎn)且∠??????=，????=32解：在△ABC中，設(shè)∠A＝α，由于∠ABC=因?yàn)椤螪BC=2，故∠DBA=6，

在△ABD中，由正弦定理得????62??????，則0＜α＜，∠C=?α，

333??????????????∠??????=????????????，

3??????(5??6???)∴=，即c=，

5????????????????????????(???)33??????(??6+??)在△CBD中，由正弦定理得=，∴=，即a=，

??????????(?????)??????∠????????????????????(+??)??????(???)3????????????6333??????(???)3√3(+??????2??)3√3(??????2??+√3????????????????)3??????(??6226+??)∴a+2c=+ 2?=== 3√3+??1???????2??√3??????(3???)????????√3???????????????????????2????????2???225??1+??????2??√3??13√3????5????，因?yàn)?＜α＜，所以＜2α+＜，則＜sin（2α+）≤1，

??1366662??????(2??+6)?2故當(dāng)sin（2α+）＝1，即α=時(shí)，3√3+即a+2c的最小值為9√3．

故選：B．

??6??63√33√3取到最小值33+√11=9√3．

??????(2??+??)?1?6227．已知a＝e﹣2，b＝1﹣ln2，c＝ee﹣e2，則（ ）

A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b

第6頁(yè)（共18頁(yè)）

D．c＞a＞b

令f（x）＝lnx﹣x，x＞1，則??′(??)=1???1＜0，于是f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以f（e）＜f（2），即lne﹣e＜ln2﹣2，即e﹣2＞1﹣ln2，故a＞b；

令g（x）＝ex﹣x，x＞1，則g′（x）＝ex﹣1＞0，于是g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以g（e）＞g（2），即ee﹣e＞e2﹣2，即ee﹣e2＞e﹣2，故c＞a；

綜上c＞a＞b．

故選：D．

3??+38．已知函數(shù)??(??)={3，??≤1，則函數(shù)??(??)=??[??(??)]?3??(??)?1|??????，??＞12的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（3(???1)|A．6 B．5 C．4 D．3

解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，

當(dāng)y＝0時(shí)，f（x）＝y(tǒng)只有一個(gè)根，

當(dāng)0＜y≤1時(shí)，f（x）＝y(tǒng)有二個(gè)根，

當(dāng)1＜y≤2時(shí)，f（x）＝y(tǒng)有三個(gè)根，

當(dāng)y＞2時(shí)，f（x）＝y(tǒng)有二個(gè)根，

令t＝f（x），F(xiàn)（t）＝f（t）﹣3t?12的零點(diǎn)即為f（t）＝3t+12的根，

第7頁(yè)（共18頁(yè)）

）

作出兩函數(shù)y＝f（t）與y＝3t+可知兩函數(shù)有兩交點(diǎn)t1，t2，且0＜t1＜1，1＜t2＜2，

所以函數(shù)??(??)=??[??(??)]?3??(??)?2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5個(gè)．

故選：B．

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）

9．已知a，b∈R，則使“a+b＞1”成立的一個(gè)必要不充分條件是（ ）

A．a(chǎn)2+b2＞1 B．|a|+|b|＞1 C．2a+2b＞1 D．+??4??+1??112＞10

解：對(duì)于A，當(dāng)a＝b＝﹣1時(shí)，滿(mǎn)足a2+b2＞1，不滿(mǎn)足a+b＞1，

即a2+b2＞1推不出a+b＞1，不充分；

當(dāng)a=2，??=4時(shí)，滿(mǎn)足a+b＞1，不滿(mǎn)足a2+b2＞1，

即a+b＞0，推不出a2+b2＞1，不必要，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)a＝b＝﹣1時(shí)，滿(mǎn)足|a|+|b|＞1，不滿(mǎn)足a+b＞1，即|a|+|b|＞1推不出ab＞1，不充分；

