比號

10.比和比例

知識要點梳理

一、比的意義和性質

1.比的意義

兩個數相除又叫做兩個數的比。

比的寫法和讀法:表示數a與數b(b不能為零)的比，寫作a:b，也可以寫作

a

b

?！?”是比號，

讀作“比”，所以a:b讀作a比b。

比的前項和后項:比號前面的數叫做比的前項，比號后面自我表現 的數叫做比的后項。前項除以后項

所得的商是比的結果，叫做比值。例如:

4：5=45=0.8

↓↓↓↓

前項比號后項比值

2.比的基本性質

比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(0除外)，比值不變。

二、比、分數和除法

比與分數相比，比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比值相當于分數值，比號相當

于分數線。比可以寫成分數形式，如7:4可讀作:七比四。

比與除法比較，比的前項相當于除法中的被除數，比的后項相當于除法中的除數，比值相當

于商，比號相當于除號。

比、分數和除法之間的聯系與區別如下表所示:

名稱比分數除法

聯系

前項分子被除法

：（比號）一（分數線）（除號）

后項分母除數

比值分數值商

區別

同類量的比表示兩

個數的倍比關系；

不同類量的比表示

分數是一種數除法是一種運算

一個新的量。

三、求比值與化簡比

1.求比值

前項除以后項所得的商是比的結果，叫比值。

同類量的比，其比值沒有單位名稱;不同類量的比，其比值有單位名稱。例如:

100千米:5時=20千米/時

2.化簡比

比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。

把兩個數的比化成最簡整數比的，稱為化簡比或比的化簡。

四、比例的意義和性質

1.比例的意義

表示兩個比相等的式子叫做比例。組成比便的四個數，叫做比例的項，兩端的兩項叫做比例

配外項，中間的兩項叫做比例的內項。例如:

2.比例的基本性質

在比例單，兩個外項的積等于兩個內項的積，這叫做比例的基本性質。

例如:15:60=12:48可得:6012=15清朝名人 48

如果把比例寫成分數形式，等號兩邊的分子和分母分別交叉相乘，所得的積相等。

五、比和比例的區別

名稱比比例

意義兩個數的比表示兩個數相除表示兩個比相等的式子

各部

分名

稱

組成比由兩個數組成，后項不能為比例由四個數組成，四個

0。一般包含兩種情況:①表示兩

個同類量的倍數關系

②兩個不同類量的比產生新的量

數都不能為0。

基本

性質

比的前項和后項同時除以相同的

數(0除外).比值不變。

在比例里，兩個外項的積

等于兩個內項的積。

六、解比例

根據比例的基本性質，如果已經知道比例中的任何三項，就可求出這個比例中的另外一個未

知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

解比例時，先根據比例的基本性質把原比例改寫成兩個外項乘積與兩個內項乘積相等形式的

方程，再用已知的兩項的乘積除以另一個已知項求出未知項。

七、比例尺

1.比例尺的意義

圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。即，

圖上距離：實際距離=比例尺或

圖上距離

實際距離

=比例尺

2.比例尺的分類

數值比例尺：1:200000或

1

200000

線段比例尺：

八、比的應用

在生活和生產實踐中，常常需要把一個量按照一定的比來進行分配。這種分配方式叫做按比

例分配。

按比例分配應用題的解答步驟:

(1)找出或求出要分的總數；

(2)根據已知的比求出總分數；

(3)按照要分配的各部分占總數的幾分之幾，分別求出侮一部分是多少。

九、正比例和反比例

1.成正比例的量

兩種相關聯的笙，一種41變化，另一種里也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數比

值(商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做成正比例關系。例如，汽車的

速度一定，那么它所行駛的路程與所用的時間就成正比例。

用字母表達式表示為：

y

x

=k（一定）

2.成反比例的量

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種la中相對應的兩個數的

積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。例如，火車行駛的路

程一定，那么它行駛的時間與行駛的速度就成反比例。

用字母表達式表示為:xy=k(一定)

