任意三角形

初一數學瓷磚的鋪設、三角形華東師大版

【本講教育信息】

一.教學內容：

瓷磚的鋪設、三角形

學習目標：

1.理解正多邊形能夠鋪滿地面的道理。

2.了解三角形的內角、外角及其中線、高、角平分線等概念和三角形的穩定性，會用刻

度尺和量角器畫出任意三角形的角平分線、中線和高。

3.了解幾種特殊的三角形與多邊形的特征，探索并掌握三角形的外角性質與外角和，理

解并掌握三角形的三邊關系。

知識內容：

一.瓷磚的鋪設

走在大街上，進入賓館或飯店，在許多地方，我們都可以看到由各種形狀的地磚鋪成的

漂亮的地面和墻面。在這些地面或墻面上，相鄰的地磚或瓷磚平整地貼合在一起，整個地面

或墻面上沒有一點空隙。那么，多邊形的瓷磚需要滿足什么條件時才能鋪滿地面而不留一點

空隙呢？

多邊形材料鋪地板，要求材料要全等，內角和的整數倍是360或每個內角相等時內角

的整數倍是360。所以適合的材料為三角形、四邊形和各內角都相等的六邊形，有時為了

美觀，可以有其他形狀材料摻雜其中。從穩定程度考慮各邊受力比較均勻且受制約條件多的

較穩，如各角都相等的六邊形。

二.三角形

1.三角形是由三條不后羿射日故事 在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，這三條線段

就是三角形的邊。

三角形可以按角來分類：

所有內角都是銳角––––銳角三角形

有一個內角是直角––––直角三角形

有一個內角是鈍角––––鈍角三角形

我們把兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰；把三邊

都相等的三角形稱為等邊三角形（或正三角形）。

2.三角形的外角有兩條性質：

（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

（2）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。

三角形的外角和等于360。

3.三角形的三邊關系：

三角形的任何兩邊的和大于第三邊。

用三根木條釘一個三角形，你會發現再也無法改變這個三角形的形狀和大小，也就是說，

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。三角形的這個性質叫做三

角形的穩定性。

用四根木條釘一個四邊形，你會發現可以任意改變這個四邊形的形狀和大小，這說明四

邊形具有不穩定性。

三角形的穩定性在生產實踐中有著廣泛的應用。例如橋梁、拉桿、電視塔架底座都是三

角形結構。

【典型例題】

例1.工人師傅利用邊角余料鋪地板時，用6個形狀一樣的三角形拼在一起，能夠無縫隙

地覆蓋住A點及周圍小區域，用4個形狀一樣的四邊形拼在一起，也能無縫隙地蓋住A點

及周圍小區域，從上述的兩種覆蓋中，我們發現：要完全蓋住A點及其周圍小區域，必須

滿足的條件是什么？用邊長相等、各角相等的正五邊形能不能覆蓋住A點及其周圍小區域，

用正六邊形呢？試試看。

分析：這里的問題是幾個完全一樣的，多邊形能夠鋪滿地面的條件是什么？這個問題可

通過動手實踐，拼一拼就可知道結果。

解：必須滿足的條件是拼在A處，以A為頂點的幾個角的度數之和為360，正五邊

形三個內角和小于360，而四個內角和大于360，所以幾個正五邊形不能鋪滿地面；幾

個正六邊形拼在一起，恰好可以覆蓋住A點及周圍區域，因為正六邊形的每個內角為120，

它的3倍為360。

例2.家庭裝飾采用的地磚一般是正方形、矩形或菱形材料，人行道鋪的水泥磚往往是方

形、三角形或是六邊形，為什么要采用這樣的材料，采用其它多邊形材料行嗎？若行，需要

有什么限制？

分析：鋪地板時，有以下幾點要求：

（1）平整，即材料厚度一致；

（2）無縫隙，要滿足下面兩點才能保證：

①相鄰兩塊磚拼接的對應邊要完全重合，即對應邊相等；

②在每塊磚的頂點處要能拼成周角360。

（3）考慮穩定性，符合力學要求。

解：三角形材料只要全等，由內角為180，用六個全等三角形能在一個頂點處拼得

360角，對應邊相等，能保證相鄰兩個三角形拼接的邊能完全重合，故三角形材料在全等

條件下能鋪滿地板。

對于全等的特殊四邊形材料，由內角和為360，可以鋪滿地板，其實，一般的四邊形