當(dāng)a+b＞1時(shí)，平方得a2+2ab+b2＞1，

又（|a|+|b|）2＝|a|2+2|ab|+|b|2≥a2+2ab+b2＞1，

又|a|+|b|＞0，∴|a|+|b|＞1，

∴a+b＞1能推出|a|+|b|＞1，是必要條件，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，滿(mǎn)足2a+2b＞1，不滿(mǎn)足a+b＞1，即2a+2b＞1推不出a+b＞1，不充分，

當(dāng)a+b＞1時(shí)，由2a＞0，2b＞0，2a+2b≥2√2???2??=2√2??+??＞2√2＞1，

∴a+b＞1，能推出2a+2b＞1，是必要條件，故C正確；

對(duì)于D，當(dāng)a＝b=時(shí)，滿(mǎn)足+??124??+1??13＞10，不滿(mǎn)足a+b＞1，

即+??4??+1??＞10推不出a+b＞1，不充分；

4??+1??當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，滿(mǎn)足a+b＞1，不滿(mǎn)足+??＞10，

即a+b＞1推不出+??4??+1??＞10，不必要，故D錯(cuò)誤．

故選：BC．

10．水車(chē)是我國(guó)勞動(dòng)人民創(chuàng)造發(fā)明的一種灌溉工具，作為中國(guó)農(nóng)耕文化的組成部分，充分體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，見(jiàn)證了中國(guó)農(nóng)業(yè)文明．水車(chē)的外形酷似車(chē)輪，在輪的邊緣裝有若干個(gè)水斗，借助水勢(shì)的運(yùn)動(dòng)慣性沖動(dòng)水車(chē)緩緩旋轉(zhuǎn)，將水斗內(nèi)的水逐級(jí)提升．如圖，某水車(chē)輪的半徑為6米，圓心距水面的高度為4米，水車(chē)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)2圈，當(dāng)其中的一個(gè)水斗A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)第8頁(yè)（共18頁(yè)）

水車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)t（分鐘）時(shí)水斗A距離水面的高度（水面以上為正，水面以下為負(fù)）為f（t）（米），下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A．f（t）＝6cos4πt+4（t≥0）

??2

12B．??(??)=6??????(????+)+4(??≥0)

C．若水車(chē)的轉(zhuǎn)速減半，則其周期變?yōu)樵瓉?lái)的

D．在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，水斗A距離水面高度不低于7米的時(shí)間為10秒

解：由題意，設(shè)f（t）＝6sin（ωt+φ）+B，所以6+B＝10，解得B＝4，T=??=2，解得ω＝4π，

t＝0時(shí)，f（0）＝6sinφ+4＝10，解得sinφ＝1，所以φ=，

所以f（t）＝6sin（4πt+2）+4＝6cos4πt+4，其中t≥0，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

若水車(chē)的轉(zhuǎn)速減半，則其周期變大，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

令f（t）≥7，得6cos4πt+4≥7，t∈[0，]，解得cos4πt≥，

2112????22??1即0≤4πt≤3或??5??3≤4πt≤2π，解得t∈[0，112]∪[512，]，

211所以在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，水斗A距離水面高度不低于7米的時(shí)間為故選：AD．

12×2×60＝10秒，選項(xiàng)D正確．

11．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前和項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，且滿(mǎn)足條件a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A．0＜q＜1

B．S2022+1＜S2023

D．T4043＞1 C．T2022是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)

解：由于等比數(shù)列{an}的公比為q，其前和項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，

若a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，

則數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正值，且（a1q20121）（a1q2022）＝（a1）2（q4043）＞1，

故有a2022＞1，0＜a2023＜1，則0＜q＜1，故A正確，等比數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減數(shù)列；

第9頁(yè)（共18頁(yè)）

由于S2022+1＞S2020+a2023＝S2023，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)a1＞a2＞…＞a2021＞1＞a2022＞1＞a2023…＞0，可知T2022是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)，故C正確；

2由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a4043＝a2a4042＝…＝a2021a2023=??2022，

所以T4043＝a1a2…a4043=??20224043＞1，故D正確，

故選：ACD．

12．已知函數(shù)??(??)=2??1，令??1=，????+1=??(????)，則下列正確的選項(xiàng)為（ ）

??+1222???1???1A．?dāng)?shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為????=B．??1+??2+?+????＜???