口訣:商正積反。即兩個量若商(或比值)一定則成正比例關系，若乘積一定則成反比例關系。

考點精講分析

典例精講

考點1比的意義和性質

【例1】一個比的前項是8，如果前項增加16,要使比值不變，后項應該(世界最大的淡水湖 )。

A.增加16B.乘以2C.乘以3

【精析】前項增加16相當于把前項擴大到原來的3倍，根據比的基本性質，要使比值不變，

后項也要擴大到原來的3倍。

【答案】C

【歸納總結】比的基本性質:比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(0除外)，比值不變。

考點2比、分數和除法

【例2】9:36=（）%=（）：（）=（）（小數）

【精析】根據除法與比的關系及比的基本性質，9:36=1:4;根據比的基本性質及與分數的關

系；求出的商用小數表示是0.25，再把小數化成百分數25%。

【答案】25、1、4、0.25。

【歸納總結】比、分數和除法的關系。比與分數:比的前項相當于分子，比的后項相當于分

母，比值相當于分數值，比號相當于分數線;比與除法:比的前項相當于被除數感恩老師的詩句 ，比的后項相

當于除數，比值相當于商，比號相當于除號。

考點3求比值與化簡比

【例3】化簡比和求比值。

（1）12:32（2）2.5:0.45（3）20分：

3

4

時

【精析】化簡比和求比值。求比值就是用比的前項除以后項所得的商;化簡比就是根據比的

基本性質，化成最簡整數比。

【答案】（1）12：32=3:8=

3

8

（2）2.5：0.45=250:45=50:9=

50

9

（3）20分：

3

4

時=20分：45分=4:9=

4

9

【歸納總結深圳社會保險查詢 】求比值是得到一個數值，它可以是整數、分數或小數;化簡比得到一個比。不

同單位要首先化成相同的單位，再求比值或化簡比。

考點4比例的意義和性質

【例4】甲數的

3

4

等于乙數的

2

3

，甲數：乙數=（）：（）。

【精析】比例的基本性質。根據已知條件可得等式:甲數

3

4

=乙數2

3

，再根據比例的基本

性質，內項之積等于外項之積來解答。甲數

3

4

=乙數2

3

，則甲數:乙數=8:9

【答案】8、9

【歸納總結】根據等式寫比例式，注意相乘的兩個數要么同時作為內項，要么同時作為外項。

考點5解比例

【例5】解比例。

（1）12:18=15:x（2）3.5:x=0.7:5

（3）

x

1+20%

=2

3

【精析】解比例。根據比例基本性質，兩內項之積等于兩外項之積，化簡方程；再依據等式

的基本性質“等號兩邊同時除以(或乘以)相同的數(0除外)，等式仍然成立”來解答。

【答案】(1)12:18=15:x

12x=1815

x=22.5

(2)3.5:x=0.7:5

0.7x=3.55

x=25

（3）

x

1+20%

=2

3

3x=21.2

x=0.8

【歸納總結】比例方程根據比例的基本性質和等式的性質來解，同時注意“=”上下要對齊。

考點6比例尺

【例6】在一副比例尺為1:6000000的地圖上，甲、乙兩地的距離為3厘米，甲、乙兩地的

實際距離為()千米。

【精析】已知比例功虧一簣什么意思 尺、圖上距離，求實際距離3

1

6000000

=18000000

【答案】180

【歸納總結】已知比例尺、圖上距離，求實際距離。厘米化成千米，小數點向左移動5位；

千米化成厘米，小數點向右移動5位。

考點7比的應用

【例7】水是由氫和氧按1:8的重量化合而成的，90千克水中，含氫和氧()。

A.1千克，89千克B.8千克，82千克

C.10千克，80千克D.80千克，10千克

【精析】比的應用一按比例分配問題。因為氫和氧按1:8化合成水，氫占水的九分之一，氧

占水的九分之八，然后用乘法解答。90

1

9

=10（千克），908

9

=80（千克）。

【答案】C

【歸納總結】本題的關鍵是分別求出氫和氧占水的幾分之幾，然后再根據一個數的幾分之幾

的意義，用乘法解答。

考點8正比例和反比例

【例8】下面每組的兩個量中，成反比例的量是()。

A.汽車行駛的時間一定，行駛的速度和路程

B.長方形的周長一定，長和寬

C.圓珠筆的單價一定，購買的本數和總價

D.圓柱體的體積一定，它的底面積和高

【精析】辨識正、反比例。判斷兩種量是否成反比例，要看這兩種量相對的數是否乘積一定。

A:路程:時間=速度(一定)，是商一定，成正比例關系。

B:長+寬=周長:2(一定)，是和一定，不成比例。

C:總價:數量=單價(一定)，是商一定，成正比例關系。

D:圓柱的底面積x高=體積(一定)，是乘積一定，成反比例關系。

【答案】D

【歸納總結】兩個量，商(或比值)一定成正比例，乘積一定成反比例，和或差一定，不成比

例。

名題精析

【例】(西安某鐵一中分班)甲、乙、丙三批貨物總價值是2580萬元，甲、乙、丙三批貨物

的數量比為3:4:6，單位質量的價格比為5:4:2，則這批貨物中甲值()萬元。

【精析】比和比例應用。根據關系式:數量單價=總價，可得這三批貨物每種貨物的總價比

為:(35):(44):(62)=15:16:12。甲的價值為

15

15+16+12

2580=900。

【答案】900

【歸納總結】本題的關鍵是求出三批貨物的總價值比，再根據按比例分配的方法解答。

畢業升學訓練

一、填空題

1.