材料也能。

五邊形因其內角和為540，不是360的整數倍，當這個五邊形為正五邊形時，每個

內角為108，它的整數倍不是360，故不能在頂點處構造360角，所以不能用五邊形

材料鋪地板。

六邊形材料，因其內角和超過360，不能用一般六邊形拼成360角，但正六邊形的

每個內角都為120，它的3倍為360。故在一個頂點處，用三個這樣的六邊形能拼成

360，故可行。

當邊數多于6時，無論內角是否相等，都無法拼成360角，所以不能用它們來鋪地板。

例3.如圖，中，，D為BC上一點，且，

求的度數。

分析：在中，已知的度數和的度數，利

用三角形的內角和為180，可求得的度數，是

的一茄子炒辣椒 個外角，的度數已知，故的度數可求醋溜黃瓜 。

解：在中

說明：在求角度的問題中，三角形的內角和與三角形外角的性質①是不懂玉的人怎樣選玉鐲 兩個常用的知識，

要注意靈活運用。

例4.如圖，已知中，AD是外角的平分線，

且交BC的延長線于D，你能比較與的大小嗎？說出你的理

由。

分析：因為與在同一個三角形中，不能直接比較大小，

可利用一個中間量來“過渡”，圖中即為“過渡”的角。

解：AD平分，

是的外角

又是的外角

說明：在比較兩個角的大小時，應注意到利用三消腫止痛的最快方法 角形外角的性質2，本題還利用了不等

式的傳遞性，即甲大于乙，乙大于丙，則甲大于丙。

例5.如圖所示，在的CA、BA的延長線上任取D、E兩點，連接DE，做

的平分線，使它們相交于F，求證：。

分析：在兩個不同的三角形內，用三角形內外角的關系把它們聯系起來

以達到目的。

證明：設EF交CD于G，CF交AB于H

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角的和）

①

②

EF平分，CF平分（已知）

（角平分線的定義）

說明：求角與角的關系時，可用三角形的內、外角關系把它們聯系起來，再利用三角形

的外角性質定理來求它們的關系。

例6.如圖，D是內任一點，連結BD、CD，求證：。

分析：因為AB、AC在中，DB，DC在中，我們只學過

三角形兩邊之和大于第三邊，所以應想辦法使其中的某些線段在同一個三角形中。勞動與技術

證明：延長BD交AC于E

在中，①（三角形兩邊之和大于第三邊）

在中，②（三角形兩邊之和大于第三邊）

①＋②得：

即

說明：判斷已知的三條線段能否構成三角形要根據兩邊之和大于第三邊，此外也可利用

三角形中兩邊之和大于第三邊來確定邊與邊的大小關系。

例7.一個等腰三角形的周長是18cm

（1）已知腰長是底邊長的2倍，求各邊長。

（2）已知其中一邊長4cm，求其它兩邊長。

分析：（1）可直接根據定義計算；（2）因為4cm有可能作腰，也有可能作底，故要分

兩種情況。

解：（1）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm

三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm

（2）第一種情況：4cm的長的邊為底，設腰長為xcm

則

第二種情況：4cm的長為腰，設底邊長為xcm

則

，即發生兩邊的和小于第三邊的情況

4cm為腰不能組成三角形，從而得這個三角形其他兩邊長都是7cm。

說明：三角形的三邊，有的各不相等，有的兩條邊相等，有的三條邊相等，解題應注意，

求三角形的邊長問題，一定要考慮三角形三邊關系定理，不滿足定理的應舍去。

例8.草原上有4口油井，位于四邊形ABCD的4個頂點，現在要修建一個維修站H，試

問H建在何處，才能使它到4口油井的距離為最小，說明理由。

解：維修站應建在兩條對角線的交點H處，取異于H的點H’，根據三角形的兩邊之和

大于第三邊，有：

為最小

例9.已知，中，AD是BC邊上的中線，求證：

分析：由于AD是BC邊上的中線，所以BD＝DC

因此，要證明，只需證明

即證明

這就需要在和中，利用三角形三邊關系來解決。

證明：AD是BC邊上的中線，

在中，

在中，

（三角形的兩邊之和大于第三邊）

【模擬試題】（答題時間：60分鐘）

1.通過本節的學習，你覺得幾個完全一樣的多邊形瓷磚能夠鋪成一片的關鍵是什么？