2316+1，??∈???

C．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣6，則f（a1）+f（a2）+?+f（a6）＝12

D．??1???2???3???????+1＞2??

1??解：函數(shù)??(??)=??+1，令??1=2，????+1=??(????)=??+1，可得=+，即?1=(???????+122????????+12????2??12??111111???11)，所以{1?????1}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以222???111?????1=()21???12，所以xn=，

1=1+???11+2???121數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為????=1???1+1，??∈???．所以A正確；

211當(dāng)n＝1時(shí)，x1=2，選項(xiàng)B，??1+??2+?+????＜3???6，可得x1＜2，與已知條件矛盾，故B不正確；

數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣6，可得a1+a6＝﹣2，a1＝﹣2﹣a6，a2＝﹣2﹣a5，a3＝﹣2﹣a4，

函數(shù)??(??)=??+1，可得f（﹣x﹣2）+??(??)=??+1+????2+1=??+1+??+1=4，

則f（a1）+f（a2）+?+f（a6）＝12，正確；

要證明??1???2???3?????+1＞2??，只需要證明即證明(1+即(1+11??1??2???????+12??2??1(????2)2??2(??+2)＜2??，

1111111)(1+)???(1+)＜2??，也就是(1+)(1+)???(1+)＜??，

??012220212??22111111)(1+)???(1+)＜??，即證明ln[(1+)(1+)???(1+????)]＜1．

111111??，可得????(1+??)＜??，所以ln[(1+1)(1+2)???(1+??)]＝ln（1+2）222222因?yàn)閘n（x+1）＜x，令??=112(1?2??)111111+ln（1+2）+?+ln（1+??）＜2+2+???+??==1???＜1．所以D正確．

12221?222故選：ACD．

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

第10頁(yè)（共18頁(yè)）

13．已知??+??=??，??，??均為銳角，則（1+tanα）（1+tanβ）＝ 2 ．

4??解：∵??+??=4，??，??均為銳角，

∴tan（α+β）=????????+????????=1，

1?????????????????∴tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，

∴tanα+tanβ+tanαtanβ＝1，

∴（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝1+1＝2．

故答案為：2．

14．已知向量??，??不共線(xiàn)，且向量????+??與??+(2???1)??的方向相反，則實(shí)數(shù)λ的值為 ?2 ．

解：設(shè)????+??=μ[??+(2???1)??]=????+??(2???1)??，

因?yàn)??，??不共線(xiàn)，故λ＝μ，1＝μ（2λ﹣1），聯(lián)立解得λ＝1（舍），或?2，易知??=?2時(shí)符合題意．

故答案為：?．

15．若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列{an}滿(mǎn)足：ai＝an+1﹣i（i＝1，2，3?n）我們稱(chēng)其為n項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{cn}為2k﹣1（k≥2）項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中c1，c2，c3，…，ck是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)等于8．記數(shù)列{cn}的前2k﹣1項(xiàng)和為S2k﹣1，若S2k﹣1＝32，則k＝ 4或5 ．

解：由題意知，ck＝8，

所以c1，c2，c3，?，ck是以8為末項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

由ck＝c1+（k﹣1）×2＝8，得c1＝10﹣2k，

所以c1+c2+c3+?+ck=因?yàn)镾2k﹣1＝32，

所以S2k﹣1＝c1+c2+c3+?+ck+…+c2k﹣1＝2（c1+c2+c3+?+ck）﹣ck＝2k（9﹣k）﹣8＝32，即k2﹣9k+20＝0，

解得k＝4或5．

故答案為：4或5．

16．若不等式sinx﹣ln（x+1）+ex≥1+x+ax2?3x3恒成立，則a的取值范圍為 （﹣∞，1] ．

解：原不等式可轉(zhuǎn)化為?????????????(??+1)+?????1????????2+3??3≥0，

設(shè)??(??)=?????????????(??+1)+?????1????????2+3??3，x＞﹣1，則??′(??)=???????????+1+?????1?2????+??2，