10

25

=2:5=

()

%=

()

(小數)。

2.在一個比例里，兩個內項互為倒數，其中一個外項是

3

4

，另外一個外項是()。

3.在比例尺為1:2000地圖上量得甲、乙兩地的距離是36厘米，甲、乙兩地的實際距離是

()米。

4.根據下面的條件寫出最簡整數比。

已知大圓的直徑是4厘米，小圓的直徑是2厘米。

大圓半徑與小圓半徑的比是（）。

大圓周長與小圓周長的比是（）。

大圓面積與小圓面積的比是()。

5.從學校到家，點點用9分，笑笑用10分，點點和笑笑的速度比是()。

6.A的

2

3

等于B的

3

4

，A：B=（）：（）。

7.六(1)班女生人數是男生的

7

8

，也就是說這個班女生人數與男生人數的比是()，女生人

數與全班人數的比是()，男生人數與全班人數的比是()。

二、選擇題

1.把25克糖溶解在100克水中，糖與糖水的質量比是()。

A.1:5B.1:4C.4:5D.不能確定

2.下面各組的兩個比不能組成比例的是()。

A.7:8和14:16B.0.6：0.2和3:1

C.19:110和10:9

3.生產同樣多的零件，小張用4小時，小李用了6小時，小李和小張的工效比是()。

A.4:6B.6:4C.2:3D.3:2

4.化簡比的依據是()。

A.比的意義B.比的基本性質

C.比例的基本性質D.商不變規律

5.車輪的直徑一定，所行駛的路程和車輪的轉數成()。

A.正比例B.反比例C.不成比例

6.在一運動鞋品牌有哪些 幅地圖上，用3厘米表示實際距離12千米，這幅地圖的比例尺為()。

A.1:4B.1:40000

C.1:4000D.1:400000

三、計算題

1.化簡求值

(1)143:11(2)300千克:1.2噸

(3)0.9:0.6(4)

3

8

：

9

16

2.解比例

(1)3.5:x=5:4.2(2)12:x=0.6:4.8

(3)0.375:x=

1

20

:60%(4)3

4

:5

6

=x:2

3

四、解決問題

1.在一個比例尺是1:60的地圖上，量得一個正方形花圃的邊長是3厘米，這個花圃的實際

面積是多少平方米?

2.一塊長方形草坪的周長是810米，長和寬的比是5:4，這塊草坪的面積是多少平方米?

3.一臺機器3小時加工480個零件，照這樣計算，再工作4小時，一共加工多少個零件?(用

比例解答)

4.一間教室用邊長是0.4米的正方形地磚鋪地面，需要300塊，如果改用邊長是0.5米的正

方形地磚鋪地面，需要多少塊?(用比例解答)

沖刺名校提升

一、填空題

1.(西安某工大附中分班)甲數的

3

4

等于乙數的

4

3

，乙數與甲數的比值是()。

2.(成都某一中入學)如果x:y=7122，那么x和y,成()比例。

3.(西安某工大附中分班)在比例尺為1:5000000的地圖上，量得甲、乙兩城之間的距離是

4.5厘米，如果一輛汽車的速度是90千米/時，那么從甲城到乙城需用()小時。

4.(西安某工大附中分班)一個長方體的棱長總和是216厘米，它的長、寬、高之比是4:3:2，

長方體的體積是()立方厘米。

5.(西安高新某中入學)甲廠和乙廠生產的汽車配件數量之比為5:6，汽車配件價格之比為10:

9，兩廠的總產值為6240萬元，則甲廠的產值為()。

二、選擇題

1.(成都某一中入學)

1

2

a=2

3

b，則a與h的最簡整數比是（）。

A.4:3B.3:4C.

2

3

:1

2

D.