2.如圖所示，有長方形和正方形兩種瓷磚。若單用長方形瓷磚鋪地面，你能設計出幾種

鋪法？若單用正方形瓷磚鋪地面，你能設計出幾種鋪法？若采用這兩種瓷磚鋪地面，你有幾

種鋪法？試畫出圖形。

3.用大小為11，22，33的瓷磚鋪一個2323的正方形地面。

（1）請設計一種方案，只用1塊11的正方形及若干22，33的瓷磚鋪滿地面。

（2）證明要鋪滿地面，沒有11的正方形不行。

4.設計并繪制兩種不同的瓷磚鋪設方案，注意講究美觀。

5.工人師傅常把一批形狀、大小完全相同，但不規則的四邊形邊角余料用來鋪地板，按

如圖那樣拼接四邊形木塊，就可不留空隙，拼成一片，你能說出其中的原因嗎？

6.如圖，，，，則_______。

7.如圖，__________度。

8.如果等腰三角形一邊長是3cm，另一邊長是8cm，則這個等腰三角形的腰長是

______cm。

9.在中，BC＝10，那么AB＋AC的取值范圍是_____________。

10.現有8根木棍，它們的長分別是1，2，3眼影怎么畫初學者 ，4，5，6，7，8，若從8根木棍中抽取3

根拼三角形，要求三角形的最長邊為8，另外兩邊之差大于2（以上單位為cm），那么可以

拼成的不同的三角形的種數為_______________。

11.下列說法中正確的是（）

A.斜三角形是銳角三角形B.鈍角三角形是斜三角形

C.任意三角形是斜三角形D.等腰三角形是斜三角形

12.下列判斷正確的是（）

①平分三角形內角的射線叫三角形的角平分線

②三角形的中線，角平分線都是線段

③一個三角形有三條角平分線和三條中線

④三角形的中線是經過頂點和對邊中點的直線

A.①②③④夢見好多衣服 B.②③④

C.①④D.②③

13.三角形的三條高中，在三角形的外部最多有（）

A.3條B.2條C.1條D.0條

14.三角形的三個外角中，鈍角的個數至少有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

15.中，，則是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

16黨的思想匯報 .的和的外角平分線交于D，則

等于（）

A.B.

C.D.

17.已知三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，那么這個三角形（）

A.是銳角三角形B.是直角三角形

C.是鈍角三角形D.以上三種情況都有可能

18.以下列長度為邊的三條線段不能組成三角形的組數是（）

①1，2，3②2，3，4

③4，5，5④5，6，10

A.①B.②C.③D.④

19.已知三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊a的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

20.一個三角形的兩邊分別是5和11，第三邊長是一個偶數，則第三邊長是（）

A.4B.6C.8D.以上都不對

21.如圖，中，已知AD是高，AE是角平分線，，求

和的大小。

22.如圖，在中，的平分線與的外角平分

線相交于點D，求證：

23.如圖，已知CD＝AB，求證：

【試題答案】

1.當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角時，就拼成一個

平面圖形。

2.

3.（1）在2323的正方形中央鋪設11的瓷磚，再把剩下的部分劃分為4個1112

的矩形，其中每一個矩形可分成212和912的矩形，然后鋪上相應的22和33的瓷

磚。

（2）把2323的正方形的行連接編號，并把號碼為1、4、7…22的行涂成黑色，而把

其余的涂成白色，那么任何22或33的正方形瓷磚都將含偶數個白格，所以那樣的瓷磚

鋪成2323的正方形是不可能的，因為2323的正方形包含有奇數個白格。

4.略

5.四邊形內角和為360

6.50

7.180提示：連接CD

8.8

9.

10.4種提示：8，7，4；8，7，3；8，7，2；8，6，3

11.B12.D13.B14.C15.C

16.C17.C18.A19.D20.C

21.解：

在中，

故

22.證明：

23.證明：在中，，而

因此