第11頁(yè)（共18頁(yè)）

→→→→→→1→→→→→→→→1112(??1+????)???=k（9﹣k），

21111

??″(??)=?????????+??(4)(??)=????????+16(??+1)4??2+???2??+2??，??″′(??)=??????????2(??+1)3+????+2，

(??+1)+????，

（x）＞0，由f″′（0）＝0，當(dāng)f′″（x）單調(diào)遞增， 顯然，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f（4）當(dāng)x∈（﹣1，0），f″′（x）＜0，f″（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f″′（x）＞0，f″（x）單調(diào)遞增，

由f″（0）＝2﹣2a，分類(lèi)討論，

①2﹣2a≥0，即a≤1時(shí)，f″（0）≥0，即有x∈（﹣1，+∞），f″（x）≥0，此時(shí)，f′（x）單調(diào)遞增，

又f′（0）＝0，故x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（0）＝0，所以f（x）≥0恒成立，滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)2﹣2a＜0時(shí)，即a＞1時(shí)，f″（0）＜0，x→+∞，f″（x）→+∞，

故存在x0＞0，且f″（x0）＝0，當(dāng)x∈（﹣1，x0），f″（x）＜0，f′（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞），f″（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

又f′（0）＝0，故f′（x0）＜0，當(dāng)x→+∞，f′（x）→+∞，故存在x1＞x0，且f′（x1）＝0，

所以，當(dāng)x∈（﹣1，x1），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

由f（0）＝0，所以f（x）＜f（0）＝0，與f（x）≥0恒成立，矛盾，

綜上所述，當(dāng)a≤1時(shí)，滿(mǎn)足題意，

所以a的取值范圍為（﹣∞，1]，

故答案為：（﹣∞，1]．

四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）

17．（10分）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S50．

解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

∵a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，

∴a2＝2log2b2＝2log24＝4，a1＝2log2b1＝2，即log2b1＝1，解得b1＝2，

∴公差d＝a2﹣a1＝4﹣2＝2，

公比q=??2=2=2，

1第12頁(yè)（共18頁(yè)）

??4

∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，bn＝2?2n1＝2n，n∈N*．

﹣（2）由（1），可得????=2??=2?2???1=??2???1，故bn是數(shù)列{an}中的第2n設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Pn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Qn，

∵b6=??26?1=a32，b7=??27?1=a64，

﹣1項(xiàng)，

∴數(shù)列{cn}的前50項(xiàng)是由數(shù)列{an}的前56項(xiàng)去掉數(shù)列{bn}的前6項(xiàng)后構(gòu)成的，

故??50(2+112)×562(1?2)=??56???6=?=3066．

21?2618．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足???????????√3??????????=???2??．

（1）求角A；

1→（2）已知AB＝2，AC＝6，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線(xiàn)段AC上且|????|=3|????|，點(diǎn)P為AM與BN→的交點(diǎn)，求∠MPN的余弦值．

解：（1）∵???????????√3???????????=???2??，?????????????????√3????????????????=?????????2????????=??????(??+??)?2????????，

化簡(jiǎn)得：2????????=????????????????+√3????????????????，2=????????+√3????????=2??????(??+6)，

求得??????(??+6)=1，∴??+6=2，即??=3．

（2）∵M(jìn)點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，

→1→∴????=(????+????)，

2→→→1∵|????|=3|????|，????=?????????，

→??????????∴????=?????????，

→→1→1→1→1→21→1→2∴?????????=(2????+2????)(3?????????)=?2?????3?????????+6????=2，

→→→1→2∵|????|=（????+????）＝13，∴|????|=√13，

4→→→13→→2∵|????|＝（?????????）2＝4，∴|????|＝2，

3→21→→→∴cos＜????，????＞=即∠MPN的余弦值為→→√132=13．

√13×2√13．

13第13頁(yè)（共18頁(yè)）

19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，AB⊥AC，∠A1AB＝∠A1AC，D是棱B1C1的中點(diǎn)．