1

2

:2

3

2.(成都某七中入學)甲比乙多2倍，乙比丙多則甲:乙:丙=()。

A.3:1:2B.2:1:3C.3:1:6D.9:3:2

3.(西安某工大附中分班)一個圓柱和圓錐的底面直徑的比是2:3，體積比是3:2，則圓柱和

圓錐的高之比是()。

A.1:1B.9:8C.8:9D.4:9

4.(西安某鐵一中分班)一個正方形廣場占地面積約為2250000平方米，若按照比例尺1:

12000縮小后，其面積比較接近()。

A.一個籃球場的面積

B.一張乒乓球臺面的面積

C.華商報一個版面的面積

D.數學課本封面的面積

5.(西安某工大附中分班)一個長方形操場長110米，寬65米，畫在練習本上，應該選比例

尺為()。

A.1:2000B.1:200C.1:10000D.1:400000

6.(西安某鐵一中入學)下列各題中，兩種量成反比例關系的是()。

A.工作效率一定，工作是時間和工作總量

B.長方形面積一定，它的長和寬

C一段路程一定，已走路程和剩下路程

D.三角形的高一定，這個三角形的面積和底

7.(西安某交大附中入學)甲的工作量比乙多

1

4

，而乙用的時間比甲多

1

5

，那么甲、乙兩人工作

效率的比是（）。

A.5:4B.3:2C.25:24D.8:5

三、解比例

1.(西安高新某中入學)

1

18

：

2

9

=x：63d顯示器

13

2.(西安某鐵一中分班)4x:

1

3

=

(

3?x

)

:0.75

四、解決問題

1.(西安高新某中入學)下表是有關正方體鋼塊的一些量，哪兩種量是成正比例的量，并說明

理由。

棱長/cm123456

底面積/cm2149162536

表面積/cm26245496150216

體積/cm36

重量/g7.862.4210.6499.29751684.8

2.(成都某一中樹棵樹的入學)甲乙丙三隊共植樹763棵，已知甲隊植樹棵樹的

1

4

等于乙隊棵

樹的

1

5

，丙隊植樹棵樹的

1

7

等于甲隊植樹棵樹的

1

9

，問甲乙丙三隊各植樹多少棵?

10.比和比例

畢業升學訓練

一、1.400.42.

4

3

3.7204.2:12:14:15.10:96.97.7:8

7:158:15

二、1.A2.C3.C4.B5.A6.D

三、1.(1)【解析】原式=(14311)：(1111)

=13:1

=13

(2)【解析】原式=300千克：1200千克

=1:4

=0.25

(3)【解析】原式=(0.90.6):(0.6:0.6)

=

3

2

：1

=1.5

(4)【解析】原式=(

3

8

9

16

)：（

9

16

9

16

）

=（

3

8

16

9

）：（

9

16

16

9

）

=

2

3

：1

=

2

3

2.(1)【解析】5x=4.2

x=2.94

(2)【解析】0.6x=124.8

x=96

(3)【解析】

1

20

x=60%0.375

0.05x=0.60.375

x=4.5

(4)【解析】

5

6

=3

4

2

3

x=

3

5

四、1.【解析】比例尺是1:60,則正方形花圃的圖上邊:

實際邊長=1:60

實際邊長=180厘米

實際面積180180=32400平方厘米=3.24平方米

答:這個花圃的實際面積是3.24平方米。

2.【解析】長+寬=8102=405(米)

長:405

5

5+4

=225(米)

寬:405

5

5+4

=180(米)

面積:225180=40500(平方米)

答:這塊草坪的面積是40500平方米。

3.【解析】機器的工效一定,那么工作量和工作時間成正比例。

設一共可加工x個零件。

480:3=x:(4+3)

3x=480x7

x=1120

答:一共加工1120個零件。

4.【解析】面積一定,那么每塊磚的面可積和需要的數量成反比例。

設需要x塊邊長為0.5米的地磚。

0.42300=0.52x

x=192

答:需要192塊邊長為0.5米的地磚。

沖刺名校提升

一、1.9:162.正3.2.54.51845.3000萬元

二、1.A2.D3.B4.D5.A6.B7.B

三、1.

1

18

：

2

9

=x:

6

13

解：

2

9

=1

18

6

13

2

9

=1

39

x=

3

26

2.4x:

1

3

=(3-x)：0.75

解：1?

1

3

=43

4

1-

1

3

=3

10

3

=1

x=

3

10

四、1.【解析】表面積和底面積成正比例，因為它們的比值定是6。

重量和體積成正比例，因為它們的比值一定是7.8g/cm

2.【解析】甲隊:乙隊=4:5，丙隊:甲隊=7:9,則甲隊:乙隊:丙隊=36:45:28。

甲隊:763

36

36+45+28

=252(棵)

乙隊:763

45

36+45+28

=315(棵)

丙隊:763

28

36+45+28

=196(棵)

答:甲隊植樹252棵，乙隊植樹315棵,丙隊植樹196棵。