（1）證明：BC⊥平面A1AD；

（2）若三棱錐B1﹣A1BD的體積為98√2，求平面A1BD與平面CBB1C1的夾角θ．

（1）證明：（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，A1O，A1C，

因?yàn)锳B＝AC，所以AO⊥BC，

因?yàn)椤螦1AB＝∠A1AC，AB＝AC，AA1＝AA1，所以△A1AB＝△A1AC，

所以A1B＝A1C，所以A1O⊥BC，

因?yàn)锳O∩A1O＝O，AO，A1O?平面A1AOD，

所以BC⊥平面A1AOD，即BC⊥平面A1AD．

（2）解：連接OD，

由（1）知，BC⊥平面AA1DO，因?yàn)锽C?平面ABC，且BC?平面BCC1B1，

第14頁(yè)（共18頁(yè)）

故平面AA1DO⊥平面ABC，平面AA1DO⊥平面BCC1B1，

過(guò)O作OM⊥A1D于M，則OM⊥平面ABC，過(guò)A1作A1H⊥OD于H，則A1H⊥平面BCC1B1，

因?yàn)镈O∥BB1∥AA1知，DO⊥BC，

在△ABC中，????=????=??1??=3，????=3√2，

所以??△??????1=2????1?????=4√2，

由等體積法，????1???1????=????1???????1=3??△??????1???1??=8√2，

所以??1??=，

過(guò)H做HE⊥BD，連接A1E，

因?yàn)锳1H⊥面 BCC1B1，BD?平面 BCC1B1，所以AlH⊥DB，

又因?yàn)锳1H∩HE＝H，AlH，HE?平面A1HE，所以DB⊥平面AlHE，

又A1E?平面A1HE，所以A1E⊥BD，

所以∠A1EH 即為所求二面角的平面角，

在Rt△A1DH中，??1??=2，??1??=2，則????=2，

在Rt△DOB中，????=3，????=2，????=2，

由Rt△DEH 與Rt△DOB相似可得：????????3√23√633√23321919=????????，所以????=√3，

2則??1??=√??1??2+????2=√3，所以??????∠??1????=即平面A1BD與平面CBB1C1的夾角為．

3??????1??=，所以∠??1????=，

??1??2320．（12分）在一次數(shù)學(xué)隨堂小測(cè)驗(yàn)中，有單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩種．單項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)正確，選擇正確得5分，選擇錯(cuò)誤得0分；多項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選擇錯(cuò)誤的得0分．

（1）小明同學(xué)在這次測(cè)驗(yàn)中，如果不知道單項(xiàng)選擇題的答案就隨機(jī)猜測(cè)．已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測(cè)的概率都是．問(wèn)小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對(duì)的條件下，求他知道21這道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率；

（2）小明同學(xué)在做多選題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概5522率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根51據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解析：（1）設(shè)事件A為“題回答正確”，事件B為“知道正確答案”，

第15頁(yè)（共18頁(yè)）

則??(??)=??(??)??(??|??)+??(??)??(??|??)=2×1+2×4=8，

1??(????)??(??)??(??|??)2×14所以??(??|??)=??(??)==5=5．

??(??)81115（2）設(shè)事件Ai表示小明選擇了i個(gè)選項(xiàng)，事件C表示選擇的選項(xiàng)是正確的，

232??1則??(??=2)=??(??1??)+??(??2??)=5×4+5×32=2，

??42??(??=5)=??(??3??)=5×1113=20，

??49，

20??(??=0)=1???(??=2)???(??=5)=隨機(jī)變量X的分布列如下：

X

P

110

92

5125

120

20

∴??(??)=2×2+20×5=4．

21．（12分）設(shè)點(diǎn)P為圓C：x2+y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足2????=√3????（點(diǎn)P、Q不重合）

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；

（2）若過(guò)點(diǎn)T（4，0）的動(dòng)直線(xiàn)與軌跡E交于A、B兩點(diǎn)，定點(diǎn)N為(1，2)，直線(xiàn)NA的斜率為k1，直線(xiàn)NB的斜率為k2，試判斷k1+k2是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）設(shè)點(diǎn)P為（x0，y0），動(dòng)點(diǎn)M為（x，y），則Q點(diǎn)為（x0，0），

????=(??0???，???)，????=(0，???0)，且點(diǎn)M滿(mǎn)足2????=√3????，

所以2（x0﹣x，﹣y）=√3（0，﹣y0），

??0=??2??0?2??=0所以{，解得{??=2??，

0?2??=?√3??0√3又因?yàn)??0+??022→→→→→→3??2??242=4，所以x+3y＝4，即點(diǎn)M的軌跡方程為：+=1(??≠0)．

432（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：x＝my+4，

??=????+4則{??2??2，消去x，整理得（3m2+4）y2+24my+36＝0，

+3=14因?yàn)棣ぃ剑?4m）2﹣4×36（3m2+4）＞0，解得m＞2或m＜﹣2；

設(shè)A點(diǎn)（x1，y1），B點(diǎn)（x2，y2），則??1+??2=?24??36，??1???2=；

23??+43??2+4第16頁(yè)（共18頁(yè)）

所以????1??2=?(??1+??2)，

所以??1?3??2?32????1??2+(3?3?3222??)(??1+??2)?92??(??1+??2)?9??1+??2=+===????1+3????2+3??2??1??2+3??(??1+??2)+9?3??(??+??)+3??(??+??)+91212232?32??(??1+??2)?932??(??1+??2)+9=?1，

所以k1+k2的值為定值，是定值﹣1．

22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝asin（1﹣x）+lnx，a∈R．

（1）討論函數(shù)f（x）在x∈（0，1）上的單調(diào)性；

（2）證明：??????1111111+??????+??????+?+??????＜????2+(+)．

22222??+1??234(1+??)11???????????(1???)，0＜??＜1，

??解：（1）??′(??)=?????????(1???)+??=∵0＜x＜1，∴cos（1﹣x）＞0，

當(dāng)a≤0時(shí)，∵0＜x＜1，∴f'（x）＞0，

此時(shí)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，∵0＜x＜1，∴0＜cos（1﹣x）＜1，f'（x）＞0，

此時(shí)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞1時(shí)，令h（x）＝1﹣axcos（1﹣x），

0＜x＜1，h'（x）＝﹣a[cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）]，

∵a＞1，cos（1﹣x）＞0，sin（1﹣x）＞0，

∴h'（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

又∵h(yuǎn)（0）＝1＞0，h（1）＝1﹣a＜0，

∴h（x）在（0，1）上存在唯一零點(diǎn)，使得h（x0）＝1﹣ax0cos（1﹣x0）＝0，

∴當(dāng)x∈（0，x0），h（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）遞增；

當(dāng)時(shí)h（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）遞減，

綜上：當(dāng)a≤1時(shí)，此時(shí)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）遞增；

當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，h（x）＞0．f′（x）＜0，f（x）遞減，

其中為方程ax0cos（1﹣x0）＝1的根；

（2）證明：由（1）知當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，

則f（x）＜f（1）＝0，即??????(1???)＜???????=????(0＜??＜1)，

(1+??)所以??????=??????[1?]＜????，??∈???，

22??(??+2)(1+??)(1+??)第17頁(yè)（共18頁(yè)）

1??1??2+2??2

因此1111234(??+1)??+1??????2+??????2+??????2+??+??????2＜????[1×3×2×4×3×5×?×??(??+2)]=????(??+2×234(1+??)??+11??+122222)=????2+??????+2＜????2+??????，

令??(??)=???????2(?????)，??＞1，則??′(??)=???2(1+2?????2?1(??2?2??+1)(???1)∵??′(??)==?=?＜0，

222??2??2??221111)，

??2∴g（x）在x＞0上為減函數(shù)，

∵x＞1∴g（x）＜g（1）＝0，即??????＜2(?????)，??∈(1，+∞)上恒成立，

∴????2+????故得證．

??+1??+11??+1??111＜????2+????＜????2+(?)=????2+(+)，

??+2??2????+12????+111第18頁(yè)（共18頁(yè)）